九年級數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)及詳細(xì)答案

1、九年級數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)及詳細(xì)答案一、圓的綜合1 .如圖，。是4ABC的外接圓，點(diǎn) E為4ABC內(nèi)切圓的圓心，連接 AE的延長線交 BC于 點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)D;連接BD,過點(diǎn)D作直線DM,使/ BDM=/DAC.(1)求證：直線DM是。O的切線；【答案】(1)證明見解析(2) 2 J3【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定 BC/ DM,進(jìn)而彳#到ODLDM,據(jù)此可得直線 DM是。的切線；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到 DB2=DF?

2、DA,據(jù)此解答即可.【詳解】(1)如圖所示，連接OD.點(diǎn) E 是 4ABC的內(nèi)心,Z BAD=Z CAD,Bd Cd ,OD BC.又. / BDM=/DAC, /DAC=/DBC, . / BDM=/DBC, . BC/ DM, .1.ODXDM.又OD為。O半徑，.直線DM是。的切線.(2)連接 BE. E 為內(nèi)心，/ABE=/CBE / BAD=Z CAD, / DBC=Z CAD, . / BAD=Z DBC, . / BAE+Z ABE=Z CBEZ DBC,即 ZBED=Z DBE, . BD=DE.又/ BDF=/ADB （公共角），. DBFs DAB, .正 里 即 DB2=

3、DF?DA DB DA . DF=2, AF=4, DA=DF+AF=6, . . DB2=DF?DA=12, . DB=DE=2 J3 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注 意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。蝗切蔚膬?nèi)心 到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.2.如圖1,已知扇形MON的半徑為五 , /MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié)BM , 作OD，BM,垂足為點(diǎn) D, C為線段OD上一點(diǎn)，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點(diǎn)A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為

4、 y.(1)如圖2,當(dāng)ABOM時(shí)，求證：AM=AC；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，求 x的值.x【答案】(1)證明見解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出 OAXBAM,即可得出結(jié)論;x 2 )；(3)(2)OA OE (3)-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME1 - x,AE-EM, OM-Jz， - AE-(爽 x).AE21. DE/AB,OAOC 2DMOE OD OD先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE-1(J2 x),再判斷出BD AE2OC 2D

5、M -，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1) OD) BM, AB OM,/ ODM=/BAM=90. / ABM+Z M=Z DOM+Z M,/ ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.DM OAx_oD 2OE, y T/2 (0/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時(shí)，貝U ZCOA=ZCAO=a, / CAO / M , Z M=90 - a, . . a 90 a, a45 :/ BOA=2 A 90 : : /

6、BOAW 90 ，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，x的值為屈 衣.2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.3.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0, 6) , (0, 3),點(diǎn)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過 點(diǎn)A作AP的垂線，過點(diǎn)B作BP的垂線，兩垂線交于點(diǎn) Q,連接PQ, M為線段PQ的中 點(diǎn).(1)求證：A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上;(2)當(dāng)。M與x軸相切時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；QM掃過圖形的面積.(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(2, 0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3, 0)時(shí)，請直接寫出線段【答

7、案】 見解析；(2) Q的坐標(biāo)為(3J2，9) ;(3)-63 .8【解析】(1)解：連接AM、BM,. AQXAP, BQXBP - APQ和 BPQ都是直角三角形,M是斜邊PQ的中點(diǎn)AM = BM = PM=QM= - PQ,2A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。(2)解：作 MGy軸于G, MCx軸于C,. AM = BM.G 是 AB 的中點(diǎn)，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn) M到x軸的距離始終為4.5則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為 9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為 9,當(dāng)。M與x軸相切時(shí)則 PQx軸，作QHy軸于H,。BP 工H

8、B=93=6,設(shè) OP= HQ= x由BOPQHB,彳X2 x2=3XG 8, x= 3 ”點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3 J2 , 9)則 Mi (3, 4.5)(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn) P在Pi (2, 0)時(shí)，Qi (4, 當(dāng)點(diǎn) P在 P2 (3, 0)時(shí)，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5)93MiM2= - -3= 一 , QiQ2=6-4= 222線段QM掃過的圖形為梯形 M1M2Q2Q1其面積為：1 X 3 + 2) X 45 63 .【解析】【分析】再根據(jù)這個(gè)條件結(jié)合題意直接根據(jù)已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形, 解答此題.【詳解】(1)解：連接 AM、B

9、M,AQAP, BQ，BPAPQ和ABPQ都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點(diǎn)AM = BM = PM=QM= p PQ, A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。(2)解：作 MG，y軸于G, MC，x軸于C,. AM = BM.G 是 AB 的中點(diǎn)，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn) M到x軸的距離始終為4.5則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為 9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為 9,當(dāng)。M與x軸相切時(shí)則 PQx軸，作QHy軸于H,HB= 9-3=6,設(shè) OP= HQ= x由BOQHB,彳X2 x2= 3X 8, x= 3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3標(biāo)9)

10、(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在Pi(2, 0)時(shí)，Qi(4,9)則Mi(3,4.5)當(dāng)點(diǎn) P在 P2 (3, 0)時(shí)，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5)9 c 3 0 . M iM2=下 一 3=, QiQ2= 6 4=2線段QM掃過的圖形為梯形 M1M2Q2Q1O PN其面積為：JxR+2)X4百號.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生根據(jù)題意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考驗(yàn)學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用，掌握探索題目隱含條件是解決此題的關(guān)鍵4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，E (8,0) , F(0,6).(1)當(dāng) G(4, 8)時(shí)，則 /FGE=(2)在圖中的

11、網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)P,使/FPE=90且四邊形OEPF被過P點(diǎn)的一條直線分割成兩部分后，可以拼成一個(gè)正方形.要求：寫出點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)，畫出過 P點(diǎn)的分割線并指出分割線(不必說明理由，不寫畫 法).【答案】(1) 90； (2)作圖見解析，P(7, 7) , PH是分割線.【解析】試題分析：(1)根據(jù)勾股定理求出 4FEG的三邊長，根據(jù)勾股定理逆定理可判定4FEG是直角三角形，且 / FGE=90 ,(2) 一方面，由于 /FPE=90,從而根據(jù)直徑所對圓周角直角的性質(zhì)，點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上；另一方面，由于四邊形OEPF被過P點(diǎn)的一條直線分割成兩部分后，可以拼成一個(gè)正方形，從而 OP是正方形的對角

12、線，即點(diǎn) P在/FOE的角平分線上，因此可得 P (7,7) , PH是分割線.試題解析：(1)連接FE,- E (8,0) , F(0,6), G(4, 8),根據(jù)勾股定理，得 FG=V5, EG=/, FE=10.FEG是直角三角形，且 /FGE=90 . 作圖如下:P (7, 7) , PH是分割線.考點(diǎn)：1.網(wǎng)格問題；2.勾股定理和逆定理；3 .作圖(設(shè)計(jì))；4.圓周角定理.5.如圖，已知4ABC內(nèi)接于。O, AB是。的直徑，點(diǎn)F在。上，且點(diǎn)C是叮的中 點(diǎn)，過點(diǎn)C作。的切線交AB的延長線于點(diǎn) D,交AF的延長線于點(diǎn) E.(1)求證：AE DE；(2)若/BAF=60, AF=4,求 C

13、E的長.【解析】試題分析：(1)首先連接OC,由OC=OA 點(diǎn)C,易證得AE DE;,易證得 OC/ AE,又由DE切。O于(2)由AB是。的直徑，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC為直角三角形，根據(jù)1AE=3求得AC的長，然后連接 OF,可得4OAF為等邊三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知條件求得答案.Z BAC=Z OCAOC,Z BAC=Z EACZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于點(diǎn)C, OCX DE, AEXDE;(2)解：.AB是。的直徑， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ；/ BAC=Z EAC=30 , AEC為直角三角形，

14、AE=3,.AC=k3,連接OF, , OF=OA, / OAF=Z BAC+/ EAC=60 ,.OAF為等邊三角形，II.AF=OA= AB,在 RtA ACB 中,AC=2V3, tan / CBA=P,BC=2, .AB=4, .AF=2. 考點(diǎn)：切線的性質(zhì).6.如圖，CD為。的直徑，點(diǎn) B在。上，連接BC BD,過點(diǎn)B的切線AE與CD的延長 線交于點(diǎn)A, ZAEO /C, OE交BC于點(diǎn)F.（1）求證：OE/ BD;2（2）當(dāng)。的半徑為5, sin DBA 時(shí)，求EF的長.5【答案】（1）證明見解析；（2） EF的長為 2【解析】試題分析：（1）連接OB,利用已知條件和切線的性質(zhì)證明

15、； （2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)，直接求解即可.試題解析：（1）連接OB, .CD為。的直徑， CBD AE是。的切線，ABO ABD OBD 90 . OB、OC是。的半徑，OB=OC C CBO. . . C E C , E ABD. OE/ BD.CBO OBD 90ABD CBO.ABD.（2）由（1）可得2BD 2sinZ C= / DBA=,在 RtOBE 中，sinZ C= - OC=55CD5 BD 4 CBD EBO 90C ,ACBDAEBO.CDEO25.2. OE/ BD, CO=OD, .CF=FB.EBDBOEO-1.OF BD 2.221EF OE O

16、F 一 27.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧Ab .1用直尺和圓規(guī)作出 Ab所在圓的圓心o；（要求保留作圖痕跡，不寫作法 ）2若AB的中點(diǎn)C到弦AB的距離為20m, AB80m,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析；（2）50m【解析】分析：1連結(jié)AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)O,如圖1;2連接oa, oc, oc交ab于d,如圖2,根據(jù)垂徑定理的推論，由 c為Ab的中點(diǎn)得 1到 OC AB , AD BD -AB 40 ,則 CD 20,設(shè) e O 的半徑為 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理得到r2 （r 20）2 402,然后解方程即可.詳

17、解：1如圖1,圖1點(diǎn)O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,qc為Ab的中點(diǎn),OC AB,1AD BD - AB 40 , 2設(shè)e O的半徑為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2, 2_ _ 2_ 2r (r 20)40 ,解得 r 50,即Ab所在圓的半徑是50m.點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，在利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時(shí)，要善于把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題.8. (1)問題背景如圖，BC是。O的直徑，點(diǎn) A在。O上,AB=AC, P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與 B, C重合

18、),求證：夕PA=PB+PC小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn) A出發(fā)有三條線段 AB, AP, AC,且AB=AC這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過程：第一步：將APAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4QAB (如圖)；第二步：證明Q, B, P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證.請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.(2)類比遷移如圖，。的半徑為3,點(diǎn)A, B在。O上，C為。內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC, AB AC,垂足為 A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如圖，。的半徑為3,點(diǎn)A, B在。O上，C為。內(nèi)一點(diǎn)，AB=- AC, ABXAC,垂足為A,則OC的最小值為置圖3【答案】(1)證明見解析；(2) OC

19、最小值是3J2-3； (3)-.2【解析】試題分析：(1)將APAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至4QAB (如圖)，只要證明4APQ 是等腰直角三角形即可解決問題；(2)如圖中，連接 OA,將4OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90AQAB,連接OB, OQ,在 BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問題；4(3)如圖構(gòu)造相似二角形即可解決問題.作AQLOA,使得AQ=- OA,連接OQ,BQ, OB,由QABsOAC,推出BQ=OC,當(dāng)3BQ最小時(shí)，OC最小;試題解析：（1）將PAC繞著點(diǎn)90至4QAB （如圖）；A順時(shí)針旋轉(zhuǎn), BC是直徑，/ BAC=90 , AB=AC,/ ACB玄 ABC=45 ；由旋轉(zhuǎn)

20、可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=QB . /PCA+/ PBA=180 , / QBA+/PBA=180 , . Q, B, P三點(diǎn)共線， / QAB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=90 , QP2=AP2+AQ2=2AP2,QP=72 AP=QB+BP=PC+PB 72 AP=PC+PB(2)如圖中，連接OA,將OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90AQAB,連接OB, OQ,.ABIAC/. / BAC=90,由旋轉(zhuǎn)可得 QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC,/ QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 ,ABAC在 RtOAQ 中，

21、OQ=3V2, AO=3, .在 4OQB 中，BO OQ- OB=3& 3 ,即OC最小彳t是3J2-3；(3)如圖中，作AQ OA,使得AQ=- OA,連接OQ, BQ, OB.3 QA / QAO=Z BAC=90 , / QAB=Z OAC, 一OA QABs OAC, BQ=4 OC, 3當(dāng) BQ最小時(shí)，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .,.002,.BQ的最小值為2,33 OC的最小值為一X 2=-,423故答案為3.2【點(diǎn)睛】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的 關(guān)鍵.9.如圖1,四邊形ABCD為。內(nèi)接四邊

22、形，連接 AC CO、B0,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn).（1）求證：/ DAC=Z ACO+-Z ABO;（2）如圖2,點(diǎn)E在OC上，連接EB,延長CO交AB于點(diǎn)F,若/ DAB=/ OBA+/ EBA 求 證：EF=EB（3）在（2）的條件下，如圖 3,若OE+EB=AB CE=2 AB=13,求AD的長.題1圈2圄3【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） AD=7.【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接 OA,只要證明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由點(diǎn)C是?D 中點(diǎn)，推出 CD CB ,推出 / BAC=Z DAC,即可推出 /DAC=/ ACO+Z ABO;（2）想

23、辦法證明/ EFB=Z EBF即可；（3）如圖3中，過點(diǎn)O作OH, AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于 G,作BNXCF 于N,作CKAD于K,連接OA/CT/ LAB于T.首先證明 4EFB是等邊三角形，再證 明 AC右 ACT, RtDK RBTC,延長即可解決問題；試題解析：（1）如圖1中，連接OA,. OA=OC, .1. Z1 = Z ACO,. OA=OB, .1. Z2=Z ABO,/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,- -uur -UJIT uuu點(diǎn) C是 BD 中點(diǎn)， CD CB，/BAC=/ dac,/ DAC=Z ACO+Z ABO.到(2)如圖2中

24、， / BAD=Z BAC+/ DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC, . / BAD=Z BOC, / DAB=Z OBA+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EBBNXCF(3)如圖3中，過點(diǎn)O作OHU AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于 G, 于 N,作 Ch AD 于 K,連接 OA. CC CTZ LAB 于 T.圖3 / EBA+Z G=90 ； C CFB+Z HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=Z HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOGEG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+

25、EB=AB GE+EB=2HB，GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= - ,ZGBA=60,GB 2 .EFB是等邊三角形，設(shè) HF=a, / FOH=30 ；. OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a-，2 .OE=EF- OF=FB- OF=13 - a, OB=OC=OE+EC13 - a+2=- -a,1113NE= - EF= a+ ，ON=OE=EN= （13-a）-2，BO2- ON2=EB2- EN2,（1 a+?=133a2442,17、2（一 -a） 22g- 3a） 2=022 .4221a+藝）242,解得a=3或-10 （舍棄），

26、2.OE=5, EB=8, OB=7,. /K=/ ATC=90 , Z KAC=Z TAC AC=AQ . .ACKACT, . CK=CT AK=AT,ULU uuu _.CD CB ,DC=BC； .RtDKe RtBTC . . DK=BT,. FT=1FC=5,DK=TB=FB- FT=3,AK=AT=AB- TB=10,AD=AK- DK=10- 3=7.210.如圖1,在RtABC中，ZABC=90, BA=BC,直線MN是過點(diǎn)A的直線CD MN于點(diǎn) D,連接BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段 DC, AD, BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀 察思考，小明出一種思路：

27、如圖1,過點(diǎn)B作BEX BD,交MN于點(diǎn)E,進(jìn)而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究證明將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段 DC, AD, BD之間的數(shù)量關(guān)系， 并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng) 4ABD面積取得最大值時(shí)，若 CD長為1 ,請直接寫 BD的長.【答案】(1) 五；(2) AD- DC=J2BD； (3) BD=AD=V2+1.【解析】【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC, AD, BD之間的數(shù)量關(guān)系(2)過點(diǎn)B作BEX BD,交MN于點(diǎn)E. AD交BC于O,證明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,根據(jù) BED為等腰

28、直角三角形，得到 DE J2BD , 再根據(jù)DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn) 時(shí)， ABD的面積最大.在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證D在線段AB的垂直平分線上且在 AB的右側(cè)CH AH &，由BD AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中，.AE=CD, BE=BD .CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形,.DE= 12 BD,.DC+AD=；2 BD,故答案為J2.（2）AD DC &BD.證明：如圖，過點(diǎn) B作BEX BD,交MN于點(diǎn)E. AD交BC于O.ABC DBE 90 ,ABE EBC CB

29、D EBC,ABE CBD .BAE AOB 90 , BCD COD 90 , AOBBAE BCD , ABE DBC .又 AB CB , CDB0 AEB,CD AE , EB BD ,BD為等腰直角三角形， DE J2BD . DE AD AE AD CD ,AD DC 夜BD (3)如圖3中，易知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn) D在線段AB的垂直平分線上且在 AB 的右側(cè)時(shí)，4ABD的面積最大.圖3此時(shí)DG，AB, DB=DA,在DA上截取一點(diǎn) H,使得CD=DH=1,則易證 ch ah 后,BD AD 2 1-【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用

30、，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵 .11.如圖，線段BC所在的直線 是以AB為直徑的圓的切線，點(diǎn) D為圓上一點(diǎn)，滿足 BD= BC,且點(diǎn)C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接 CD交圓于點(diǎn)E點(diǎn)F是BD上一點(diǎn)，連接EF,分 別交AB、BD于點(diǎn)G、H,且EF= BD.(1)求證：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的長.A【答案】 見解析；(2) -，3 3【分析】(1)根據(jù)EF= BD可得 即=?d ,進(jìn)而得到 靠=?F，根據(jù) 在同圓或等圓中，同弧或 等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進(jìn)而可證.(2)連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長，根據(jù) 在同圓或等圓

31、中，同弧或等弧所對的圓周角相等 ”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出ZBHG,進(jìn)而求出/BDE的度數(shù)，確定 BE所對的圓心角的度數(shù)，根據(jù) /DFH= 90確定DE為直徑，代入 弧長公式即可求解.【詳解】(1)EF= BD, Ef= 3D Be = Df / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=/C EF/ BC(2) .AB是直徑，BC為切線，ABXBC又 EF/ BC,ABXEF7,弧 BF=CD=X4214，2 .CD-31（3）當(dāng)點(diǎn)p在Ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)，s*apcd=pccd2由（1）可得：CD=4 PC 3142 2 Sa pcd=- PC -PC =

32、 -PC2, 233 當(dāng)PC最大時(shí)，APCD的面積最大，22 50 當(dāng)PC為。直徑時(shí)， PCD的最大面積=-X2=33【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，銳角三角函數(shù)，求 出PC的長是本題的關(guān)鍵.13.（問題情境）如圖1,點(diǎn)E是平行四邊形 ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接 BE、CE圖1圖二圖3圖1求證：Svbce S平行四邊形ABCD.（說明：S表示面積）請以問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究（探究應(yīng)用1）如圖2,以平行四邊形 ABCD的邊AD為直徑作OO,。與BC邊相切于點(diǎn) H,與BD相交于點(diǎn) M.若AD= 6, BD=y, AM = x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)

33、系式.（探究應(yīng)用2）如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，點(diǎn) F在CD上，連接 AF、BF, AF與CE相交于點(diǎn) G,若 AF= CE,求證：BG平分/AGC.（遷移拓展）如圖 4,平行四邊形 ABCD中，AB: BC= 4: 3, Z ABC= 120, E是AB的中 點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF： FC= 2： 1,過D分別作DGLAF于G, DHI CE于H,請直接寫出 DG: DH的值.【答案】【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用拓展】.19:2,7.11 y ；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移 x1（1）作EF_L BC于F,則Sk bce= BCX EF S平行四邊形abcd= BCX EF即可得出結(jié)論；2（2

34、）連接OH,由切線的T生質(zhì)得出 OH,BC, OH= 1 AD= 3,求出平行四邊形 ABCD的面2積=人OH= 18,由圓周角定理得出 AMLBD,得出4ABD的面積=-BDX A陣。平行四22邊形的面積=9,即可得出結(jié)果;，,，一 一，| 八，一一八一，一一 1 ，(3)作BMLAF于M, BNLCE于N,同圖1得：4ABF的面積=4BCE的面積=平行2四邊形ABCD的面積，得出 1AFX BM 1 CEX BN證出BM= BN,即可得出BG平分 22ZAGC.(4)作AP，BC于P, EQ! BC于Q,由平行四邊形的性質(zhì)得出 /ABP= 60,得出/ BAP= 30,設(shè)AB=4x,則BC

35、= 3x,由直角三角形的性質(zhì)得出BP= - AB= 2x, BQ= 1 BE, AP=2273 BP= 2j3x,由已知得出 BE= 2x, BF= 2x,得出 BQ=x, EQ=屈 x, PF= 4x, QF= 3x, QC= 4x,由勾股定理求出 AF= JAP2 pf2 =2 x, CE= JeQ2 QC2 = 、,19x,連接DF、DE,由三角形的面積關(guān)系得出AFX DG CEX DH即可得出結(jié)果.【詳解】(1)證明：作 EF BC于F,如圖1所示：1 _則 SABCE= BCX EF S 平行四邊形 ABCD= BCX EF2-SVBCE 二 SYABCD , 2解：連接OH,如圖2

36、所示： 。0與BC邊相切于點(diǎn) H, OHXBC, OH= 1AD=3 2，平行四邊形 ABCD的面積=ADX OH6X3= 18,.AD是。的直徑，/ AMD =90 ,.-.AM BD, .ABD的面積=1 BDX A陣1平行四邊形的面積= 9,22.1 一即一xy= 9,218y與xn間的函數(shù)關(guān)系式 y= 一； x(3)證明：作8“，人5于”，BNXCET N,如圖3所示：1 一一，一_一同圖1得：4ABF的面積=4BCE的面積=一平行四邊形 ABCD的面積,2 1 AFX B陣 1CEX BN22.AF=CE，BM = BN,BG 平分 / AGC.(4)解：作 APIBC于P, EQ

37、BC于Q,如圖4所示：.平行四邊形 ABCD中，AB： BC= 4： 3, Z ABC= 120；/ ABP= 60 ；/ BAP= 30 ,設(shè) AB= 4x,貝U BC= 3x,.BP= AB= 2x, BQ= BE, AP= J3 BP= 2 J3x, 22-E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF: FC= 2: 1,.BE=2x, BF= 2x,.BQ=x,EQ= 6x, PF= 4x, QF= 3x, QC= 4x,由勾股定理得：AF= TaP2PF2 =2 后 x, CE= JEQ_QC2 = Vl9x,-r-，一人，一一1 一，-連接DF、DE,則4CDE的面積=4ADF的面積=平行四

38、邊形 ABCD的面積,2 .AFX DGCEX DHDG: DH= CE AF= 19x :2.7x .19 ：2.7 .【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的判定等知識；本題綜合性強(qiáng)，需要添加輔 助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.14.如圖，AB為。的直徑，BC為。的弦，過。點(diǎn)作OD，BC,交。的切線CD于點(diǎn) D,交。于點(diǎn)E,連接AC、AE,且AE與BC交于點(diǎn)F.(1)連接BD,求證：BD是。的切線；(2)若 AF: EF=2: 1,求 tan/CAF的值.D【答案】(1)證明見解析；(2) Y3.3【解析】【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 / OBD=/ OCD=90 ,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件得到 AC/ DE,設(shè)O