2019衡水名師原創(chuàng)理科數(shù)學(xué)專題卷：專題十四《計(jì)數(shù)原理》

1、2019 衡水名師原創(chuàng)理科數(shù)學(xué)專題卷專題十四計(jì)數(shù)原理考點(diǎn) 45:排列與組合（1-6 題，13,14 題，17-19 題）考點(diǎn) 46:二項(xiàng)式定理（7-12 題，15,16 題，20-22 題）考試時(shí)間：120 分鐘 滿分：150 分說明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上第 I 卷（選擇題）一、選擇題（本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.【來源】安徽省淮北市第一中學(xué) 2017 屆高三下學(xué)期第二次周測(cè)考點(diǎn) 45 中難甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是00、2、1、5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的

2、限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（）A.5B.24C.32D.642.【2017 課標(biāo) II，理 6】 考點(diǎn) 45 中難安排 3 名志愿者完成 4 項(xiàng)工作，每人至少完成 1 項(xiàng)，每項(xiàng)工作由 1 人完成，則不同的安排方 式共有（）A. 12 種B. 18 種C. 24 種D. 36 種3.【來源】四川省資陽(yáng)市 2017 屆高三 4 月模擬考試考點(diǎn) 45 中難將編號(hào)為 1 , 2, 3, 4, 5, 6 的六個(gè)小球放入編號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5, 6 的六個(gè)盒子

3、，每個(gè)盒 子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是（ ）A. 40B. 60C. 80D. 1004.【來源】江西省南昌市十所省重點(diǎn)中學(xué)命制2017 屆高三第二次模擬突破沖刺考點(diǎn) 45中難春天來了，某學(xué)校組織學(xué)生外出踏青.4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3 位女生不全站在一起，則不同的站法種數(shù)是（）A. 964 B.1080 C.1152 D.12965.【來源】福建省 2017 屆高三 4 月單科質(zhì)量檢測(cè) 考點(diǎn) 45 中難5 名學(xué)生進(jìn)行知識(shí)競(jìng)賽.筆試結(jié)束后，甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“你們5 人的成績(jī)互不

4、相同，很遺憾，你的成績(jī)不是最好的”；對(duì)乙說：“你不是最后一名”.根據(jù)以上信息，這 5 人的筆試名次的所有可能的種數(shù)是（）A. 54 B. 72 C. 78 D. 966.【來源】廣西桂林市、崇左市、百色市2017 屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)合模擬考點(diǎn) 45 難如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2 個(gè)，一堆 3 個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是（）A. 6 B. 10 C. 12 D. 247.2x 1的展開式中，x項(xiàng)的系數(shù)為（）0 1 2 2 20 20a C20C202 C202 LC202,a b mod10，則b的值可以是（）A. 2

5、011 B.2012 C.2013 D. 2014第 II 卷（非選擇題）二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。）13.【2017 天津，理 14】 考點(diǎn) 45 易用數(shù)字 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有_個(gè).（用數(shù)字作答）14.【來源】湖北省六校聯(lián)合體2017 屆高三 4 月聯(lián)考 考點(diǎn) 45 中難【2017 課標(biāo) 1,理 6】考點(diǎn) 46 易(112)(1xx）6展開式中x2的系數(shù)為A.15B. 20C. 30D. 358.【來源】山西省三區(qū)八校2017 屆高三第二次模擬考考點(diǎn) 46

6、 易9.【來源】重慶市第一中學(xué)二項(xiàng)式x2A. 1 B.-1C.4ax33i3axC.2017-20182a2Xa3xa4,則a2等于（）學(xué)年高二 3 月月考10的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為（210D. 010.【來源】廣東省揭陽(yáng)市 2017 屆高三第一次模擬考試3 3 Ji考點(diǎn) 46 易考點(diǎn) 46中難A. - 411.【來源】黑龍江省牡丹江市第一高級(jí)中學(xué)B.D. 4.口C. 22017-2018 學(xué)年高二4 月月考考點(diǎn) 46 中難131 x的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)為A.第 6 項(xiàng) B. 第 7 項(xiàng) C. 第 8 項(xiàng)12.【來源】湖南省湘潭市 2017 第三次高考模擬D.第 9 項(xiàng)考點(diǎn) 46 中難中

7、國(guó)南北朝時(shí)期的著作孫子算經(jīng)中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)a,b, m(m 0)為整數(shù)， 若a和b被a和b對(duì)模m同余，記為a b modm.若把編號(hào)為 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 的 7 張電影票分給甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人，每人至少一張，至多分兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同分法種數(shù)為_.15.【2017 山東，理 11】考點(diǎn) 46 易已知 1 3xn的展開式中含有 x2項(xiàng)的系數(shù)是 54，則n16.【來源】安徽省合肥市 2017 屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考點(diǎn) 46 中難14在x - 1的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 _x三、解答題(本題共 6 小題，共 70 分。)17.(本題滿分

8、 10 分)【來源】2015-2016 學(xué)年福建省南安一中高二下期中考點(diǎn) 45 中難用數(shù)字 0, 1, 2, 3, 4, 5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(I)可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？(H)若四位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？(川)將(I)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85 項(xiàng)是什么？18.(本題滿分 12 分)【來源】2015-2016 學(xué)年江蘇連云港東?？h二中高二下期中考點(diǎn) 45 中難(用數(shù)字作答)從 5 本不同的故事書和 4 本不同的數(shù)學(xué)書中選出 4 本，送給 4 位同學(xué)，每人 1 本，問：(I)如果故事書和數(shù)學(xué)書各選2 本，共有多少種不同的

9、送法？(2) 如果故事書甲和數(shù)學(xué)書乙必須送出，共有多少種不同的送法？(3) 如果選出的 4 本書中至少有 3 本故事書，共有多少種不同的送法？19.(本題滿分 122015-2016 學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)高二下二次質(zhì)檢 4 個(gè)不同的球，4 個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1) 恰有 1 個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2) 恰有 1 個(gè)盒內(nèi)有 2 個(gè)球，共有幾種放法？(3) 恰有 2 個(gè)盒不放球，共有幾種放法？20.(本題滿分 12 分)考點(diǎn) 45 中難【來源】 河北省保定市高二年級(jí)第二學(xué)期期中聯(lián)考考點(diǎn) 46 中難已知f(x) (2x 3)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,n2且(2x 3)aoa1

10、(x 1)a2(x 1)an(x1)(1 )求 a2的值;(3)求f(20)20被 6 整除的余數(shù)21.（本題滿分 12 分）【來源】2015-2016 學(xué)年江蘇省泰興中學(xué)高二下學(xué)期期中考點(diǎn) 46 中難1已知（一2x）n，2（1）若展開式中第 5 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系 數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；（2） 若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).22.（本題滿分 12 分）【來源】2017-2018 學(xué)年河北棗強(qiáng)中學(xué)高二上月考考點(diǎn) 46 中難8匸$在X的展開式中.（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)；（3）求系數(shù)最小的

11、項(xiàng).(2)求aia2a3an的值;1【答案】D【解析】5日至9日 分別為5,6,7,8,9，有3天奇數(shù)日2天偶數(shù)日第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有238種，第一步安排偶數(shù)日出行分兩類，第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2 2 4種，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有224種，共計(jì)4 4 8，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)共有8 8 64.故選 D.2.【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可23得，只要把工作分成三份：有C4種方法，然后進(jìn)行全排列A3即可，由乘法原理，不同的安排23方式共有C4A336種方法。故

12、選D,3.【答案】A【解析】解：三個(gè)小球放入盒子是不對(duì)號(hào)入座的方法有2種，由排列組合的知識(shí)可得，不同的放法總數(shù)是：2C；40種.4【答案】C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有AA51440種，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有AfAfA4288種，.符合題意的站法共有1440 288 1152種5【答案】C【解析】由題得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A424種，乙沒得第一有 3 種再排甲也有 3 種，余下得有A；6種，故有6 3 3=54種，所以一共有 24+54=78 種6.【答案】B【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5

13、.分兩種情況討論：若先取 1,則有 12345,12453,14523,14235,14523,12435, 共 6 種情況；若先取 4,則有45123,41235,41523,41253, 共 4 種情況,故共有 6+4=10 種情況.7.【答案】C【解析】因?yàn)?1)(1x)61 (1x)61 (1x)6，則(1X)6展開式中含X2的項(xiàng)為1C2x215x2，x2x21 1(1 x)6展開式中含x2的項(xiàng)為飛c；x415x2，故x2前系數(shù)為15 15 30,選 C.xx& 【答案】B【解析】a C2( z)26(1 a2CH z) 6紜3213i)26(i)2 223 3 3i,故選 B

14、.9. 【答案】C參考答案【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可知，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為CoC；0C10LCw21010.答案】【解析】 因?yàn)閤23C：x2 Cjx C4x 1x2所以x 14的展開式中，x項(xiàng)的系數(shù)為24,故選 D.11.【答案】【解析】由題設(shè)可知展開式中的通項(xiàng)公式為Tr 1C；3其系數(shù)為rr1 C；3,當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)展開式中項(xiàng)的系數(shù)系數(shù)最小，應(yīng)選答案 Co12.【答案】A【解析】因?yàn)閍 (1 2)20320910(10 1)10C10Q1Q10CW109rr1 C13最小，貝Ur9.C9Q10 1，所以a被rr r1 C13X,即第 8 項(xiàng)的10 除得的余數(shù)為13.【答案】41341

15、080【解析】A CiCsA；108014.【答案】1200【解析】1 2 3 4 A51200.15. 【答案】4【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式1,而 2011 被 10 除得的余數(shù)是 1，故選 A.C23254，解得r 1Cr亠r3x Cn3xr，令r2得:16.【答案】5【解析】 由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得:Tr 11rc4x4 r丄1xr,顯然r2,3,4時(shí)可能有常數(shù)項(xiàng),21,有常數(shù)項(xiàng)1xC：X2_26，當(dāng)rx1的展開式中含C|1，故常數(shù)項(xiàng)為x中的常數(shù)項(xiàng)6 12 15.17.【答案】(I)300(n)100C；x Cf-12，當(dāng)rx常數(shù)項(xiàng)為1，所以展開式(出)2301【解析】(1)134

16、3A5A5AsA5300132(2)A5C5A2100.(3)千位是1 的四位數(shù)有A53=60個(gè),千位是 2,百位是 0 或者 12的四位數(shù)有 2A；24個(gè),則第 85 項(xiàng)是18.【答案】(1) 1440;( 2) 504; ( 3) 1080【解析】(1)共有CCA4 1440種不同的送法(2)共有CA4 504種不同的送法2301.(3)共有C5C4A4A1080種不同的送法19.【答案】(1) 144 (2) 144 (3) 84【解析】(1)為保證“恰有 1 個(gè)盒不放球”，先從 4 個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4 個(gè)球，3 個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？ ”即把4

17、個(gè)球分成 2, 1, 1 的三組，然后再?gòu)?3 個(gè)盒子中選 1 個(gè)放 2 個(gè)球，其余 2 個(gè)球放在另外 2 個(gè)盒子內(nèi)，由分步計(jì)數(shù) 原理，共有C：C：C3A 144(種)(2) “恰有 1 個(gè)盒內(nèi)有 2 個(gè)球”，即另外 3 個(gè)盒子放 2 個(gè)球，每個(gè)盒子至多放 1 個(gè)球，也即 另外 3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此， “恰有 1 個(gè)盒內(nèi)有 2 個(gè)球”與“恰有 1 個(gè)盒不放球” 是同一件事，所以共有 144 種放法.(3) 確定 2 個(gè)空盒有 C：種方法.4 個(gè)球放進(jìn) 2 個(gè)盒子可分成3,1、2,2兩類，第一類有序不均勻分組有C3C；A；種方法；第c2c2二類有序均勻分組有胃A2種方法，故共有20.I答

18、案】a2C】22( 1)8144,2,51r (2x)r= 22r_ncnxr,(此題可以用組合數(shù)表示結(jié)果)2由題意知c4,c5,c6成等差數(shù)列，二2C5=c4c6,.n= 14 或 7.當(dāng) n= 14 時(shí)，第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)的系數(shù)為22X-14c74= 3 432 ;當(dāng) n= 7 時(shí)，第 4、5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，其系數(shù)分別為 22X3一7c3=35, 22X4-7c4=70.231 2C4C4C1A2c2c2FC2A；84(種)放法.A【解析】(1)由二項(xiàng)式系數(shù)和為 512 知，2n512299.1 分(2x93)2(x1) 19所以a2C：22()7144a1a13 3aa3x1,a0(2 1 3)91a9(223)91a1a12 20)0)2 29 93737a9(a。a1a2a3a?) a。2.-8 分20(361)920C0363C93683C(361 20因?yàn)镃0369C：36812 分21.【答案】(1) 70 (2)332(2x)10【解析】(1)通項(xiàng) Tr+1=C；需36能被 6 整除，所以-19 被 6 整除后余數(shù)為 5.20 12(2)由題意知CnCnCn= 79,二 n = 12 或 n= 13 (舍).