高中數(shù)學(xué)-外接球與內(nèi)切球解題方法,搞定這8大模型幾何問題不用愁

1、空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義 1.球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡稱球。2.外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一入球的球面上，則稱這個(gè)多 面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。3,內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面 體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。二、外接球的有關(guān)知識與方法性質(zhì)I：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等;性質(zhì)2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大 圓;性質(zhì)3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定

2、理）;性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心;性質(zhì)5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是 球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）.初圖1初圖22.結(jié)論: 結(jié)論I:長方體的外接球的球心在體對角線的交點(diǎn)處，即長方體的體對角線的中 點(diǎn)是球心；結(jié)論2：若由長方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長方體的頂點(diǎn)，則所得多面體 與原長方體的外接球相同；結(jié)論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形 的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角 形的外接圓是大圓；結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段

3、中點(diǎn)處；結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球 的直徑；結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球 的直徑；結(jié)論側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3.終極利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法|.若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直。（與直線切圓的結(jié)論有一致性） 2.內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均 相等。（類比：與多邊形

4、的內(nèi)切圓） 3.正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。圖(3)”,取/從9r的中點(diǎn)/),£,連接力*,(7), AE,CD交于H,連接SH,則是底面正三角形力伏、的中心,，51平面月8(二51/8,V AC = iiC , AD = HD, /. CD LAfi , ，Hl.平面 SCO,SSC,同理："Cl”, ACLSI即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3)2, v AM 1 MV , SBH MN,4V/J.S8, .4CJ.S3, S8i平面s/r,SB ISA, SB 1 SC, / SB 1 SA , BC1 SA ,SA 1 平面SBC, ；. SA 工SC,

5、故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,B(3)0-2 (解答圖)/. (2R)2 = (2)2 + (2>/3)2 + (2)2 = 36 f 即4肥=36,，正三棱錐S 181 外接球的表面積是36萬.(4)在四面體3c中一 1平面/從K' = 120 ,"二/('=2,48 = 1,則該四面體的外接球的表面積為(D)A11及7萬建萬3解：在&4HC 中,BC1 -= AC2 + AH1 - 2J/r BC - cos 120u = 7 , BC =后，&45C 的外 接 球 直 徑K 幣 277為 2r = j=- = -lsin ZB

6、AC <3 V32(2K)2=(2/)2 + ST =24404074+ 4 = 、= 選 D33(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是解：由己知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為。,。(。,力,。£叱)，則ab = 12he = 8 , . ubc = 24 9= 3 ,8=4, c = 2, (2R) =，+ />' + = 29 ,ac = 6S =4或。=29i 9（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為I的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為解：(2爐=。2+/+。2=

7、3, R2 =2, K = 424 4 36 G=一冰=7T = ,3382 0H«ra類型二、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對梭分別相等，求外接球半徑（/夕=。）,AD=BC 9 AC = 81)來源：簡單高中生(IDjiandanlOOcn)第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱;第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為叫 AI） = BC = xfAB = CD = y, zK' = RD = 7,列方程組,a +/)= xb2 +c2 =y2 => (2R)? = a、b、c22，c +a =補(bǔ)充：圖2-1中，匕“0abc-

8、cihcx4=-ahc.第三步根據(jù)墻角2AM2邛,求出 V 28y 8R.思考：如何求棱長為。的正四面體體積，如何求其外接球體積？例2(1)如下圖所示三棱錐力-，其中A/i = CD = 5,A(' = BD = 6.AL) = BC = 7,則該三棱維外接球的表面積為.解：對棱相等，補(bǔ)形為長方體，如圖2-1,設(shè)長寬高分別為a, "c,2(a2 + />2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110 , a2+/>2+c2 = 55, 4/? =55, S = 55(OBR(2)在三棱錐 4-8(7)中，AB = CD = 2. JD = BC = 3,

9、 4C = BD = 4,則三棱錐7QA - BCD外接球的表面積為,萬2解：如圖2-1,設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別 為 a,b,c ,則。'+力=9,Z>:+r=4,c?+/=16；.2(a2+/>2+c?) = 9 + 4 + 16 = 29,2(/+/+/) = 9 + 4 + 16 = 29 ,(3)正四面體的各條棱長都為V2 ,則該正面體外接球的體積為U）解解;正四面體對棱相等的模式，放入正方體中，R”（4）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面二，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是解：如解答圖，

10、將正四面體放入正方體中，截面為AZ¥'O1,面積是拉.題設(shè)：如圖31,圖32,圖33,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：確定球心。的位置，a是A4”的外心，則。Q1平面480；第二步：算出小圓a的半徑/咐=，。&二；四二:力(力4二。也是圓柱的高);第三步：勾股定理：O42 =已4+”> n R? f+/n R =卜心"解出 例3(1)一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為？，底面周長為3,則這個(gè)球的體積 8為解：設(shè)正六邊形邊長為明正六棱柱

11、的高為力，底面外接圓的半徑為廠，則。=L2正六棱柱的底面積為s=6曲(，)2=士回，幾=$力=羽3%=2,:=百, 428884*=m+(6)2=4也可比=(多+(= 1), R = l,球的體積為/ =竺；22*3直三棱柱ABC _ 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC =彳4 = 2/BAC = 120。，則此球的表面積等于.26解：BC = 243 , 2r = = 4, r = 2 f R = 4 ,sin 1200(3) B(3)已知AH"所在的平面與矩形48(7)所在的平 面互相垂直，EA = EH = 3yAD = 2,Z.AEH = 60 , 則多面體E-ABCD

12、的外接球的表面積 為.167r 解：折疊型,法一：的外接圓半徑為八二J5,(叫=, 7? = 5/T+3 = 2 ;法二：O.M -= (KD -, R: = + = 4, R = 2 , Sf -16 ；2*24 4法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過算圓柱的軸截面的對角線長來求球的直徑： (2A)2=(2>/3)2+22 = l6f ,=16不；(4)在直三棱柱中，43 = 4,/(' = 64=工/4=4,則直三棱柱 3力樂-4片(；的外接球的表面積為160n3解:法：802 = 6 + 36 246，= 28, BC =

13、2行,2二畢=也，r = 2V3 V3 V3"八(幺六"+4=竺，y嗎;233 衣 3法二：求圓柱的軸截面的對角線長得球直徑，此略.類型四、切瓜模型(兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一正弦定理求大圓直徑是通法)1 .如圖41,平面04(3平面46C,且"18('(即水'為小圓的直徑)，且尸的射影是A4”的外心o三棱錐P- AHC的三條側(cè)棱相等o三棱P- ABC的底面 色48(在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心。的位置，取&的外心則a三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓a的半徑力a=/，再算出棱錐的高二力(也是圓錐的高)

14、;第三步：勾股定理：OA2 =()2+()02 => R2=(h-R)2+r2,解出 R;事實(shí)上，A4C尸的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出/L2 .如圖42,平面1平面,且即4(、為小圓的直徑)，且PA1AC,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：®(2/e)2 = PJ2+(2r)2o 2R=yjPA2 +(2r)2 ； * + ()()i。r =+ 0()；3 .如圖4.3,平面P/C_L平面力BC,且4_L伙'(即為小圓的直徑)0C2 = 01C2 + 002 o 肥=產(chǎn)+00。AC = 2 Jr2-004題設(shè)：如圖4M,平面4(平面且次'(即力(

15、,為小圓的直徑)第一步：易知球心。必是A/"(的外心，即A/('的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑/C = 2r；來源：簡單高中生(ID:jiandanlOOcn)第二步：在AP/J1中，可根據(jù)正弦定理上一 二，_ =<二=2",求出A. sin A sin H sin (例4(1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為26，則該球的表面積為.解：法一：由正弦定理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2A = 7, S = 4成？=49萬；(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為v2 ,各頂點(diǎn)都在同一球面上,則此球體積為

16、解:方法一:找球心的位置，易知，二1 "二1,萬二r,故球心在正方形的中心方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，心awc的斜邊是球半徑，2火=2,火=1, / =(3)一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是()A.也B至C.D.亙43412解：高力= =1,底面外接圓的半徑為* = 1,直徑為2 = 2,設(shè)底面邊長為明則2及二一 = 2,5 =史/ 二 士生，三棱錐的體積 sin 6044為3 二立； 34(4)在三棱錐”-力加，中，P力=尸"=火'=6,側(cè)棱21與底面力加所成的角

17、為60則該三棱維外接球的體積為()A. nB.-C. 4 1D.33解：選D,由線面角的知識，得ZU8C的頂點(diǎn)4及C在以尸="為半徑的圓上，在圓錐中求解，R = l;(5)已知三棱惟34伙的所有頂點(diǎn)都在球。的求面上,A4坎'是邊長為1的正三角形,SC為球。的直徑，且sr = 2,則此棱錐的體積為()Aa£B.C."D.受6632葩 <>/)向"J L 泡2 瓜 k 2瓜 u 1 v, 1 V3 2V6 4i和牛： 0()=7R£ 一尸=<1-(¥ =,h =. 匕=-Sh =1 V 333* 33436類型五

18、、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面) 1.題設(shè)：如圖5, 平面片以，求外接球半徑.圖5解題步哪：第一步：將畫在小圓面上，力為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑/。，連接則必過球心”；第二步：化為A/i伙的外心，所以(gi平面加(，算出小圓4的半徑(D =r(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得3二3二三二2廠), sin A sin n sin (O(1 = ；PA；第三步：利用勾股定理求三棱雄的外接球半徑：(2)2 = PA2 + (2r)2。2R = 才+(2廠了；犬=產(chǎn)+()0；。A= 6+00；.2題設(shè):如圖5/至5-8這七個(gè)圖形,/)的射影是41/“、的外心o三棱錐P- ABC的三

19、條側(cè)棱相等。三棱錐P-AHC的底面MfiC在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).ffis-lHFIS-2圖S3圖N第一步：確定球心。的位置，取的外心q,則匕3a三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓a的半徑A（= r,再算出棱錐的高P（ =力（也是圓錐的高）;第三步：勾股定理：0A2 = OtA2 + Op2 => /?2 = （/r- R）2 + r2,解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,A. 3了B. 2乃CA A 22正視圖便視圖O 倚視圖則該幾何體外接球的表面積為（）C：.D.以上都不對3解答圖解：選C, 法一：（勾股定理）

20、利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上, (0-"+1 =居/=丁蘆=4成2 = ” ;A33法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角24形PMN的外接圓是大圓，于是2R=- = ',下略； sin 60 V3類型六、折分模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）圖6第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將A伙7）畫在小圓上，找出A8（7）和A/1力/） 的外心片和也;第二步：過和上分別作平面3CQ和平面4%）的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球 心0,連接OE,OC;第三步：解AO/M，算出。修，在及，八。（耳中，勾股定理：OH-

21、 + CH； = OC2注：易知。,廣心2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.例6（1）三棱錐中，平面1平面伙"”/和48均為邊長為2的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為.242解：如圖，2八=2=7= , r =r2 r » 6H = ,sin 60J3V3J3(i)遇n,八，/22 1 4 5r Jl 5R =()J1 +r + = -. R =法二：（）?h=卡,a=七，ah=9 3 3 33R1 = AO2 = AH2 + (H2 + OX)2 = -, R = 1133(2)在直角梯形力*7)中，A/i/ICJ), ZJ = 90 Z(T = 45 AB = AD = ,沿對

22、 角線折成四面體H-8(7),使平面48。1平面伙7),若四面體片-灰力的 頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為解：如圖，易知球心在3C的中點(diǎn)處，S表=4不； (3)在四面體S-力雙,中，A/iLBC. AB = BC = e,二面角S-/C-A的余弦值為-衛(wèi)，則四面體S-4,('的外接球表面積為 、解：如圖9 法一：cos/SQB = cos(NO()。、+) = -23sin /.()().(), = , cos 4)()0、=,123123八八4102113 c0(1 = ,/?* = 1 + = , S= 4成-=6zr；cos NW22 2法二：延長8億到。使。Q二小 由余

23、弦定理得58 =c，57)=收，大圓 直徑為2A = 58 ="(4)在邊長為2白的菱形/加力中，/BAD = 60、，沿對角線8。折成二面角A-BD-C為120的四面體ABCD ,則此四面體的外接球表面積為28萬解：如圖.取見）的中點(diǎn)和的外接圓半徑為q=G = 2. MBD和A（7）的外心儀,。二到弦的距離（弦心距）為4:出=1 ,法一：四邊形?？谛?的外接圓直徑OM = 2, < ="，5 = 2防；法二：0a =5 r = 4i ； 法三：作出的外接圓直徑（邁，則4W=r“ = 3, CE = 4 , ME = ,AE昉，AC = 36,c°sy=z&

24、#177;it2-V7-42V7sin ZAEC =里 2"2人焉而= * = 2后,心" 2yfl(5)在四棱錐,4 W 中，ZPJ = 120 Z/DC = 150 , 4D = BD = 2. CD = VJ, 二面角j-M-C的平面角的大小為120 ,則此四面體的外接球的體積為解：如圖，過兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心，4/，= 2石，4=2,弦心距儀時(shí)二6，#1 = 75,八=715,弦心距01必二24，法一：/. R2 = OD2 = MD2 4- OM2 = 29 , R 二回、，噎二一;法二：O()l=()M2-O2M2=25 , :. R2=O

25、D2=r；+O()i=29 , R = yjf29 ,116、場類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型題設(shè)：如圖7,乙4PB = NACB = 90 ,求三棱錐，-N8C'外接球半徑（分析：取公 共的斜邊的中點(diǎn)。，連接OP、"，則。4 =（陰= = =。為三棱錐-力以'外接球球心，然后在儀'中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得 三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7（1）在矩形力以中，AB = 4, 8（7 = 3,沿4?將矩形48CQ折成一個(gè)直二面角/,則四面體力以7）的外接球的體積

26、為（）a 125八 125- 125C 125A.nB.nC.itD.k12963解：2& = =5, r=-9=-,選c23386（2）在矩形力"7）中，" = 2, " = 3,沿8。將矩形力*7）折疊，連接力（',所 得三棱推A - BCD的外接球的表面積為.解：用）的中點(diǎn)是球心"，2R = BD =屈、8 = 4成'=13”.類型八、錐體的內(nèi)切球問題L題設(shè)：如圖8-1,三棱錐-力坎,上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心;第二步：求P（） = PH r, /）是側(cè)面MH"

27、;的高; 3第三步：由A/W 相似于建立等式： 器二卷2 .髭設(shè)：如圖82,四棱錐P力/4是正四棱錐，求其內(nèi)切球 的半徑 第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線:第二步：求卜，=!（'，PO = PH/斗是側(cè)面MC/）的2第三步：由APOG相似于A/7H,建立等式：要二二Hb rr解出3 .題設(shè)：三棱錐-力伙是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑 方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：ABC = Z J第三步:解出七I'P ABC = O ABC + PAB + ' O PAC + ' O PBC例8 （I）梭長為。的正四面體的內(nèi)切球表面積是解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，將正四面體放入棱長為a72的正方體中（即補(bǔ)形為正方體），如圖，則王方體二三運(yùn)二證,P U4I C / 1百2 后2X*-, c=4 jAr = 4 -.a .r = ar,r = -, r = 3，.內(nèi)切球的表面積為36%<22V62鼠=42=竺（注：還有別的方法，此略）6正四棱錐S-川版'。的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,則其內(nèi)切球的半徑為471 + 2