2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽試題(附答案)

1、2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽試題(附答案) 2015年4月一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1已知全集，則是（）A. B.C. D.2.已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長為（）A. B. C. D.3. 函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.4設(shè)記，若，則（）A B. C. D.5化簡（）A. B. C. D.6.已知與均為單位向量，其夾角為.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D. 7設(shè)，以下三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.8若對任意的實(shí)數(shù)，有成立，則有（）A. B. C. D.9方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.10設(shè)方

2、程的三個(gè)實(shí)根是、.則代數(shù)式的值為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分.11.函數(shù)的定義域?yàn)?. 12.若，則 . 13. 不等式的解集是 .14.已知是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 15. 定義區(qū)間的長度為，已知函數(shù)的定義域與值域都是，則區(qū)間取最大長度值為 . 16.若的重心為，動(dòng)點(diǎn)滿足（），則點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于 . 17.已知函數(shù)，若對任意恒成立，則的取值集合 .三、解答題：本大題共3小題，共51分18. （本題滿分15分）已知函數(shù)的最小正周期為（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單

3、位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.若在上至少有個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.19. （本題滿分18分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，.（I）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（II）若，記，當(dāng)取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，求的最小值.20. （本題滿分18分）已知函數(shù)，.（I）當(dāng)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)均有，求函數(shù)的解析式；（II）若對任意實(shí)數(shù)成立，求證：.2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽試題 2015年4月一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1.已知全集，則是（ C ）A. B.C. D.解析：，則=，故答案選. 2.已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長為（ A ）A. B. C. D.解析：設(shè)扇形的半徑為弧長

4、為.由題意：，解得，所以扇形的周長為，故答案選.3.函數(shù)的值域是（ B ）A. B. C. D.解析：函數(shù)是在上的奇函數(shù)，只需考慮當(dāng)時(shí)函數(shù)的取值范圍，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，答案選4設(shè)記，若，則（ D ）A B. C. D.解析：，依次類推可知：所以，故答案選5 化簡（ D ）A. B. C. D.解析：先考慮分母：，所以原式等于6.已知與均為單位向量，其夾角為.若，則的取值范圍為（ C ）A. B. C. D. 解析：，兩邊平方可得：，因?yàn)榕c均為單位向量，則，又因?yàn)?，則，答案選.7設(shè)，以下三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（ A ）A. B. C. D.解析：法一：取特殊值，則，則，答案選.法二：當(dāng)時(shí)，此時(shí)

5、與都屬于區(qū)間，易知，則.8若對任意的實(shí)數(shù)，有成立，則有（ B ）A. B. C. D.解析：因?yàn)?，則，構(gòu)造函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以，答案選9方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（ B ）A. B. C. D.解析：考慮函數(shù)和函數(shù)的圖像可知有個(gè)交點(diǎn)，所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是個(gè).10設(shè)方程的三個(gè)實(shí)根是、.則代數(shù)式的值為（D）A. B. C. D.解析：利用三倍角公式得到方程：的三個(gè)根是、，再化為三角求值，答案為.二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開.解析：則函數(shù)的定義域?yàn)?12. 若，則 . 解析：設(shè)，則，所以， ，所以，故.13.不等式的解集是_.解析：觀察可知是方程的一個(gè)根，則

6、，所以，所以原不等式的解集為.14.已知是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解析：是偶函數(shù)，則，又在區(qū)間上是增函數(shù)，則，由數(shù)形集合可知只需：，解得.15. 定義區(qū)間的長度為，已知函數(shù)的定義域與值域都是，則區(qū)間的最大長度值為 .解析：由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?，是函?shù)的定義域的子集，所以或，而在區(qū)間上單調(diào)遞增，則即時(shí)方程的兩個(gè)根，即是方程的同號(hào)的相異實(shí)根，解得：或而，當(dāng)時(shí)，的最大值為.16.若的重心為，動(dòng)點(diǎn)滿足（），則點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于_.解析：極端值方法：令，則，則點(diǎn)位于平行四邊形內(nèi)（如圖所示），同理可得另外兩種情況，則點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的

7、面積是的面積的兩倍，令，則，由勾股定理：可求得：則,所以17. 已知函數(shù)，若對任意恒成立，則的取值集合 .三、解答題：本大題共3小題，共51分18. （本題滿分15分）已知函數(shù)的最小正周期為（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.若在上至少有個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.解：（） 3分函數(shù)的最小正周期為，則，則， 5分所以，令， 6分解得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 8分（）由題意：，令，得或 11分所以在每個(gè)周期上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，若在上至少有個(gè)零點(diǎn)，即應(yīng)該大于等于第個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 13分則 15分19. （本題滿分18分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，.（I）當(dāng)時(shí)，

8、求的取值范圍；（II）若，記，當(dāng)取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，求的最小值. 解：（）由題意：， 1分則 3分令，對稱軸 4分則， 6分由對稱軸易知：，所以， 8分故.10分（II）對于某個(gè)固定的，的最大值顯然可以趨向，實(shí)際上就是當(dāng)為的外心時(shí)，此時(shí)取最小值，因?yàn)楫?dāng)不是外心時(shí)，至少有一個(gè)會(huì)變大，這樣就變大， 12分外心坐標(biāo)為， 14分要使最小，需要，解得， 17分故的最小值為 18分20. （本題滿分18分）已知函數(shù)，.（I）當(dāng)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)均有，求函數(shù)的解析式；（II）若對任意實(shí)數(shù)成立，求證：.解：（）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和則由條件可知：，從而，由韋達(dá)定理知：，故函數(shù)的解析式為： 6分（II）若，則，此時(shí)式子轉(zhuǎn)化為，即對任意恒成立，易知，故要證明的不等式顯然成立. 8分當(dāng)時(shí)，恒成立，因此