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1、2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學競賽試題(附答案) 2015年4月一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.1已知全集,則是()A. B.C. D.2.已知扇形的面積為,扇形圓心角的弧度是,則扇形的周長為()A. B. C. D.3. 函數(shù)的值域是()A. B. C. D.4設記,若,則()A B. C. D.5化簡()A. B. C. D.6.已知與均為單位向量,其夾角為.若,則的取值范圍為()A. B. C. D. 7設,以下三個數(shù)的大小關系是()A. B. C. D.8若對任意的實數(shù),有成立,則有()A. B. C. D.9方程的實根個數(shù)是()A. B. C. D.10設方
2、程的三個實根是、.則代數(shù)式的值為()A. B. C. D.二、填空題:本大題共7小題,每小題7分,共49分.11.函數(shù)的定義域為 . 12.若,則 . 13. 不等式的解集是 .14.已知是偶函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),若在區(qū)間上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 . 15. 定義區(qū)間的長度為,已知函數(shù)的定義域與值域都是,則區(qū)間取最大長度值為 . 16.若的重心為,動點滿足(),則點的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于 . 17.已知函數(shù),若對任意恒成立,則的取值集合 .三、解答題:本大題共3小題,共51分18. (本題滿分15分)已知函數(shù)的最小正周期為()求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;()將函數(shù)的圖像向左平移個單
3、位,再向上平移個單位,得到函數(shù)的圖像.若在上至少有個零點,求的最小值.19. (本題滿分18分)已知為坐標原點,.(I)當時,求的取值范圍;(II)若,記,當取遍一切實數(shù)時,求的最小值.20. (本題滿分18分)已知函數(shù),.(I)當時,對任意實數(shù)均有,求函數(shù)的解析式;(II)若對任意實數(shù)成立,求證:.2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學競賽試題 2015年4月一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.1.已知全集,則是( C )A. B.C. D.解析:,則=,故答案選. 2.已知扇形的面積為,扇形圓心角的弧度是,則扇形的周長為( A )A. B. C. D.解析:設扇形的半徑為弧長
4、為.由題意:,解得,所以扇形的周長為,故答案選.3.函數(shù)的值域是( B )A. B. C. D.解析:函數(shù)是在上的奇函數(shù),只需考慮當時函數(shù)的取值范圍,當時,所以函數(shù)的值域為,答案選4設記,若,則( D )A B. C. D.解析:,依次類推可知:所以,故答案選5 化簡( D )A. B. C. D.解析:先考慮分母:,所以原式等于6.已知與均為單位向量,其夾角為.若,則的取值范圍為( C )A. B. C. D. 解析:,兩邊平方可得:,因為與均為單位向量,則,又因為,則,答案選.7設,以下三個數(shù)的大小關系是( A )A. B. C. D.解析:法一:取特殊值,則,則,答案選.法二:當時,此時
5、與都屬于區(qū)間,易知,則.8若對任意的實數(shù),有成立,則有( B )A. B. C. D.解析:因為,則,構造函數(shù)是單調遞增函數(shù),則,所以,答案選9方程的實根個數(shù)是( B )A. B. C. D.解析:考慮函數(shù)和函數(shù)的圖像可知有個交點,所以方程的實根個數(shù)是個.10設方程的三個實根是、.則代數(shù)式的值為(D)A. B. C. D.解析:利用三倍角公式得到方程:的三個根是、,再化為三角求值,答案為.二、填空題:本大題共7小題,每小題7分,共49分.11.函數(shù)的定義域為_.解析:則函數(shù)的定義域為.12. 若,則 . 解析:設,則,所以, ,所以,故.13.不等式的解集是_.解析:觀察可知是方程的一個根,則
6、,所以,所以原不等式的解集為.14.已知是偶函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),若在區(qū)間上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_.解析:是偶函數(shù),則,又在區(qū)間上是增函數(shù),則,由數(shù)形集合可知只需:,解得.15. 定義區(qū)間的長度為,已知函數(shù)的定義域與值域都是,則區(qū)間的最大長度值為 .解析:由題意知:函數(shù)的定義域為,是函數(shù)的定義域的子集,所以或,而在區(qū)間上單調遞增,則即時方程的兩個根,即是方程的同號的相異實根,解得:或而,當時,的最大值為.16.若的重心為,動點滿足(),則點的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于_.解析:極端值方法:令,則,則點位于平行四邊形內(nèi)(如圖所示),同理可得另外兩種情況,則點的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的
7、面積是的面積的兩倍,令,則,由勾股定理:可求得:則,所以17. 已知函數(shù),若對任意恒成立,則的取值集合 .三、解答題:本大題共3小題,共51分18. (本題滿分15分)已知函數(shù)的最小正周期為()求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;()將函數(shù)的圖像向左平移個單位,再向上平移個單位,得到函數(shù)的圖像.若在上至少有個零點,求的最小值.解:() 3分函數(shù)的最小正周期為,則,則, 5分所以,令, 6分解得,則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為 8分()由題意:,令,得或 11分所以在每個周期上恰好有兩個零點,若在上至少有個零點,即應該大于等于第個零點的橫坐標, 13分則 15分19. (本題滿分18分)已知為坐標原點,.(I)當時,
8、求的取值范圍;(II)若,記,當取遍一切實數(shù)時,求的最小值. 解:()由題意:, 1分則 3分令,對稱軸 4分則, 6分由對稱軸易知:,所以, 8分故.10分(II)對于某個固定的,的最大值顯然可以趨向,實際上就是當為的外心時,此時取最小值,因為當不是外心時,至少有一個會變大,這樣就變大, 12分外心坐標為, 14分要使最小,需要,解得, 17分故的最小值為 18分20. (本題滿分18分)已知函數(shù),.(I)當時,對任意實數(shù)均有,求函數(shù)的解析式;(II)若對任意實數(shù)成立,求證:.解:()設方程的兩個實根分別為和則由條件可知:,從而,由韋達定理知:,故函數(shù)的解析式為: 6分(II)若,則,此時式子轉化為,即對任意恒成立,易知,故要證明的不等式顯然成立. 8分當時,恒成立,因此
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