電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)課件 第五章

1、第五章 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)、電感和磁場(chǎng)能5.0 序5.1 法拉第電磁感應(yīng)定律5.2 電荷守恒定律5.3 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)5.4 作為準(zhǔn)靜態(tài)近似的電路理論5.5 電感5.6 磁場(chǎng)的能量和磁場(chǎng)力習(xí)題習(xí)題4-14-14-54-54-104-104-144-144-154-153-23-23-43-43-153-153-183-183-213-21Deadline: 11Deadline: 11月月1111日日5.1 法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律 當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這就是法拉弟當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律（Fara

2、days Law of Electromagnetic Induction Faradays Law of Electromagnetic Induction ）。）。dtd引起磁通變化的原因分為三類：引起磁通變化的原因分為三類：SBdtdtdS 回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化圖圖5.1.2 5.1.2 感生電動(dòng)勢(shì)感生電動(dòng)勢(shì) 負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻礙原磁場(chǎng)的變化場(chǎng)總是阻礙原磁場(chǎng)的變化圖圖5.1.15.1.1感生電動(dòng)勢(shì)的參考方向感生電動(dòng)勢(shì)的參考方向5.1.1 5.1.1 電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律 稱為感生電動(dòng)勢(shì)，這是變壓器稱為感生電動(dòng)勢(shì)，這是變

3、壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢(shì)。工作的原理，又稱為變壓器電勢(shì)。SdtBSdEl dESSCSBdtdtdStAEtBEABB)(0)(0tAEtAElBVd)(dtdlSBlBVdtd )(dtdSl 稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這是發(fā)電機(jī)工作原稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這是發(fā)電機(jī)工作原理，又稱為發(fā)電機(jī)電勢(shì)。理，又稱為發(fā)電機(jī)電勢(shì)。 磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，回路切割磁力線磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，回路切割磁力線 實(shí)驗(yàn)表明實(shí)驗(yàn)表明：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無(wú)關(guān)（甚至可以是假想回路），與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無(wú)關(guān)（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)回路是導(dǎo)體時(shí)，才有感只要與回路交

4、鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)回路是導(dǎo)體時(shí)，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。應(yīng)電流產(chǎn)生。 回路切割磁力線，磁場(chǎng)不變回路切割磁力線，磁場(chǎng)不變圖圖5.1.3 5.1.3 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)5.1.2 5.1.2 感應(yīng)電場(chǎng)（渦旋電場(chǎng)）感應(yīng)電場(chǎng)（渦旋電場(chǎng)） 麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)著一種電場(chǎng)，該電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)著一種電場(chǎng)，該電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為感應(yīng)電場(chǎng)感應(yīng)電場(chǎng)（Electric Field of Induction )Electric Field of Induction )。SBlBVSElEddtd)(

5、d)(dLsili 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感應(yīng)電場(chǎng)的關(guān)系為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感應(yīng)電場(chǎng)的關(guān)系為t)(iBBVE 感應(yīng)電場(chǎng)是非保守場(chǎng)，電力線呈閉合曲線，變化的磁場(chǎng)感應(yīng)電場(chǎng)是非保守場(chǎng)，電力線呈閉合曲線，變化的磁場(chǎng) 是產(chǎn)生是產(chǎn)生 的渦旋源。的渦旋源。iEt B圖圖5.1.4b 5.1.4b 變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)tBE 若空間同時(shí)存在庫(kù)侖電場(chǎng)若空間同時(shí)存在庫(kù)侖電場(chǎng), , 即即 則有則有,iCEEE變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)在靜止媒質(zhì)中在靜止媒質(zhì)中tiBE圖圖5.1.4a 5.1.4a 變化的變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)例例5-15-1一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為h h、寬為、寬為w w的固定

6、線圈，位于一隨時(shí)間變化的均勻磁場(chǎng)中，的固定線圈，位于一隨時(shí)間變化的均勻磁場(chǎng)中，ztBBsin0, ,設(shè)線圈面的法線方向與設(shè)線圈面的法線方向與Z Z軸成軸成q q角角, ,求線圈中的感受電動(dòng)勢(shì)求線圈中的感受電動(dòng)勢(shì)解解: : tSBdsnztBeztBtBdStBdSEdlEesicSsiqcoscoscoscos000所以而5.2 電荷守恒定律 實(shí)驗(yàn)表明：自然界電荷總是保持守恒。根據(jù)單位時(shí)間通過閉曲面流出的電荷等于閉曲面所圍的體積內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)電荷增量的負(fù)值，可以得到電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表示式：VSdvttqSdJ0VSVdvtJdvJSdJ0tJ在恒定電流的情況下，電流連續(xù)性方程的積分、微分形式為

7、：SSdJ00 J5.3 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)特點(diǎn)： 電場(chǎng)的有源無(wú)旋性與靜電場(chǎng)相同，稱為電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)（EQS）。用洛侖茲規(guī)范 ，得到動(dòng)態(tài)位滿足的微分方程t A/,22JA低頻時(shí)，忽略二次源 的作用，即 ，電磁場(chǎng)基本方程為t D0DHDBEJBJH,t/0,0,磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng) 0A/,22JA 用庫(kù)侖規(guī)范 ，得到動(dòng)態(tài)位滿足的微分方程低頻時(shí)，忽略二次源 的作用，即 ,0iE)0(tBDEJBDJH,0t,0,t電磁場(chǎng)基本方程為特點(diǎn)：磁場(chǎng)的有旋無(wú)源性與恒定磁場(chǎng)相同，稱為磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)（MQS）。例例5-35-3一對(duì)平行導(dǎo)線一對(duì)平行導(dǎo)線, ,通有大小相等而方向相反的電流通有大小相等而方向相反的電流I,II,I隨時(shí)

8、間變化隨時(shí)間變化, ,在同在同一平面內(nèi)有一封閉矩形線圈一平面內(nèi)有一封閉矩形線圈, ,求矩形線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)求矩形線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)解:按準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)考慮,因此安培環(huán)路定律仍為lIdlHaaIB20導(dǎo)線a里的電流I產(chǎn)生的磁感性強(qiáng)度為bbIB20導(dǎo)線b里的電流I產(chǎn)生的磁感性強(qiáng)度為空間任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為babaIBBB1120通過矩形線圈的磁通量為abbawRRbbwRRaasRwRRwRhIdhdhIdSBbbaaln2200矩形線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)abbaiRwRRwRdtdIhdtdeln205.4 作為準(zhǔn)靜態(tài)近似的電路理論 在MQS場(chǎng)中， 即 ，故有0 J0dsSJSJ dsSJSJSJSdd

9、d3213S2S10iii321即集總電路的基爾霍夫電流定律0i 時(shí)變場(chǎng)中sLeciLdtd)(dsBlEEElE電容（EQS）cLcdlEcLdls)t ( q) t ( qc1cuidtc1電阻（MQS）RLcdlERLdlJislRuRi電感（MQS）SBlEdtdsLiLdtdLudtdiL電源sLeudslE有 CLRsuuuidtc1dtdiLRiu即集總電路的基爾霍夫電壓定律 0u圖5.4.1 結(jié)點(diǎn)電流圖5.4.2 環(huán)路電壓5.5 .1 自感 在線性各向同性媒質(zhì)中，L 僅與回路的幾何尺寸、媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與回路的電流無(wú)關(guān)。自感計(jì)算的一般步驟：),(0iLLLIBHA設(shè)回路的電流與該

10、回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感。LIdsSB即單位：H（亨利）IL 自感又分為內(nèi)自感 Li 和外自感 L0 。0iLLLILii內(nèi)自感是導(dǎo)體內(nèi)部?jī)H與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值。IL00 外自感是導(dǎo)體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。圖5.5.1 內(nèi)磁鏈與外磁鏈5.5 電 感解： 總自感設(shè)安培環(huán)路包圍部分電流 ，則有I221221LRIRIIdlH210212,2RIBRIH磁鏈中的匝數(shù)，可根據(jù)212:1:RIINNII因此，有sR0021221o1i18lIdRR2lINd8011lILii內(nèi)自感例 5.5.1試求圖示長(zhǎng)為 的同軸電纜的自感 L。l圖3.7.3 同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體縱截面穿過寬度為

11、 ,長(zhǎng)度為 的矩形面積的磁通為dldR2Idd210SB圖5.5.2 同軸電纜截面1)內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感 )R0(L11i021LLLLiil,IRRR)RRR( III22232232223222HB,2)RRR( I2IH02223223ld2)RRR( IBdSd222322302i)RR(8)RR( l)RR(2lRRRln)RRR(2l22232223022232302322223230工程上視同軸電纜外導(dǎo)體為面分布的電流，故忽略此部分的內(nèi)自感 。)0L(2i3） 內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感 )(210RRL120RR000RR2ld2II1IL21lndl)RRR(2II1NdI1L32RR

12、2222322302i2i故總電感為02i1iLLLL,2IB0ld2Idd0002）外導(dǎo)體內(nèi)自感 2i2idIII1L32RR2223223RRRIIN 例 5.5.2 設(shè)傳輸線的長(zhǎng)度為 , 試求圖示兩線傳輸線的自感。l解：總自感0iLL2LSB d00RDR0ldx)xD(21x21IRRDlnIl0RRDlnlIL000設(shè)z02z01RDRln2IRRDln2IIeAeAlAlAd2100lARRDlnlIL000HBeH0)xD(2Ix2II設(shè)總自感為RRDlnl4lLL2L000i內(nèi)自感4lL2,8lL0i0i解法一)(0LB由解法二)(0LA由RRDlnlI0圖3.7.4 兩線傳輸

13、線的自感計(jì)算5.5.2 互感12121IM12121IM式中，M21 為互感，單位：H（亨利） 互感是研究一個(gè)回路電流在另一個(gè)回路所產(chǎn)生的磁效應(yīng)，它不僅與兩個(gè)回路的幾何尺寸和周圍媒質(zhì)有關(guān)，還和兩個(gè)回路之間的相對(duì)位置有關(guān)。 在線性媒質(zhì)中，回路1的電流 產(chǎn)生與回路2相交鏈的磁鏈 與 成正比。1I211I同理，回路2對(duì)回路1的互感可表示為21212IM2112MM可以證明計(jì)算互感的一般步驟：圖5.5.5 電流I1 產(chǎn)生與回路2交鏈的磁鏈設(shè)ALdlA12212111IMdISSBBH例 5.5.3 試求圖示兩對(duì)傳輸線的互感。解：根據(jù)互感定義，只需假設(shè)一對(duì)傳輸線的電流方 向；另一對(duì)傳輸線的回路方向。導(dǎo)線

14、 B 的作用BDBC2l I0mBmBln由于這兩個(gè)部分磁通方向相同(H)導(dǎo)線 A的作用ACADln2Ild0SmAmASB2IB0圖5.5.6 兩對(duì)傳輸線的互感BDACBCADl ImBmAmln20BDACBCADlIMmln20 磁場(chǎng)作為一種特殊的物質(zhì)，和電場(chǎng)一樣具有能量。有專家預(yù)測(cè)，21世紀(jì)將是以磁力（磁能）作為能源代表的時(shí)代。 高溫超導(dǎo)體磁場(chǎng)特性的發(fā)現(xiàn)與利用，使夢(mèng)想中之能源受控?zé)峋圩? 磁流體發(fā)電，太陽(yáng)能衛(wèi)星電站，逐步成為現(xiàn)實(shí)，利用磁能作為驅(qū)動(dòng)力的超導(dǎo)體磁懸浮列車和超導(dǎo)磁動(dòng)力船己向我們馳來(lái)。5.6 磁場(chǎng)能量與力5.6.1 5.6.1 恒定磁場(chǎng)中的能量恒定磁場(chǎng)中的能量 媒質(zhì)為線性媒質(zhì)為

15、線性； 磁場(chǎng)建立無(wú)限緩慢（不考慮渦流及輻射磁場(chǎng)建立無(wú)限緩慢（不考慮渦流及輻射）；）； 系統(tǒng)能量?jī)H與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能量的建立過程無(wú)關(guān)。系統(tǒng)能量?jī)H與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能量的建立過程無(wú)關(guān)。假設(shè)：假設(shè)：磁場(chǎng)能量的推導(dǎo)磁場(chǎng)能量的推導(dǎo)則 t 時(shí)刻，回路1、2中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為dtd,dtd21211111 若要繼續(xù)充電，外源必須克服回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功，即1111111111didtidtddti )(Ad 過程中，外源所做的功0AdAAA121110Ii從2/IL21111I0I0111111diiLdi第一步： 從 0i21i,I01第二步： 不變， 從 1I2i2I0則 t 時(shí)刻，回路1、

16、2中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為dtddtd12122222, 若要繼續(xù)充電，外源必須克服回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功，即21121121121diIMdtIdtddtI )(Ad 2222222222diiLdtidtddti )(Ad 22I0I0222212121diiLdiMIAAA 不變， 從 ，外源所做的功 1I2i20I2/ILIMI2222121222211 mIMIIL21IL21AAAW21kkk22112221121122221211mI21I21I21I )ILMI(21I )MIIL(21IL21IMIIL21W 推廣n1kkkn1in1jjiijn1k2kkmI21IIM21IL21W)

17、 ji ( 自有能互有能 是回路k 獨(dú)存在時(shí)的能量，稱為自有能量。自有能量始終大于零。2kkIL21 與兩回路的電流及互感系數(shù)有關(guān)，稱為互有能。當(dāng)兩個(gè)載流線圈產(chǎn)生的磁通是相互增加的，互有能為正；反之為負(fù)。jiijIIM 對(duì)于單一回路2m2mIW2LLI21W由矢量恒等式AHHAAH)(式中 Vk 為導(dǎo)電媒質(zhì)體積元所占體積，V 為導(dǎo)電媒質(zhì)的總體積。 考慮到磁通可以用磁矢位 A 表示，則磁能 Wm 可表示為lA dI21I21Wn1klkkn1kkmkdV21dV21Vn1kkVkJAJA n利用 的關(guān)系，dV21WvmHAJH5.6.2 磁場(chǎng)能量的分布及磁能密度 磁場(chǎng)能量是在建立回路電流的過程中

18、形成的，分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間中。上式表明磁能是以磁能密度的形式儲(chǔ)存在整個(gè)場(chǎng)域中。dVwdV21WvmVmBH單位：J（焦耳）單位：磁能密度22mB21H2121wBH3mJ22rdSr1Ar1H,時(shí)，第一項(xiàng)為 0r得dV21dV21WVVmBHAH)(0sVdV21d)(21BHSAH散度定理 例 5.6.1 長(zhǎng)度為 ,內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為 R1 與 R2 的同軸電纜，通有電流 I ，試求電纜儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。l解：由安培環(huán)路定律，得221121R0RR2IR0R2I2IeeeH磁能為121R0RR22210d2l)2I(d2l)R2I(21220RRln414lI自感1202mRRln

19、412lIW2LV20VmdVH21dV21WBH圖5.6.2 同軸電纜截面5.6.3 磁場(chǎng)力 磁場(chǎng)能量的宏觀效應(yīng)就是載流導(dǎo)體或運(yùn)動(dòng)的電荷在磁場(chǎng)中要受到力的作用。仿照靜電場(chǎng)，磁場(chǎng)力的計(jì)算也有三種方法。1. 安培力BlFlId 例 5.6.2 試求兩塊通有電流 I 的無(wú)限大平行導(dǎo)板間的相互作用力。B 板產(chǎn)生的磁場(chǎng)dx)(a2I)(2Ky0y02eeH解： 由安培力定律，得A 板產(chǎn)生的磁場(chǎng)0 x)(a2I)(2Ky0y01eeH兩板間的磁場(chǎng)dx0)(aIy021eHHHBKFdsdx)(2)(0yzaIbdyaIee)(2220 xdyabIexxdFF)(dy2b)aI(xa002eA板受力)(

20、a2bx0e圖5.6.3 兩平行導(dǎo)板間的磁力2.虛位移法電源提供的能量 = 磁場(chǎng)能量的增量 + 磁場(chǎng)力所做的功 常電流系統(tǒng) 常磁鏈系統(tǒng)nkkkImdWdIdWk12121常量 表明外源提供的能量，一半用于增加磁場(chǎng)能量，另一半提供磁場(chǎng)力作功，即常量kImdWfdg 假設(shè)系統(tǒng)中 n 個(gè)載流回路分別通有電流I1，I2，In，仿照靜電場(chǎng)， 當(dāng)回路僅有一個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生位移 ，該系統(tǒng)中發(fā)生的功能過程是dg 由于各回路磁鏈保持不變，故各回路沒有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電源不提供（增加的）能量，即 ，所以 ，只有減少磁能來(lái)提供磁場(chǎng)力作功，故有常量kmdWfdg)0dW(fdgdWdWmfdq)I21(d)I(dn1kkkkn1kk即由此得廣義力常量kImgWf由此得廣義力常量kgWfm 兩種假設(shè)結(jié)果相同，即 在實(shí)際問題中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相對(duì)位置為廣義坐標(biāo)，利用上式即可得到