2020版高考數(shù)學大二輪復(fù)習3.3三角變換與解三角形學案(理)

1、第3講三角變換與解三角形考點1三角恒等變換1 .三角求值“三大類型”“給角求值”、“給值求值”、“給值求角”.2 .三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是"1"的代換，1 = sin 2 8 + cos2 0 =tan450等；(2)項的分拆與角的配湊： 如 sin 2 a +2cos2 a = (sin 2 a + cos2 a ) + cos2 a , a = (a B)+ B等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.兀例 1(1)2019 全國卷H已知 a 0, , 2sin 2 a = cos 2 a

2、+ 1,貝U sin a =1 A.5D.2 ,55-18 -(2)2019 天津南開大學附屬中學月考已知sin a =坐，sin B且a, B為銳角，則a + §為()兀A. 7 B.C.D.7t3sin 2 a .因為a 0, y ,所以解得 sin a = W5 5,故選B.(2)sin a邛且a,，2 53為銳角，cos a =一片,53 ：10 cos §=3-，【解析】(1)本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，意在考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.由 2sin 2 a = cos 2 a + 1 ,得 4sin

3、 a cos a = 1 2sin 2 a + 1,即 2sin a cos a = 1 cos ”=寸1sin2a,所以 2sin a1 sin. COS( a + B )醇噂Y臂浮又。- 兀 、，a + 3 =.故選 A.【答案】(1)B(2)A的技法領(lǐng)悟 1化簡三角函數(shù)式的規(guī)律規(guī)律解讀一角T “角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理 地拆分，從而止確使用公式二名二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“弦切互化”三結(jié)構(gòu)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式 要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等溫馨提醒(

4、1)常用技巧：弦切互化，異名化向名，異角化向角，降哥或升哥，“1”的代換等.(2)根式的化簡常常需要升哥去根號，在化簡過程中注意角的范圍，以確定三角函數(shù)值的正負對接訓練、(2cos 2 0 j-1. 2019 山東濟南長清月考 若Z=，3sin 2 0 ,則sin2 0=()cos 4 + eA.1B. 233C. -3 D .3(兀解析：通解/2cos 2 8兀cos -+ 0V2sin 萬 + 2 0兀,/3sin 2 0，.二= 2>j2sin -+ 0 = 3sincos -+ 92 0, ：.!啦sin -4-+ 0 =-而cos 2 0 +-2- , ：.1 ,sin 2 0

5、 +- - 2娟sin兀0,得 sin 0 +- = .sin 2 0 = cos ：+2 8 =2sin 2 -+ 9 1 =一點 故選 C.2432力yf2cos 2 0 k . cJ2 cos2 0 - sin 2 0 巾. c優(yōu)解 . a=pin 2 e, .，華=sin 2 0,cos 彳十當 cos 9 sin 92（cos 8+sin 8）=道sin 2 8, . 3sin 22 8 4sin 2 84=0,得 sin 2 0 = -1.3故選C.答案：C兀2. 2019 全國高考信息卷若a為第二象限角，且sin 2 a = sin a + cos（兀一a ）, 則2cos 2”

6、一；的值為（A. 1 B.5a是第二解析：.sin 2 a = sin a +_2- cos（兀一a）, 1- 2sin a cos a = - cos2 a ,象限角，cos a w0,2sina = cos4sina = cos a = 1 sin a ,sin 2 a15,2c cos a = sin a =/2cos 2 a - = cos 2 a + sin 2 a = cos 2 a sin 2 a + 2sin一二故選A.5答案：A考點2利用正、余弦定理解三角形1 .正弦定理及其變形a b c 、一在ABC43, snA= sn"B= sn-C= 2R（R 為ABC勺外

7、接圓半徑）.變形：a=2RsinA, sin Ac= sin A ： sin B : sin C等.2 .余弦定理及其變形在 ABC中，a2=b2+c2-2bccosA;、/222b2 + c2a2變形：b + c a = 2bccosA, cosA=-2bc3 .三角形面積公式S>A ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 222例2 (1)2019 全國卷 ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c.若b=6, a = 2c, B= 3,則 ABC勺面積為(2)2019 江西南昌段考在 ABC中，內(nèi)角 A B, C所對的邊分別為 a, b, c,若

8、asin BCosC+ csin Bcos1 一 一， 一 一A= 2b,且a>b,則B等于()5兀a.6- B.7t37t6(1)本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式，意在考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查方程思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.解法一因為a=2c,兀b=6, B=, 3所以由余弦定理 b1 2 = a2 + c2 2accos B,得 62= (2 c)2+ c2 2X2 cx ccos?,得3c=2、/3,所以.1a= 4 ,：3,所以 ABC的面積 S= 2acsinB=2X4/3X2#Xsin 5=64 3解法二 因為a=2c,兀b=6, B=,

9、 3所以由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B,得 62= (2 c)2+ c2 2X 2 cX ccos ,得3c=23,所以a= 4 ；13,所以 a2= b2+ c2,兀所以A=所以 ABC1IAsin Bcos C+ sin Csin的面積 S= 2-X 2 313 X 6= 6J31Bcos A= 一sin 2B,又 sinLL，1Bw0,所以 sin Acos C+ cos Asin C= 2,r11，即 sin( A+ C)=2,因為A+ C=兀B,所以sin(1 r1j ,兀一B)=5,即sin B= 2.又a>b,所以A>B,所以B為銳角，所以 B

10、兀=6.故選D.(2)DF技法領(lǐng)悟(1)正、余弦定理的適用條件“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理.“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.(2)三角形面積公式的應(yīng)用原則一一 ，111，對于面積公式 S= 2absin C= 2acsin B= bcsin A, 一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式.與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化對接訓練3. 2019 廣西南寧摸底聯(lián)考在 ABC中，角 A B, C的對邊分別為 a, b, c,已知c:十,C=y, sin B= 2sin A,則 ABC勺周長是（）A. 3鄧

11、B . 2+斕C. 3+乖 D . 4+乖解析：因為sin B= 2sin A,所以由正弦定理得 b=2a,由余弦定理得 c2 = a2+ b2- 2abcosC= a2+4a2-2a2=3a2,又 c=，3,所以 a=1, b= 2.故ABC勺周長是 3 +。3.故選 C. 答案：C4. 2019 福建泉州階段檢測已知 ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,若cos,bcos A+ acosB= 2,則 ABC勺外接圓面積為(A. 4兀B . 8兀C. 9 兀 D . 36 兀而矯 由人屬聿田/曰 b b2+ c2- a2a2+ c2 b2b2+ c2 a2+ a2 + c2

12、- b2/日解析：由余弦定理得 b -+ a - =2,即=2,得2bc2ac2cc=2,由cos C= 竽得sin C= 3.設(shè) AB。卜接圓的半徑為 R由正弦定理可得2R=csin C6,得R= 3,所以 ABC勺外接圓面積為 兀過=9兀.故選C.答案：C考點3正、余弦定理的綜合應(yīng)用. . .A+ C例32019 全國卷出 ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c.已知asin一廠：bsinA(1)求 B;(2)若 ABC銳角三角形，且 c= 1,求 ABCW積的取值范圍.【解析】本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識，考查考生的 化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力

13、，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.A+ C（1）由題設(shè)與正弦定理得sin Asin? = sinBsin A一,一A+ C因為 sin Aw0,所以 sin2- = sinB.=2sin 昆osP 22A+ CB » B由 A+ B+ C= 180 ,可得 sin 2= cos2,故 cos2B= 60° .一， B 一 B 1 一 一， 因為cos5w0,故sin 2=2.又B是三角形內(nèi)角，因此(2)由題設(shè)及(1)知 ABC勺面積S>aabc= 4a.由正弦定理得a=sin Ccsin A sin 120° C 13sin C sin C 2tan C+ 2.A

14、+ C= 120。，所以由于 ABC為銳角三角形，故 0° <A<90° , 0° < C<90° .由（1）知0°, 13330 < C<90 ,故 <a<2,從而得-<及 ab(<T 282因此， ABO積的取值范圍是 坐,坐 82U）技法領(lǐng)悟T1.注意利用第（1）問中的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第 （1）問中的結(jié)果第（2）問能用得上，可 以直接用，有些題目不用第（1）問中的結(jié)果甚至無法解決，如本題即是在第（1）問中的基礎(chǔ)上求解.2.寫全得分關(guān)鍵：在三角函數(shù)及解三角形類解答題中，應(yīng)注

15、意解題中的關(guān)鍵點，有則給分，無則不得分，所以在解答題時一定要寫清得分關(guān)鍵點，如第 （1）問中，沒有將正弦定理表 示出來的過程，則不得分；第 （2）問中沒有將面積表示出來則不得分.對接訓練5. 2019 湖南長沙調(diào)研在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且c=2. ,兀，一，（1）若八=E，b=3,求sin C的值；42B2A_ 25，一 ，一（2）右 sin Acos 2+sin Bcos 2= 3sin C,且 ABC勺面積 S= sin C,求 a 和 b 的值.正弦定理sinHr si,彳導sin C= 721.,1 + cos B1 + cos A(2)由已知得si

16、n Ax 2+sin Bx 2=3sin C,sinA+sinAcos B+ sinB+ sinBcosA= 6sin C,sinA+sinB+ sin( A+ B)= 6sinC,sin A+ sin B= 5sin C,所以由正弦定理得a+b=5c=10,125又 S= ,absin C= _sin C,所以 ab= 25 由得a = b=5.考點4與解三角形有關(guān)的交匯問題 交匯創(chuàng)新解三角形問題一直是近幾年高考的重點，主要考查以斜三角形為背景求三角形的基本量、面積或判斷三角形的形狀，解三角形與平面向量、不等式、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換交 匯命題成為高考的熱點.例4 2019 石家莊質(zhì)量檢

17、測在ABC43, a, b, c分別是角A, B, C的對邊，若ccos-2 LB+ bcos C= 2acos A, AM= -AB+ -AC；且 A陣 1,則 b+2c 的最大值是 . 33【解析】 通解ccos B+ bcosC= 2acos A,. sinCbos B+ sinBcos C= 2sin AcosA,1- sin( C+ E) = 2sinAcos A,sinA= 2sin AcosA 0v Av 兀,sin 院 0, . cos A2b 2c 2+ 2bc+ b =9.-2 bc< ;,42cW2/3,當且僅當 b=2c,b= 3即 3c= 2時等號成立，b+2c

18、的最大值為2y3優(yōu)解ccos B+ bcosC= 2acos A,a2 + c2-b2 a2+ b2_2a+2a-2c=2acos A, a = 2acos=1, . A=j "陣2AB+22n 1 兀 . _2222AC 且 A陣 1, 2AB+ -AC2=1, -4c2+|bc+1b2=1,即 4c2 233333999 2.2.3.2.9= 4c + 2bc+ b = (b+ 2c) 2bo 4( b + 2c) ,，b + cosA= 1.OvAv兀，.A=?.AM= 2ABH- 1AC且 AM= 1,|ab- 1AC2= 1,gc2+ "223333399bc+1

19、b2 = 1,即 4c2+2bc+b2 = 9. . 2 bcw b'2c ,9= 4c2+ 2bc+ b2= ( b+ 2c)2-2bc>-3( b944+ 2c)2, .b+2cW2q3,當且僅當b=2c,即b = l3J3 c 2時等號成立，b+2c的最大值為t一囿技法領(lǐng)悟 1利用解三角形的知識解決平面向量問題是高考在知識的交匯處命制試題的一個熱點.解 決這類試題的基本方法是根據(jù)正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達到利用解三角 形求解平面向量數(shù)量積的目的 .對接訓練6.在 ABC中，角 AB,C所對的邊分別為a,b,c,acosB+ bcosA=csinC,數(shù)列an滿

20、足 an=(n2+2n)sin(2 n1)C,則數(shù)列an的前 100 項和 800=.解析：由 acos B+ bcos A= csin C 得sin A cos B+ sin Bcos A= sin 2Csin( A+ E) = sin 2C 一 2 . sin C= sin C,又0vCv 兀,sin O0, .sinC= 1,an = ( n2+ 2n)sin2n 1 兀2課時彳業(yè)8三角變換與解三角形2019河南開封定位考試已知cos7t2" +a1則cos 2 a的值為（）3A.7B.9C.1 D. 3兀解析：因為cos y+ a1 所以sin3a = ,則 cos 2 a

21、= 1 2sin2 a = 1 2X - 233=.故選B.9答案：B7t2.2019 河北省級示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考已知tana = 2,且sinsin a + -4=mtan 2 a則 mi=(A.4-9 B 4C.9D.解析:依題意,兀sin a + - 4二,2 sina + cos atan 2 a2tan a1 tan a得sin asin a + costan a + 1兀一也-sin a cos a tan a 1 - 3,-42 sin a cos a44八 r4,所以3=4E解得339 .F 4.故選B.答案：B若 sin 2A+ sin 2Bk sin 2G 則4 ABC的

22、形狀是A.銳角三角形 B .直角三角形C.鈍角三角形 D .不能確定解析：. sin 2A+ sin 2B< sin 2C,a2+ b2< c2c a2+b2c2 " cos C=_ . v 02ab又 0 v Cv 180° ,.C為鈍角， ABC鈍角三角形，故選 C.答案：C的三角形的個數(shù)是4. 2019 黑龍江牡丹江一中月考 滿足條件a=4, b=3j2, A= 45A. 1 B .2C.無數(shù)個 D .不存在解析：由正弦定理得sinB= bsinA= 3, 2<3<3,-45°<Bv60° 或 120° vB

23、a 4242<135° ,均滿足 A+ Bv 180° ,B有兩解，滿足條件的三角形的個數(shù)是2,故選B.答案：B2 535. 2019 寧夏銀川月考已知銳角 a, 3滿足cos a=W，sin（ “一§） = 5,則sin 3的值為（）A.2155 B.C.第 D.25解析：: a是銳角，3是銳角，cos a , sin（ a - （3 ）5355, - -sin a =J5-, cos( aB ) =4, .sin 3 =sin a ( a B ) =gx4 羋 x -3 =25.故選 A. 555555答案：A6. 2019 廣西兩校第一次聯(lián)考已知 si

24、n( a+ B)=；, sin( a 3)=1,則 log J23tan§ 1tana 2 一(A. - 1 B . - 21C.- D . 22解析：因為 sin( a + 3)=1, sin( a - (3)=；所以 sin 23c cos 3 + cos a sin12'sina cos 3 cos a sin 35a cos 3 =12, cos a sin 3112,_ tan S所以1tan B5,于無 log 5 tan a1 1 log .5 5 2= log 55-= 1.故選 A.答案：A7. 2019 云南曲靖月考一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時 40海里的

25、速度沿南偏東 40的方向直線航行，30分鐘后到達B處.在C處有一座燈塔，海輪在 A處觀察燈塔，其方向是 南偏東70。，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么B, C兩點間的距離是（）A. 10亞海里B . 1073海里C. 203海里 D . 20>/2海里解析：畫出示意圖如圖所示，易知，在 ABC中，AB= 20海里，/ CAB= 30° , / ACB=45。，根據(jù)正弦定理得BCABsin 30sin 45,解得BC= 1脂（海里）.故選A.°北答案：A8. 2019 河北省級示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考 ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b,什1c,右 3

26、sin A= 2sin C, b=5, cos C=一,3a=()A. 3C. 6解析:因為3sin A= 2sin C,由正弦定理得3a=2c,設(shè) a=2k(k>0),貝U c= 3k.由余弦定理得cosa2+b2c2 25-5k2* -20b20k1 解得3k= 3或k= 5（舍去），從而a=6.故選C.3答案:9. 2019 廣東仲元中學期中a2+ b2= 2c2,則cos C的最小值為在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,若a2+b2 c2解析： , cos C=2aba2+b2=2c2C=a2+ b2 2ab 1,rr> TT= o,當且僅當 a=

27、 b時4ab4ab 21取等號，cos C的最小值為2故選C.答案：C10. 2019 河北五校第二次聯(lián)考已知tan 2 a兀 兀y,萬,函數(shù) f (x) = sin( x+ a ) sin( x- a ) 2sin a ,且對任意的實數(shù)x,不等式兀f（x） >0恒成立，則sin a -的A.C. 一羋D. 一坐解析：由tan 2 a3 - 2tan a 31 ,一、4,即1tan2a=4'求信tan ”=3或頡a = 3.又對任息的頭數(shù) x, f (x) = sin( x+ a ) sin( x a ) 2sina =2sin a (cos x1)>0 恒成立，所以sin

28、兀a W 0,則 a C 2, 0 ,所以 tan a = 3, sin a-3, cos a =-.于是 sin 1010=sin兀兀c cos cos a sin 1尸X10.故選a25答案：A11. 2019 安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢若a是銳角，且cosa +?=!，則 cos a + W652解析： 因為 0V a < ,所以二-V a +-；_<二，又 cos a +_7T =,所以 sin a +- = 2663656-,則 cos a + -T- = sin a = sin a + = sin a +- cos二一cos a +_ sin = 526666664 J3

29、3 14/3-35X -2"5'2=I。.答案:4 V3-31012. 2019 陜西咸陽一中月考在ABC,內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,且a= Tp, b=2, A=,則 ABC勺面積為37t解析：由正弦定理得sinbsin A 2sin 3212. 7B= -a-=巾 =丁,b<a, l- B<Acos B=十,sin C= sin( A+ B) = ,13 3ABC勺面積為 2absin C= -2-.13. 2019 陜西西安五中綜合卷已知tan( a + B )=1, tan31兀3 =2,則 tan a +-=解析：.tan a=t

30、an( ”+3)3 =17, tan兀 a+7tan a +131 tan a43答案：414. 2019 湖南重點高中大聯(lián)考已知a, b, c分別為銳角三角形 ABC內(nèi)角A B, C的對邊，absin C= c2-(a-b)2,若銳角三角形 ABC勺面積為4,則c的最小值為解析：由已知條件及余弦定理，可得absin C= a2+b22abcos C (a2 2ab+ b2) = 2ab2abcos C,即 2cos C= 2 sin G兩邊平方，得 4(1 - sin 2 Q=4-4sin C+ sin 2 C,因為 ,一,r40 < C< 90 ,所以可得 sin C=-,53

31、 , 14_ ,22則 c0s C=5 所以 2abX5 = 4,倚 ab=10,所以 C=a +b2- 2abcos C= a2+ b2-2abx1>2ab-fat)= 3ab=8,當且僅當 a=b 時取等號，所以555C>2a/2,即c的最小值為2山.答案：2 215. 2019 江蘇宜興月考已知sin 七=唔求cos a ；-5(2)求 f(x)=cos 2 x+2sin a sinx的最值.解析:兀(1) . sin a + 二10'a = cos7t410 X 2 + 10 X 235.(2)由(1)得 cos1.f (x) = cos 2 x+ 2sinx= 2

32、sin2 x+2sin x+1 = 2sin13當sin x = 2時，f(x)取得最大值2,當sin x=1時，f(x)取得最小值一3.16. 20 19 遼寧六校協(xié)作體期中設(shè) ABC勺內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b, c,且 c cosC是a - cos B與b - cos A的等差中項.(1)求角C的大??；(2)若c=2,求 ABC勺周長的最大值.解析：(1)由題意得 acos B+ bcos A= 2ccos C,由正弦定理得 sin Acos B+ sin Bcos A1=2sinSosC,即 sin(A+B) = sinC= 2sinCcosC,解得cosC= 2, C是

33、二角形內(nèi)角，所以 C= 60(2)方法一由余弦定理得c2=4=a2+b2 2abcos C= a2+ b2-ab= (a+ b)2-3ab>(a +a a b a b1b)23裝一2 = £巖，得a+bw4,當且僅當a=b時等號成立，故 ABC周長的最大值為6.a b c 4 34 3方法二由正弦定理得-7 = -一B=-,故 ABC的周長為 a+b+c=Asin A sin B sin C 33(sin A+ sin B> +2 = 43sin A+ sin( A+ 60° ) + 2 =羋 3sin A+ 3cos A +2=4sin( A 33 22+ 30° )+2.丁 AS (0,120 ° ),，當 A= 60° 時， ABC 長的最大值為 6.17. 2019 湖北武漢部分重點中學第二次聯(lián)考已知函數(shù)f (x) =cos2x+2、/3sin -2+x cos -2- + x sin 2x.兀(1)