數(shù)學模型在機械設計中的應用

1、數(shù)學模型在機械設計中的應用目錄目錄1第1章 緒論11.1 數(shù)學模型概述11.2 機械設計11.3 機械優(yōu)化設計2第二章 數(shù)學模型在機械設計中的應用32.1數(shù)學模型在機械故障診斷技術中的應用32.1.1 故障診斷技術中的數(shù)學模型32.1.2 故障診斷技術中傅里葉變換的使用32.2基于數(shù)學模型的圓柱齒輪減速機的設計42.2.1 基于數(shù)學模型的圓柱齒輪減速器的設計的優(yōu)勢42.2.2 減速器數(shù)學模型設計研究52.3數(shù)學模型在可靠性設計中的應用62.3.1 可靠性設計的數(shù)學模型62.3.2 可靠性數(shù)學模型分析6第3章 總結與展望8參考文獻99數(shù)學模型在機械設計中的應用第1章 緒論1.1 數(shù)學模型概述數(shù)學

2、模型就是針對或參照某種問題的特征和數(shù)量相依關系，采用形式化語言，概括或近似地表達出來的一種數(shù)學結構。數(shù)學模型因問題不同而異，建立數(shù)學模型也沒有固定的格式和標準，甚至對同一個問題，從不同角度、不同要求出發(fā)，可以建立起不同的數(shù)學模型。數(shù)學模型與我們學習的數(shù)學課程有一些區(qū)別，它需要熟練的數(shù)學技巧、豐富的想象力和敏銳的洞察力，需要大量閱讀、思考別人的模型，尤其要自己動手，親身體驗。建立數(shù)學模型的一般分為以下幾步：確定問題系統(tǒng)及變量關系；確定最佳的試驗方案和方法；確定合理的模型結構；確定模型中的最佳參數(shù)；檢驗修改模型。首先，基于一系列基本的簡化假設，把實際問題中的數(shù)學描繪明確地表述出來，也就是說，通過對

3、實際問題的分析、歸納、簡化，給出用以描述該問題的數(shù)學提法；然后采用數(shù)學的理論和方法進行求解，得出結論；最后再返回去闡釋所研究的實際問題，總結一般規(guī)律。詳細來講，就是在對目標系統(tǒng)分析的基礎上，確定描述問題的變量及相互關系以及問題所屬系統(tǒng)，模型大概的類型，提出有關假說。在進行試驗時，必須配置性能穩(wěn)定，要嚴格保持試驗條件穩(wěn)定，精心操作，詳細記錄，對數(shù)據(jù)進行正確的判斷、篩選和分析。模型結構反映了實際過程的內(nèi)在規(guī)律，對試驗數(shù)據(jù)的擬合精度有著本質的影響。模型建立之后，能否與生產(chǎn)實際吻合，還需進行重復試驗，確認后才能在生產(chǎn)中應用。模型只有在被檢驗評價、確認基本符合要求。才能被接受，否則需要修改模型，這種修改

4、有時是局部的，有時甚至要全部推倒重來。1.2 機械設計機械設計是根據(jù)用戶的使用要求對專用機械的工作原理、結構、運動方式、力和能量的傳遞方式、各個零件的材料和形狀尺寸、潤滑方法等進行構思、分析和計算并將其轉化為具體的描述以作為制造依據(jù)的工作過程。機械設計是機械工程的重要組成部分，是機械生產(chǎn)的第一步，是決定機械性能的最主要的因素。機械設計的努力目標是：在各種限定的條件下，如材料、加工能力、理論知識和計算手段等，設計出最好的機械，即做出優(yōu)化設計。優(yōu)化設計需要綜合地考慮許多要求，一般有：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中可靠性、最低消耗和最少環(huán)境污染。這些要求常是互相矛盾的，而且它們之

5、間的相對重要性因機械種類和用途的不同而異。設計者按具體情況權衡輕重，統(tǒng)籌兼顧，使設計的機械有最優(yōu)的綜合技術經(jīng)濟效果。隨著機械工程基礎理論和價值工程、系統(tǒng)分析等新學科的發(fā)展，制造和使用的技術經(jīng)濟數(shù)據(jù)資料的積累，以及計算機的推廣應用，優(yōu)化逐漸依靠科學計算。1.3 機械優(yōu)化設計人們在長期的生產(chǎn)實踐中，很早就已經(jīng)應用數(shù)學方法解決了諸如給定周長求其所圍面積最大的問題、給定表面積求其所圍體積最大的問題。實際上，這些問題就是最優(yōu)化問題的雛形。優(yōu)化設計主要包括兩個方面：一是如何將設計問題轉化為確切反映問題實質并適合于優(yōu)化計算的數(shù)學模型，建立數(shù)學模型包括:選取適當?shù)脑O計變量，建立優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件。目

6、標函數(shù)是設計問題所要求的最優(yōu)指標與設計變量之間的函數(shù)關系式，約束條件反映的是設計變量取得范圍和相互之間的關系；二是如何求得該數(shù)學模型的最優(yōu)解：可歸結為在給定的條件下求目標函數(shù)的極值或最優(yōu)值的問題。總的來說，建立合理的數(shù)學模型，是解決機械最優(yōu)化設計的關鍵。在機械最優(yōu)化設計建模及求解過程中，應注意下列幾方面的問題： （1）數(shù)學模型要能在滿足各種限制條件下準確和可靠地說明設計問題所要實現(xiàn)的目標，計算過程穩(wěn)定，計算結果可靠，從而實現(xiàn)設計方案。 （2）所建立的數(shù)學模型要與當前計算機軟硬件發(fā)展水平相適應，在算法上容易處理。第二章 數(shù)學模型在機械設計中的應用2.1數(shù)學模型在機械故障診斷技

7、術中的應用2.1.1 故障診斷技術中的數(shù)學模型故障診斷技術是近40多年來發(fā)展起來的一門新學科。它是適應工程實際需要而形成的各學科交叉的一門應用型的邊緣綜合學科，隨著現(xiàn)代機械設備日趨大型化、復雜化、自動化和連續(xù)化的發(fā)展，設備一旦發(fā)生故障，將給人民的生命財產(chǎn)安全造成難以估量的損失。因此，開展故障診斷與狀態(tài)預測技術研究具有重要的現(xiàn)實意義。同時，幾乎所有的工程問題，都是與數(shù)學模型緊密聯(lián)系在一起的。建立合理的數(shù)學模型，是解決設計問題的關鍵所在。基于數(shù)學模型的故障診斷方法的研究極大的豐富了故障診斷系統(tǒng)的內(nèi)涵，建立的數(shù)學模型在故障診斷系統(tǒng)的開發(fā)過程中產(chǎn)生了很大的實際效應，提高了系統(tǒng)的診斷效率和準確率。2.1

8、.2 故障診斷技術中傅里葉變換的使用旋轉機械故障診斷主要分四個步驟，首先是獲取運行狀態(tài)的信號；其次是提取故障的特征；再次是模式識別和故障診斷；最后是診斷決策。其中最關鍵的是對測試信號進行分析、處理，提取故障信號的特征。圖 2.1 為故障診斷的基本過程。旋轉機械故障診斷過程的具體內(nèi)容如下：圖2.1 為故障診斷的基本過程傅里葉正變換建立了信號從時域到頻域的變換橋梁，而傅立葉逆變換則建立了信號從頻域到時域的變換橋梁，這兩個域之間的變換為一對一的映射。傅里葉變換及其逆變換的定義： (2-1) (2-2) 由式(2-1)和式(2-2)可見，傅里葉變換是從整體上將信號分解成不同的頻率分量。式(2-1)，(

9、2-2)可以用內(nèi)積形式簡潔表示為：0 (2-3)0 (2-4)傅立葉變換的最大貢獻不在于把時間域與頻率域聯(lián)系了起來，而是把在時間域內(nèi)難以觀察到的信號特征，在頻率域內(nèi)往往能十分清楚地顯示出來，反之亦然。傅立葉變換的最大貢獻也不在于使一些數(shù)學問題的求解變得更加簡潔、高效。傅立葉變換的最大貢獻在于產(chǎn)生了信號的頻譜分析方法。根據(jù)產(chǎn)生的頻譜可以分析出設備故障產(chǎn)生的振動信號的頻率成分、不同測點振動信號的相位差，根據(jù)頻率成分和相位差判斷出是哪種故障。2.2基于數(shù)學模型的圓柱齒輪減速機的設計2.2.1 基于數(shù)學模型的圓柱齒輪減速器的設計的優(yōu)勢目前通用圓柱齒輪減速機已有標準系列，但其成本與工作可靠性都不是最佳情

10、況?，F(xiàn)代機械普遍采用電動機驅動式，為滿足工作機輸入轉速及轉矩的要求，需要在電動機與工作機之間安裝減速器，以得到合理的轉速。因此，作為一種獨立的閉式傳動裝置，減速器在現(xiàn)代機械領域得到廣泛應用。傳統(tǒng)優(yōu)化方法優(yōu)化結果嚴重依賴于所選初始解，當初始解選擇不當時，優(yōu)化過程易陷入局部最優(yōu)解；需要對變量進行微分操作運算，計算量大，求解效率低，而且無法求解多元約束下的優(yōu)化問題；迭代運算時迭代次數(shù)很大，收斂速度慢，不能同時保證計算精度和計算效率，優(yōu)化結果不理想。應用數(shù)學建模方法對其進行了設計，在不改變原來轉動零件的材質、傳動比、輸入功率和轉速等條件下，根據(jù)可靠度要求優(yōu)選出一組最佳齒輪嚙合參數(shù)，從而使標準系列的減速

11、機的體積最小，成本最低，工作可靠度達到預定要求。該模型提出的減速機的概率設計方法為通用模式，只要輸入設計要求的原始數(shù)據(jù)，就能較快地計算出減速機主要零件的最佳參數(shù)對二級圓柱齒輪減速器進行多目標優(yōu)化。建立以二級圓柱齒輪減速器結構參數(shù)的多目標優(yōu)化數(shù)學模型，采用復合形法對實例進行結構參數(shù)的優(yōu)化計算，效果是顯著。2.2.2 減速器數(shù)學模型設計研究a) 接觸承載能力一對變位齒輪傳動的接觸承載能力可用只與嚙合參數(shù)有關的接觸承載能力系數(shù)j表示，其函數(shù)形式為：=0.2a2u(cost)3tantKv(u+1)2cos (2-5)其中：a嚙合中心距 u齒數(shù)比 分度圓螺旋角 t端面壓力角 t端面嚙合角 Kv動載系數(shù)

12、b) 設計變量的確定將影響齒輪接觸承載能力系數(shù)的獨立參數(shù)列為設計變量，即：x=x1;x2;x3;x4T=u1;yt1;yt2T (2-6)其中：u1高速級的齒數(shù)比 yt1、yt2分別為高速和低速級齒輪傳動的中心距分離系數(shù)c) 目標函數(shù)的確定這個問題要求提高高速級和低速級齒輪傳動的承載能力，同時要求兩級傳動達到等強度，所以這是一個具有三個指標的多目標函數(shù)問題?？梢詫⒏咚偌壓偷退偌夶X輪傳動的承載能力系數(shù)轉化為第一、二個分目標函數(shù)f1(x)、 f2(x)。用中間軸上兩個齒輪所允許傳遞轉矩差的相對值最小來建立等強度條件f3(x)，采用線性組合法將三個分目標函數(shù)綜合成統(tǒng)一的目標函數(shù)。采用線性組合法將三個

13、分目標函數(shù)綜合成統(tǒng)一的目標函數(shù)圍：fx=1f1x+2f2x+3f3(x) (2-7)d) 約束條件確定保證軸的重合度和螺旋角不大于15°；高速級和低速級齒數(shù)比分配由潤滑條件決定；限制低速級大齒輪直徑，使其不超過原箱體，且滿足中心距要求。 綜上所述，二級齒輪減速器的設計可以變?yōu)橐粋€有四個設計變量、八個不等式約束、三個分目標函數(shù)的多目標數(shù)學模型，應用matlab軟件，對任意參數(shù)，只要輸入進去，便可得出減速器設計時所要的最優(yōu)解。2.3數(shù)學模型在可靠性設計中的應用2.3.1 可靠性設計的數(shù)學模型可靠性設計的數(shù)學基礎是概率論。則依據(jù)概率論建立了可靠性設計的數(shù)學模型應力-強度干涉模型。

14、圖2.2 應力-強度分布的干涉模型在進行機械強度可靠性設計或分析時, 考慮到變量的不確定性, 認為機械零部件的設計變量（如載荷、幾何尺寸及其它影響因素等）和強度參量（如材料的機械性能, 影響零件強度的尺寸系數(shù)、形狀系數(shù)、表面質量系數(shù)及工作環(huán)境影響系數(shù)等）都是隨機變量, 遵守某一分布規(guī)律, 并且可以求得合成的應力s的分布函數(shù)fs和強度的分布密度函數(shù)f，如圖2.2所示。2.3.2 可靠性數(shù)學模型分析提高設備的可靠性就必須從提高每一個機件的可靠性入手，強調所有機件在整機使用壽命內(nèi)的最佳無故障配合。無論何種失效形式，如果用數(shù)學模型來描述，可表述為：失效故障的發(fā)生僅隨運行時間的增加而上升；失效故障的發(fā)生

15、與設計參數(shù)及標準有關。可靠性是指系統(tǒng)在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力。如果用“概率”來量度這一“能力”，就是可靠度。累積失效概率是指機械產(chǎn)品在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)失效的概率?？梢苑奖愕倪\用概率論的相關結論建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學模型。通過對大量機件故障案例的分析與研究，發(fā)現(xiàn)在排除設備的偶然性故障的前提下，隨著設備使用時間的推移及老化，其故障模型主要有6種，如圖2.3所示。對這6種模型進一步分析研究后,得出了以下結論：在壽命期內(nèi)，前3種(A，B，C) 圖2.3(a)(c)故障模型為與使用時間相關的故障，主要適用于那些非常簡單的零部件和設備，尤其是存在直接接觸磨損或接觸腐蝕介質的。

16、后3種(D、E、F)圖2.3(d)(f)為與使用年限不相關的故障。一般來講，部件越復雜或越簡單，它就越可能服從于故障模型E、F，即存在于設備或部件復雜程度兩極。D、E、F這3種模型的主要特征是設備運行初期以后的一段時間內(nèi)與可靠性設計沒有多少關系或根本無關。像這類部件往往在其使用壽命內(nèi)都不發(fā)生故障、如一旦發(fā)生故障，往往是不可再修復的。造成這些部件出現(xiàn)故障而失效的原因,往往是與設計過程中的參數(shù)、標準有關,與疲勞、剛度、強度有關。圖2.3六種故障模型第3章 總結與展望故障診斷技術、減速器設計、可靠性設計中用到的數(shù)學模型是從不同的角度解決實際生活生產(chǎn)中的工程問題，從中可以看出數(shù)學在實際應用中的重要性。

17、數(shù)學是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的科學，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應用問題緊密相關的。數(shù)學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性、結論的明確性和體系的完整性，而且在于它應用的廣泛性。為更好的進行機械設計理論的深入研究及工程上的廣泛應用，利用數(shù)學方法建立數(shù)學有效模型具有重要意義。只有機械設計具體問題中的模型更加廣泛、更加簡便、更加貼近實際工程，才能使得機械設計理論得以改善和發(fā)展。由于新方法和理論的不斷研制及在機械工程中不斷的應用，機械設計理論數(shù)學模型的不斷改善、不斷貼近實際、不斷簡化的工作將要一直進行，并與時俱進。數(shù)學模型就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。參考文獻1. 韓捷，張瑞林，等.旋轉機械故障機理及診斷技術M.北京:機械工業(yè)出版社，1996.2. 傅祥炯編著結構疲勞與斷裂M西安：西北工業(yè)大學出版社，20053. 王世杰，閆明，佟玲循環(huán)載荷下熱疲勞裂紋的應力強度因子J機械工程學報，