2018年高考數(shù)學破解命題陷阱專題27快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧

1、專題27快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧一.命題陷阱1 .不用韋達定理與用韋達定理的選擇陷阱2 .范圍不完備陷阱3 .圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱4 .不用定義直接化簡的陷阱(圓錐曲線定義的靈活運用)5 .圓錐曲線中的求定點、定直線只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱6 .圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱二、知識回顧1.橢圓的標準方程22xy2 -r yr 1,(a b 0),焦點 Fi( c,0), F2(c,0)，其中 c Ja b . ab22(2) 二 與 1,(a b 0),焦點 Fi(0, c),F2(0,c),其中 c Ja2 b2 b a2.雙曲線的標

2、準方程22 xy 4 1,(a 0,b 0),焦點 Fi( c,0), F2(c,0),其中 c Ja2 b2 . a b222 2) xr I 1,(a 0,b 0),焦點 R(0, c),F2(0,c),其中 c Ja2 b2 b a3 .拋物線的標準方程 y2 2px,y2 2px,x2 2py,x22py,(p 0).對應的焦點分別為：F(p,0), F( f,0), F(0，r，F(xiàn)(0, 32222三.典例分析1 .不用韋達定理與用韋達定理的選擇陷阱22例1.設橢圓" y2 1(a b 0)的左焦點為F ,右頂點為A,離心率為1.已知A是拋物線y2 2px(p 0) a b

3、2的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為3.2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II )設l上兩點P , Q關(guān)于-軸對稱，直線AP與橢圓相交于點 B ( B異于點A ),直線BQ與-軸相交于點D .若4APD的面積為 叵,求直線AP的方程.2【答案】（1） x2 4y- 1, y2 4x. （2） 3x 娓v 3 0 ,或 3x 76y 3 0.3一“2【解析】(1 )設尸的坐標為(-0).依題意，-于是= L -.所以,橢圓的方程為二+孝=1,拋物線的方程為F =4兌 43(n )解：設直線AP的方程為x my 1(m 0)，與直線l的方程x 1聯(lián)立，可得點P（ 1,2一），故 Q（ m21,

4、m）.將x my 1與x2 4y- 1聯(lián)立, 3消去x,整理得2 - 2 - .一（3m 4） y 6my 0 ,解得 y6m0,或 y 2 3m-.由點46m ,一2一）.由。（3m 421,-),可得直線BQ的方程為口 - 3m2 4B異于點A ,可得點B（一23m 4/6m 2、/G m）（x 1） （3m2 43 m2 41）（y A）x 23m22 3T故2D（2 23m ,0）.所以3m2 21AD| 1 /6m23 m2-.又因為 APD的面積為逅，故122226m23m2 22|m|3m2 2.6|m| 20 ,解得| m | ,所以m 33所以，直線AP的方程為3x J6y

5、3 0 ,或3x J6y 3 0.【陷阱防范】：分析題目條件與所求關(guān)系，恰當選取是否使用韋達定理2 x練習1.已知橢圓C ：w a2匕1 a ab2b 0 ,且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為2 1.(1)求橢圓的方程;C于A,B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點 Q ,使得以線段AB一 1(2)過點S 0,-的動直線l交橢圓 3為直徑的圓恒過點 Q?若存求出點Q的坐標：若不存在，請說明理由2X 2【答案】(1)橢圓萬程為 y 1 ；(2)以線段AB為直徑的圓恒過點 Q 0,1 .216【解析】(1)橢圓方程為彳十/ =1 £(2)當/與x軸平行時，以段為直徑的圖的方程為儲十

6、+-當1馬下軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為£+F = 1.故若存在定點2,則。的坐標只可能為6(0,1).卜面證明Q 0,1為所求：若直線l的斜率不存在，上述己經(jīng)證明若直線l的斜率存在，設直線kx13, A X1,y1 ,BX2,y2 ,由 y2X2y2,1 kX3 得92 018k212kx 16 0,2144k64一 - 29 18k0,XiX212k18k916-2 Z18k9uuvQAX1, V1uuv ,QBX2, y21，uuv uuvQA QBX1X2y1 1 y2 11k2 X1X24k一 X13X21691 k2一 9 18k24k 12k9 18k2169

7、0.uuv uuv QA QB ,即以線段AB為直徑的圓恒過點Q 0,1 .練習2.設橢圓22xy2,2ab1(a b 0)的左焦點為F ,右頂點為1一.已知A是拋物線22 c/y 2 px(p0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為1.22(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;(II )設1上兩點P , Q關(guān)于X軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B(B異于點A ),直線BQ與X軸相交于點D .若4APD的面積為求直線AP的方程.(1) X, x2y 2,3 2x2y 2 - 3 2 16.（1）求曲線C2的方程；uuu uuu設。為坐標原點，第一象限的點 A,B分別在C1和C2上， OB 2OA,求線

8、段 AB的長. 2【答案】L 1 ;(2)164【解析】（1）由已知，動點M到點P 0, 273 , Q 0,2J3的距離之和為8,8,所以動點M的軌跡為橢圓，而 a 4, c2、/3,所以b 2, 2-1 , y2 4x. (2) 3x V6y 3 0 ,或3x 76y 3 0. 3【解析】（i）設F的坐標為（c,0）.依題意，-1, pa , a c 1,解得a 1 , c -, p 2 ,于是a2222b2 a2 c2 3.所以，橢圓的方程為 x2”1 ,拋物線的方程為 y2 4x. 43（ID設直線/田的方程為'二k/+可州二，與直線/的方程工二T聯(lián)立,可得點E-L-士），故。

9、（一12,將1與/十”=1聯(lián)立,消去X/整理得（34+4）y, + &守=。？解得J二6或 ma工尸=工由點出異于點，可得點別?仁二）,由PLlZ,可得直線且。的方程為 3wf +43m +4 3jh -P4m（77一2x”十D一十IX一4）二° 令"能解得故所以 3m +4 m3m +4m3rH +2 3m +ZI血=i學=義因為金期的面積為斗，故瀉三支二-=,，整理得S/M +2 3m -1-222 3m +2 | m 2|加|十2二0 ,解得|訓加二土乎所以j直線/尸的方程為3彳十%后/一3=。.或3/、后了一3=62(2)2、,百5PQ練習3.已知橢圓C1：

10、 y2 1 ,曲線C2上的動點M x, y滿足: 42故橢圓C2的方程為1621.4（2） A,B兩點的坐標分別為XA,yA , XB,yBuur,由OBuuu20A及（1）知，O,A,B三點共線且點 A, B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y kx.、X2 kX代入一41中，得4k22Xa41 4k22kx代入161中，得k216 ,所以2XB162 ,4 k2又由uuuOBuuu20A,得 x4xA,即一416"V2 11 4k解得k2故AB5指22、,552.范圍不完備陷阱例2.已知橢圓C :y_b21(a10）的離心率為一，2以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為4

11、 3.別交橢圓于兩點P、A、B,當動點M在定直線x 4上運動時，直線 AM、BM分Q ,求四邊形APBQ面積的最大值.y26.43【解析】（I）由題設知，a 2c,2ab 4#,又 a27 t2 3 t29 t2 2 12t2) 9 t212t.t 9 t2 ，一 9 t21212由于6,且 在6, 上單倜遞增，故 8,t48 人從而，有S6 .12 6,即t 3,也就是點M的坐標為 4,3時，四邊形 APBQ的面積取最大值 6.【陷阱防范】：涉及含參數(shù)問題，求最值或范圍時要注意運用均值不等式還是運用函數(shù)的單調(diào)性11練習1.設點F 0,-,動圓A經(jīng)過點F且和直線y 相切，記動圓的圓心 A的軌跡

12、為曲線C . 4（1）求曲線C的方程；（2）設曲線C上一點P的橫坐標為t（t 0）,過P的直線交C于一點Q ,交x軸于點M，過點Q作PQ的垂線 b2 c2,解得 a 2,b 瓜 c 1,22故橢圓C的方程為上工1.43（II）由于對稱性，可令點必（44，其中7A。.1將直線AM的方程 =（北+2）代入橢圖方程: +5=1,得（27+/ ） / +44 4/1.馥=L“2?-54 nl彳寸兩= j- j 貝 U yP 2 27+r27+r44?-108ffl jcj xp =s27十產(chǎn)22=1得4?x4W一12=%再將直線BM的方程y =：（尤2）代入橢圓方程二+ 三 243V-123+2?-6

13、 門.3+?'則為=3+，18t 6t2-227 t23 t2 1故四邊形 APBQ的面積為S AB ? yP yQ 2 yP yQ2一 一 2一 一 2當且僅當48t 9 t248t 9 t248交C于另一點N,若MN是C的切線，求t的最小值.【答案】（1） x2“、，2y tmin3【解析】（1）過點 1A作直線AN垂直于直線y 于點N ,由題意得 AF 4AN ,所以動點A的軌跡是以F為焦點，直線y1 一 ，、，2為準線的拋物線.所以拋物線C得方程為x2 y .4由題意知？過點可療）的直線 加斜率存在且不為3設其為M則后二火工一匹當尸 Q k =，則 Mk產(chǎn)十A/icq.聯(lián)立方程

14、（尸號上，一“，整理得；丁-奴+t）=i即（k一f）x（上一0 = o,.解得工=（或x =- Q（上M上A），而口而，。尸所以直線WQ斜如二（在_7）7聯(lián)衛(wèi)方程1了一（在一"=一A '整理得二11J（七_曰=0,艮口k k0, kxkx2 x k而拋物線在點的切線斜率,k2 kt2k k tx22t k 1k2y'l x2 一 0一,整理得k2kt 1 2t2k2k k t 1 t2kt k2k k t 2 50,22k2kt 122k t2k21MN是拋物線的切線,2.-2-2t24 12t20 ,解得 t一（舍去），32 t - 一， min3練習2.已知雙曲線

15、2 xC： a4 1的離心率為 b2J3,點（J3, 0）是雙曲線的一個頂點。（1）求雙曲線的方程;（2）經(jīng)過雙曲線右焦點 F2作傾斜角為30的直線l ,直線l與雙曲線交于不同的 A, B兩點，求AB的長?！敬鸢浮?i)£ yL 1163 365【解析】22(1)因為雙曲線C：3-y21的離心率為J3,點(J3,0)是雙曲線的一個頂點，所以 aJ3,c3,bJ6,a b2y6(2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30的直線l: y_33x 3與雙曲線聯(lián)立方程組消25x 6x 27 0, x195,x23 ,由弦長公式解得 AB216 35練習3.已知橢圓C的方程為22yr1(a b 0

16、),雙曲線與ba-y2 1的一條漸近線與x軸所成的夾角為 b30 ,且雙曲線的焦距為 472.(1)求橢圓C的方程;B兩點，線段AB的中(2)設8下2分別為橢圓C的左，右焦點，過 F2作直線l (與x軸不重合)交橢圓于A, 點為E ,記直線F1E的斜率為k ,求k的取值范圍.x2 y266【答案】 (1) 1 ； (2),.6212 12【解析】(1) 一條漸近線與x軸所成的夾角為30知b tan30 , IP a2 3b2,a3又c 2貶，所以a2 b2 8,解得a2 6, b2 2,22所以橢圓C的方程為1 .62(2)由知F2 2,0 ，設A Xi,yi , B X2,y2 ,設直線AB

17、的方程為x ty 2.聯(lián)立2匕12 得 t2 3ty 22y 4ty0,由y1y24t /曰-2倚 x1t2 3x212-2，t 3 E6t2 32t2t 3又F12,0F1E的斜率k2tt2 3 6t2 3_t t2 6氏oAL當0氏 o AL 當 劭ALALk nr 3A-一 6一12Q綜合可知，直線FiE的斜率k的取值范圍是.6吏12，12練習4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l:x y 2 0,拋物線C : y2 2Px(p 0)(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線 C的方程;(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點 P和Q .求證：線段PQ的中點坐標為(2 p,

18、 p).；求p的取值范圍.2- 一一4、【答案】(1) y2 8x(2)詳見解析，(0,)3【解析】 拋物線c"=2尹gG的焦點為得L-由點在直線1：工一下一2=。上小得弓一。一2=。/即尹=4.JLrL-所以拋物線c的方程為爐=8工(2)設好區(qū)叼4，線段為的中點mcmyd)因為點p和Q關(guān)于直線對稱,所以直線垂直平分線段PQ于是直線時的斜率為-1,則可設其方程為P=-x十九由 y 2Px 消去 X 得 y2 2py 2Pb 0(*) y x b因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以 y1 y2,從而(2p)2 4( 2pb) 0 ,化簡得 p 2b 0.方程(*)的兩根為yi,2 p

19、 ，p2 2pb ,從而V。y1 2 y2 P.因為M(X0,y0)在直線l上，所以X0 2 p.因此，線段PQ的中點坐標為(2 p, p).因為M(2 p, p).在直線y x b上所以 p (2 p) b ,即 b 2 2 P.由知p 2b 0,于是p 2(2 2p) 0 ,所以p -.3因此p的取值范圍為(0,4).3【方法總結(jié)】在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮：(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系;(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4

20、)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱22uuv uuv例3.已知圓Fi： x 1y28,圓心為Fi,定點F2 1,0 , P為圓F1上一點，線段PF2上一點N滿足uuuv uuuvPF2 2NF2 ，直線 PFi 上一點 Q ,滿足 QN PF2 0 .(n) O為坐標原點，eO是以(I)求點Q的軌跡C的方程;F1F2為直徑的圓，直線l：y kx m與eO相切，并與軌跡C交于不同的兩點uuv uuvA, B.當OA OB 且滿足3-,-時，求 OAB面積S的取值范圍. 5 52【答案】(D y y2 1 ； (

21、n)【解析】(I )琳=2麗為線段尸叫中點即為線段尸段的中垂線，網(wǎng)=Q用丁固尸| 二同0 +總尸| = |相|+用| = 2白，由橢圓的定義可知Q的軌跡是以用口耳為焦點,長軸長為2班的橢圓,2b2設橢圓的標準方程為今 a b2 1.2點Q的軌跡C的方程為 2(n) .圓O與直線l相切,k2 11 ,即 m2 k22 x 由萬ykx1 一,消去y整理得m1 2k24kmx2 m22 0.直線l與橢圓交于兩個不同點,2_ 2_2(4km)4 1 2k 2m2k2將m2k21代入上式，可得k2設 A x1，y1B X2, y2則 x1x24 km2-，2k22m2X1X22k2yy2k%m kx21

22、2k x1x2X2m2 2k21 2k2 ABk2 1k2 1 8k2x24x1x22 21 2k2)2uuvOAuuvOBx1x2yy21 k21 2k2 '解得-3k22 .滿足k20。AOB2 k4 k2AB4 k4 k24則6.Sk4 k2故OAB面積S的取值范圍為 "2,空 55【陷阱防范】：涉及到三角形面積時用弦長公式還是用把三角形分成兩個或幾個三角形求面積練習1.設Axi,yi ,2一,一 yX2, 丫2是橢圓22 a2 X b71 a b 0上的兩點，橢圓的離心率為已知向量mxi yiX2 y2n,O為坐標原點.(1)若直線AB過橢圓的焦點F 0,c , (

23、c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值;(2)試問:【答案】(1)k 2； (2)見解析.AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由【解析】m由題可得：口=2, b=i,所以,橢圓的方程為1+/ = 14設X5的方程為；y = Ax十，代入辛十，=1得：(必十4)/十2白版一1=。，不十巧=孚上,當嗎二?一,A>0二十4后十40,艮fl其此，lx -丁+玉覆=巧嗎+ = （巧+再）= 0441*十4+堂與蘭-3=0,解得；fc=±24 妙十4 4(2)直線AB斜率不存在時，即x1 x2 , y1 y22n 0,即 x； y- 04又 A點在橢圓上X2”1 ,

24、即 x12-42xi|2|y-；3匕 r 2 4y2 -.所以，橢圓的方程為x 3, i . ,i 一 .S=2|x- yi V2-x- 2y-1,故 AOB 的面積為定值 1當直線AB斜率存在時，設 AB的方程為yy kx m聯(lián)立 y2, 得：k2 4 x2 2kmx m2 4 0x2 142 kmx(x2k2x1x2S AOB1m x1x222x24x2k2 4所以三角形的面積為定值1.練習222.設橢圓事當 a b1(a b 0)的左焦點為F,右頂點為.已知A是拋物線22一 ,一 1y2 2 Px(p 0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為一.2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II

25、)設1上兩點P , Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B ( B異于點A),直線BQ與x軸相交于點D .若4APD的面積為 求直線AP的方程.(1) x24y2 13，y2 4x. (2) 3x 76y 30 ,或 3x 76y 30.【解析】(I)設F的坐標為(c,0).依題意，- a1P11一,a , a c ,斛得 a 1 , c , p 2,于是 2222,22b a21 ,拋物線的方程為 y 4x.(n)解：設直線AP的方程為x my 1(m 0),與直線l的方程x221聯(lián)立，可得點P( 1,一),故、(1). mm將 x my 1 與 x2 4y-2.2_._1聯(lián)立，消去x,整

26、理得(3m4)y 6my 0 ,解得y 0,或y6m3m2 4.由點B異于點A,可得點B(烏m一4,一6m).由、(1,2),可得直線BQ的方程為 3m 4 3m 4m2D(2 23m ,0).所以3m2 222, 6m23m422 3m44r(2 )(x 1) ( 2 1)(y ) 0 ,令 y 0 ,斛得 x 2 ,故3m2 4m3m24m3m2 2|AD| 1 2 23m6m .又因為APD的面積為 ”故1 6m-3m 2 3m 222 3m 2 | m|3m2 2點|m| 2 0 ,解得|m| 逅，所以m .所以，直線 AP的方程為3x T6y 3 0 ,或 333x 、,6y 3 0

27、.4.不用定義直接化簡的陷阱(圓錐曲線定義的靈活運用)22例4.已知橢圓 冬冬 1 (a b 0)與拋物線y2 2 Px (p 0)共焦點F2,拋物線上的點 M到y(tǒng)軸的距離a b5等于MF21,且橢圓與拋物線的交點 Q滿足|QFz| -.(I)求拋物線的方程和橢圓的方程；(II )過拋物線上的點 P作拋物線的切線 y kx m交橢圓于A、B兩點，設線段 AB的中點為C x0,y0 ,求Xo的取值范圍.22【答案】(1) 土 L 1 ； (2)1,098【解析】(1)二.拋物線上的點 M到y(tǒng)軸的距離等于 MF2 1 ,點M到直線x1的距離等于點 M到焦點52的距離，得x 1是拋物線y2 2px的

28、準線，即 21 ,2解得p 2 ,拋物線的方程為 y2 4x；可知橢圓的右焦點F2 1,0 ,左焦點Fi1,0 ,5 一52. 一 3由QF2 得Xq 1 ,又vQ 4% ,解得Q ,娓, 222.一7 5由橢圓的定義得2a QF1| |QF2 7-56,a 3,又 c 1,得 b2 a2 c2 8,22橢圓的方程為 - -y- 1. 98(2)顯然止于用3由消去x,得電/一4尸+4刖=0, 尸=4兀由題意知A = 1616Azk =(J得Azm=1/y hc+m由， y7 ，消去下,徨(9以十斗，十18麗國+9加72 = 0,+ 198其中 A3 二(1 BAm)2 -4(9爐 +8)(92

29、2 -72)> 0 9化簡得 9甘-zh2+8 > 0 ,又a二!,得加4一8m？一9<0,解得 m謾/(孫月),鞏/jj,則/=節(jié)生=一薪看由后得%>T，:%的取值范圍是(T9).m 9【陷阱防范】：涉及圓錐曲線方程時要考慮定義的幾何意義，往往可以簡化解題步驟22練習1.已知雙曲線C: 4 1(a 0,b 0)的漸近線方程為：y J3x,右頂點為1,0 . a b(I)求雙曲線C的方程；(n)已知直線 y x m與雙曲線C交于不同的兩點 A,B ,且線段AB的中點為M %,y0，當刈 0時，求y0的值。Xo(1)【解析】(1)因為雙曲線cj a2 y_ b21(a0,

30、 b 0)的漸近線方程為：yJ3x ,所以J3為1,01,b(2)直線y x m與雙曲線C聯(lián)立方程組消2x2 2mx m23 0,mxo, y023m2辿的值為3Xo2練習2.設橢圓C:事 a2y71abb20的左、右焦點分別為 aF2 ,其焦距為2c,點Qc,-在橢圓的外2部，點P是橢圓C上的動點，且|PF1PQ5一忙才2恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是(3A. 0,3 B.42 3 C C.2 ,4D.4,1丁點QD【解析】ac, 2在橢圓白外部，則a22c2反即2.2e 。2由橢圓的定義得 PF1PQPF1PQ 2aPQPQ PF2 QF25|FiF2恒成立， 33 2c>e3.所

31、以橢圓離心率的取值范圍是433,1 .選 D.45.圓錐曲線中的求定點定直線(只考慮一般情況不考慮特殊位置)陷阱例5.已知過拋物線C : y22 Px( p 0)的焦點F ,斜率為J2的直線交拋物線于AXi,yi,BX2, y2(xiX2)兩點，且AB 6.(1)求該拋物線C的方程；(2)已知拋物線上一點 M t,4 ,過點M作拋物線白勺兩條弦 MD和ME ,且MD ME ,判斷直線DE是否過定點？并說明理由.【答案】(1) y2 4x； (2)定點8, 4【解析】(1)拋物線的焦點F艮,0，直線AB的方程為：y J2 x E222y 2px2聯(lián)立方程組L D ，消元得：x2 2 px衛(wèi)-0

32、,y 2 x4x1x2 2 p, x1x2AB H_2 J x1 x2 2 4x1x23 4 p2p2解得p 2 .拋物線C的方程為： y2 4x.(2)由(1)可得點M4,4 ,可得直線DE的斜率不為0,設直線DE的方程為：x my t ,x my t 2聯(lián)立2 ，得 y 4my 4t 0,y 4x則 16m2 16t 0.設 D。必，E x2,y2 ,則 y y2 4m, yy24t. MD MEx1 4,y1 4 x2 4, y2 4K& 4 x x2 16 yy2 4 y1 y2 16222216 V1V2 4 yi y216yL y 4 yL y2 彳彳 彳彳2V1V2162

33、yiV23yi y2 4 yiy232t2 16m2 12t 32 16m 0即 t2 12t 32 16m2 16m,得:264 2m 1t 62 2m 1 ,即 t 4m 8或 t 4m 4 ,代人式檢驗均滿足0,直線DE的方程為：x my 4m 8 m y 4 8或x m y 4 4.，直線過定點 8, 4 （定點 4,4不滿足題意，故舍去）.【陷阱防范】：1.定點與定值問題的解決，一般通過取極端位置（即特定位置）探索出定點或定值，然后再進行一般性證明.2.解決定值定點方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關(guān)；（2）直接計算、推理，并在計算

34、、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算練習1已知拋物線C:y 2x2,直線l:y kx 2交C于A、B兩點， M是AB的中點，過M作x軸的垂線交C于N點.（1）證明：拋物線 C在N點處的切線與 AB平行;（2）是否存在實數(shù)k,使以AB為直徑的圓M經(jīng)過N點？若存在，求出 k的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）見解析；（2）存在實數(shù)k 2使以AB為直徑的圓M經(jīng)過N點.【解析】（1）證明：設 A x1,y1 , B x2,y2 ,把 y kx 2 代入 y 2x2 得 2x2 kx 2 0

35、.k 所以x1x2 -,2xnxMk一,所以N4k Y4, 8因為2x2 ' 4x,所以拋物線在 N點處的切線斜率為k,故該切線與 AB平行.(2)假設存在實數(shù)yi使以AB為直徑的圓M經(jīng)過N點，則MN -|AB .1k2 .，y2一 kx1kx2 4 2 ,又因為MN垂直于x軸,所以MN | yMyNk2 168，24而 AB x1 x2 ? 1 k21 1k2 ? .16-k2 .2 12- :2 k 16所以一5 k ?V16 k ，解得 k 2.24所以，存在實數(shù)k 2使以AB為直徑的圓M經(jīng)過N點.2x 1的離心率 m22練習2.已知命題p：方程工一1表示焦點在y軸上的橢圓；命題

36、q：雙曲線 2m m 1e (1,2),若p q是真命題，求實數(shù) m的取值范圍.【答案】0 m 15.【解析】將方程上一二二1改寫為 工十二 二L只有當1mA2 m 0,即。用?時，方程表 2m 用一 12m 1m3示的曲線是焦點在尸軸上的幡圓，所以命題P等價于。陋工；因為雙曲線?之三1的離心率£巴(1，所以鵬下0,且1號 4,解得04赭15 j所以命題©等 5 m5價于。(制 15 .p或q為真，則0 m 15.6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱例6.在平面直角坐標系 xOy中，點F 1,0 ,直線x 1與動直線y n的交點為M ,線段MF的中垂線與動

37、直線y n的交點為P .(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)過動點M作曲線E的兩條切線，切點分別為 A, B,求證： AMB的大小為定值.【答案】（1）曲線E的方程為y2 4x. （2）詳見解析【解析1（1）因為直線尸=篦與工=-1垂直,所以歷為點尹到直線x = T的距離.連結(jié)尸尸，因為尸為線段am的中垂線與直線尸=卸的交點，所以mp=pf.所以點尸的軌跡是拋物線.焦點為尸色。） 準線為” =一1.所以曲線后的方程為寸=44.（2）由題意，過點 M 1,n的切線斜率存在，設切線方程為 y n k x 1 ,i y kx k n, 2聯(lián)立2得 ky 4y 4k 4n 0 ,y 4x,所以 1 1

38、6 4k 4k 4n 0,即 k2 kn 1 0 （*）,因為2 n2 4 0,所以方程（*）存在兩個不等實根，設為 k1，k2,因為k1 k21,所以 AMB 90 ,為定值.【陷阱防范】：1.定值問題的解決，一般通過取極端位置 （即特定位置）探索出定值，然后再進行一般性證明 .2.解決定值方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明定值與變量無關(guān)；（2）直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算x2 y25練習1.點P是雙曲線一 1（a 0,b 0）上的點， E,F2是

39、其焦點，雙曲線的離心率是 一，且a b4uuv uuuvPF1 PF2 0，若 F1PF2的面積是9,則a b的值等于（）.A. 4 B. 7 C. 6 D. 5【解析】雙曲線的離心率是c5baa4auuur uurn1PFi PF2, VPF1F2 的面積 S -|PFi|PF2| 9,在VPF1F2中，由勾股定理可得4c2 PF1I2 IPF212 (|PFi IPF2)2 2PFi?PF2a b 7,故選C.2 -x2練習2.如圖，拋物線 G：y 8x與雙曲線C2 :a b3 uur uuuuu,QPF1 PF204PF1|PF2182_ _2224a 36, a b a 9, b 3,

40、 a 4,22 1 a 0,b 0有公共焦點F2,點A是曲線C1,C2在第一象限的交點，且 AF2| 5.(I)求雙曲線C2的方程；(n)以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓 N: x 2 2 y2 1.已知點P 1,J3 ,過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2,設被圓M截得的弦長為s , l2被圓N截得的弦長為t.試探索:是否為定值？請說明理由【答案】(D x2 y- 1 ； ( n)-為定值“. 3t【解析】(I)拋物線C1: y2 8x的焦點為F2 2,0 ,，雙曲線C2的焦點為F1 2,0、F2 2,0 .、i . -2- _設Ax0,y0在拋物線G : y

41、 8x上，且AF25.由拋物線的定義得，x0 2 5,x0 3.y。2 8 3,. y0276.1.AF1| J 3 2 22 6 2 7又.點A在雙曲線上，由雙曲線定義得，2a |7 5 2, a2雙曲線的方程為：x2 L 1.3s . 、 .，(n) s為定值.下面給出說明:t設圓的方程為:222 y2r2,雙曲線的漸近線方程為:3x .圓與漸近線J3x相切,2、31.3 2J3.3.故圓依題意11、12的斜率存在且均不為零,所以設11的方程為y J3設12的方程為y J3即 x ky J3k 1 0,3k.點M到直線11的距離為d1, ，點N到直線12的距離為d21 k21,，直線11被

42、圓M截得的弦長s2：3 J1 k2613k 6k21 k2直線12被圓N截得的弦長t 2J13k 1 21 k22,：2'3kk22k26 .3k k22 v3k k2s t6、3k 6k22.3k 2k2四.真題再現(xiàn)2 x1.平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C : a2，1 a b 0的離心率為 b2,左、右焦點分別是2F1,F2,以F1為圓心以3為半徑的圓與以52為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.(I)求橢圓C的方程;22X y一(n)設橢圓E ：2 j 1, P為橢圓C上任意一點，過點 P的直線y kX4a 4bm交橢圓E 于A, B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.求OQ

43、的值;0P(ii )求ABQ面積的最大值.2【答案】(I) 土 y2 1； (II )2; (ii ) 6a .4【解析】(由題意知2。= 4 ,則口 = 2，又一=b2可得占二L,所以橢圓C的標準方程為- 4X2(II )由(I )知橢圓E的萬程為161,設P Xo, yo2Xo16OQOP2X04Xo,y°因為反4y(21,OQOP(ii )設 A。必，B X2,y2kx m代入橢圓E的方程,可得1 4k2 X2 8kmX 4m2 16,可得 m2 4 16k2則有XiX28 km1 4k2,X1X24 m2 161 4k2所以XiX24,16k2 4 m21 4k2因為直線y

44、kx m與軸交點的坐標為 0,m一 八一，一1所以 OAB的面積S 1m| |X2X22 16k2 4 m2 m1 4k22 (16k2 4 m2) m2 2 1 4m2m21 4k2-11 4k21 4k22令 m ° t，將y kx m代入橢圓C的方程可得1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 01 4k2由 0 ,可得m2 1 4k2由可知0 t 1因此 S 2t t 2c t2 4t ,故 S 2J3當且僅當t 1 ,即m2 1 4k2時取得最大值2，3由（i）知， ABQ 面積為3S ,所以 ABQ面積的最大值為6於.22x y2.已知橢圓：二31 （a b 0）的半焦距為

45、c,原點 到經(jīng)過兩點 c,0 , a b0,b的直線的距離為1c. 2（I）求橢圓 的離心率；225（II）如圖， 是圓 ：x 2 y 1的一條直徑，若橢圓經(jīng)過 ， 兩點，求橢圓 的2方程.一22【答案】（I）但；（II）二匕1.2123【解析】（I）過點c,0 ,0,b的直線方程為bx + cy - bc = 0 ,則原點到直線的距離d rbcbc,b2 c2a由d=1c,得a=2b = 2 Ja9_9_因此直線萬程為y = (x + 2)+1,代入(2)得x2+4x+8- 2b2 =0. 2所以 x1 + x2 = - 4 , x*2 = 8- 2b . - c2 ,解得離心率 c =吏.

46、 2a 2（II）解法一：由（I）知，橢圓的方程為x2+4y2 = 4b2.（1）依題意，圓心 2,1是線段 的中點，且|AB尸J10.易知，不與x軸垂直，設其直線方程為 y = k（x+ 2）+1 ,代入（1）得(1 + 4k2)x2+8k(2k + 1)x + 4(2k+1)2 - 4b2 =0役1（孫Y。, B（孫y2）a則七十呵二-啊如1)_ 4(2k+l)2-4i21+店外”1+4由百十吃二Y）得一+4二/二Y,解得1二5.于是叫=RD區(qū)一巧卜+巧）工一 4的石=J1D（川2）.由|AB|二Mi得二而解得非二3.22故橢圓 的方程為+- = 1.123解法二：由（I）知，橢圓的方程為

47、x2 +4y2 =4b2.（2）依題意，點關(guān)于圓心2,1對稱，且|AB |= J10.2 一 222 一 22設 A(xi,y。B(x2, y2),貝U Xi +4y1 二 4b , x? +4y2 = 4b ,兩式相減并結(jié)合x1 +x2 =-4, y+ y2 = 2,得-4(x1 - x2)+8(y1 - y2) = 0.易知,不與x軸垂直，則x1 x2,所以 的斜率kAB = y1 - y2 = 1X - x22是 |AB| J 2由 |AB |二炳，得 Jl0(b2- 2) = 10),解得 b24X1X2,10(b2).=3.22故橢圓 的方程為+-y- = 1.12323.如圖，設橢圓2- y21 (a> 1).a(I)