數(shù)學(xué)思想方法的含義

1、一、數(shù)學(xué)思想方法的含義 “數(shù)學(xué)思想方法”一詞無論在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育范圍內(nèi)，還是在其它科學(xué)中，也被廣為使用。中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）已將數(shù)學(xué)思想方法列為數(shù)學(xué)目標(biāo)之一。 數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識中鍛煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。例如，字母代數(shù)思想、化歸思想、極限思想、分類思想等。 數(shù)學(xué)方法是指在數(shù)學(xué)地提出問題，解決問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題）過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。如，變化數(shù)學(xué)形式、笛卡爾模式、遞推模式、一般化、特殊化等。 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，思想指

2、導(dǎo)方法， 方法體現(xiàn)思想。“同一數(shù)學(xué)成就，當(dāng)用它去解決別的問題時(shí)，就稱之為方法，當(dāng)評價(jià)它在數(shù)學(xué)體系中的自身價(jià)值和意義時(shí)，稱之為思想?！碑?dāng)強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想，解題策略時(shí)，稱之為數(shù)學(xué)思想；強(qiáng)調(diào)操作時(shí)，稱為數(shù)學(xué)方法，往往不加區(qū)別，泛稱數(shù)學(xué)思想方法。 例如，化歸思想方法是研究數(shù)學(xué)問題的一種基本思想方法。我在處理和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，總的指導(dǎo)思想是把問題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題，這就是化歸思想。而實(shí)現(xiàn)這種化歸，就是將問題不斷的變換形式，通過不同的途徑實(shí)現(xiàn)化歸，這就是化歸方法，具體的劃歸方法有多種，如恒等變換、解析法、復(fù)數(shù)法、三角法、變量替換、數(shù)形結(jié)合、幾何變換等。 二、中學(xué)數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)

3、容之一。重視與加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，這對于抓好雙基、培養(yǎng)能力以及提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)都具有十分重要的作用。為此，下面擇要探討有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)思想的問題。 （一）用字母、符號、圖象表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的思想 數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科的一個(gè)顯著區(qū)別，在于數(shù)學(xué)中充滿了字母、符號、圖形和圖象，它們按照一定的規(guī)則表達(dá)數(shù)學(xué)的內(nèi)容。 這些字母、符號、圖象、圖形就是數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)語言的創(chuàng)造和運(yùn)用密切相關(guān)。 前蘇聯(lián)A.A.斯托利亞爾在數(shù)學(xué)教育學(xué)里指出： 數(shù)學(xué)中“符號和公式等人工語言的制訂是最偉大的科學(xué)成就，它在很大程度上決定了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。今天越來越明顯，數(shù)學(xué)不僅是事

4、實(shí)和方法的總和，而且是（也許甚至首先是）用來描述各門科學(xué)和實(shí)際活動領(lǐng)域的事實(shí)和方法的語言?！睌?shù)學(xué)語言可分為兩種：一種是抽象的符號語言；另一種是較直觀的圖象（圖形）語言，通過它們表達(dá)概念、判斷、推理、證明等思維活動。用數(shù)學(xué)符號（數(shù)字、字母、運(yùn)算符號或關(guān)系符號）表示數(shù)學(xué)內(nèi)容，比用自然語言表示要簡短得多。例如，余弦定理用自然語言表述是“三角形的任一邊 的平方，等于其它兩邊 的平方和，減去這兩邊與它們夾角 的余弦的積的兩倍”，如果用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，則是 。兩者比較，數(shù)學(xué)語言可大大縮短語言表達(dá)的“長度”。運(yùn)用數(shù)學(xué)語言可以使數(shù)學(xué)的敘述、計(jì)算和推理簡單明了，才能大大簡化

5、和加速思維進(jìn)程，使數(shù)學(xué)成為充滿活力的運(yùn)行系統(tǒng)。數(shù)學(xué)符號的使用極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。有人把十七世紀(jì)叫做數(shù)學(xué)的天才時(shí)期，把十八世紀(jì)叫做數(shù)學(xué)的發(fā)展時(shí)期，這兩個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)之所以取得較大的成就，原因之一是大量創(chuàng)造并使用數(shù)學(xué)符號。數(shù)學(xué)符號簡化的記法，常常是深?yuàn)W理論的源泉。 數(shù)學(xué)語言的功能可按符號和圖象在數(shù)學(xué)中的作用，歸納為以下幾方面： （）表示數(shù)的字母或幾何圖形的符號，具有確定的符號意義的功能。 用字母表示數(shù)。用字母和符號表示幾何圖形。 （）數(shù)學(xué)符號具有形成數(shù)與數(shù)、數(shù)與式、式與式之間關(guān)系的功能。 （）數(shù)學(xué)符號具有按照某種規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算的功能。 （）為了簡明地表示某個(gè)特定的式子或某種特定的涵義而引入某些數(shù)學(xué)符

6、號。 （）隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)語言的直觀功能越來越明顯。人們在電子計(jì)算機(jī)的終端顯示屏上可看到各種數(shù)字、數(shù)學(xué)圖表、圖像，它們作為信息傳遞的一種形式具有同符號語言相同的功能，而且比符號語言更直觀。這里所講的“圖形”，不僅包括“幾何圖形”，而且還包括“一般圖形”，如集合論中的文氏圖、示意圖、表格、模型圖和思路分析框架圖等。 · 2008-3-20 11:24 · 回復(fù) 60.2.23.*2樓（二）轉(zhuǎn)化的思想 數(shù)學(xué)中充滿矛盾，對立面無不在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。已知與未知，異與同，多與少，一般與特殊等等在一定條件下都可以互相轉(zhuǎn)化。這是唯物辯證法在數(shù)學(xué)思想方法上的體現(xiàn)，轉(zhuǎn)化的方向一

7、般是把未知的問題朝向已知方向轉(zhuǎn)化，把難的問題朝較易的方向轉(zhuǎn)化，把繁雜的問題朝簡單的方向轉(zhuǎn)化，把生疏的問題朝熟悉的方向轉(zhuǎn)化。 化歸，即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的意思，把有待解決的未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為已熟悉的規(guī)范性問題或已解決過的問題，從而求得問題解決的思想。 人們在研究運(yùn)用數(shù)學(xué)的過程中， 獲得了大量的成果，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，許多問題的解決已形成了固定的模式、方法和步驟，人們把這種已有相對確定的解決方法和程序的問題，叫做規(guī)范問題，而把一個(gè)未知的或復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題的方法，稱為問題的化歸。 轉(zhuǎn)化或化歸、變換的思想方法不僅用之于數(shù)學(xué)，而且是一般分析問題和解決問題的十分重要的基本思想方法

8、。但是這種轉(zhuǎn)化變換的思想往往是滲透在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，滲透在運(yùn)用知識分析解決問題里。這就要靠教師在整個(gè)教學(xué)過程中，使學(xué)生能夠領(lǐng)悟并逐步學(xué)會運(yùn)用這些思想方法去解決問題。 （三）數(shù)形結(jié)合的思想 從廣義上來看，數(shù)學(xué)研究的主要對象是：現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，形與數(shù)以及它們之間的關(guān)系始終是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容。與此同時(shí)，數(shù)形結(jié)合又是學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)的重要思想方法。形與數(shù)是互相聯(lián)系，也是可以相互轉(zhuǎn)化的。把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題，或者將圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，是數(shù)學(xué)活動中一種十分重要的思想方法，統(tǒng)稱為數(shù)形結(jié)合的思想方法。 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明，形與數(shù)的結(jié)合不僅使幾何問題獲得了有力的現(xiàn)代工具，

9、而且也使許多代數(shù)問題獲得了明顯的直觀的幾何解釋， 從而開拓出新的研究方向。 例如， 笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何就是運(yùn)用形數(shù)結(jié)合這一思想方法的典范，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，形成了點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)組以及曲線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，把代數(shù)與幾何結(jié)合起來，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元。又如， 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)人們把函數(shù)看成一個(gè)個(gè)“點(diǎn)”， 把一類函數(shù)的全體看作一個(gè)“空間”， 由此引出無窮維空間的概念，這也是成功地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法的結(jié)果。 從表面上看，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容可分為形與數(shù)兩大部分，代數(shù)是研究數(shù)與數(shù)量關(guān)系的主要學(xué)科。然而事實(shí)上，在中

10、學(xué)數(shù)學(xué)各分科教學(xué)中都滲透了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容與思想。例如，研究實(shí)數(shù)與數(shù)軸相結(jié)合，研究復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合，研究函數(shù)與其圖象相結(jié)合，研究平面上的直線與二元一次方程結(jié)合，研究圓錐曲線與二元二次方程相結(jié)合， 研究集合與韋恩圖相結(jié)合等等。 數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的意義，運(yùn)用這種思想方法去解決數(shù)學(xué)問題，常常可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。作為數(shù)形結(jié)合的具體方法，主要有解析法、復(fù)數(shù)法、三角法、圖解法等等。一般說來，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，常用解析法、復(fù)數(shù)法、三角法等；而把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題，則常用圖解法、解析法、幾何法等。 （四）分解組合思想 有些數(shù)學(xué)問

11、題較復(fù)雜，不能一下子以統(tǒng)一的形式解決，這時(shí)可考慮先把整個(gè)研究范圍分解為若干個(gè)局部問題，分別加以研究，然后再通過組合各個(gè)局部的解答而得到整個(gè)問題的解答，這種思想就是分解組合思想，其方法稱為分類討論法。 在中數(shù)里，研究含字母的絕對值問題，一元二次方程根的討論，解不等式，函數(shù)單調(diào)性的研究，圓周角與對同弧的圓心角關(guān)系定理，弦切角定理，正弦定理，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，二次曲線的討論，排列組合問題以及各種含參數(shù)的問題的研究等等，無不體現(xiàn)了分解組合的思想。對于復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，特別是一些綜合題，運(yùn)用分解組合的思想方法去處理，可以幫助人們進(jìn)行全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎己头治?，從而獲得合理有效的解題途徑。 · 20

12、08-3-20 11:24 · 回復(fù) 60.2.23.*3樓（五）集合對應(yīng)思想 集合與對應(yīng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本最原始的概念之一，我們不能用其它更基本的概念給它們下定義，所以也把它們叫做不定義概念或原始概念。對于這些不定義概念，我們只能作描述性的說明。 中數(shù)教材從學(xué)生已有的知識出發(fā)，分別用數(shù)、點(diǎn)、圖式、整式以及物體等實(shí)例引入集合的概念，這樣既便于學(xué)生接受，也讓學(xué)生體會到集合的概念如同其它數(shù)學(xué)概念一樣，都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的。 整個(gè)數(shù)學(xué)的許多分支如近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、概率統(tǒng)計(jì)等等幾乎都是建立在滿足各種不同條件的集合之上，都可以在集合論的范圍內(nèi)形式地加以定義。集

13、合論的許多基本思想方法、符號、定理已廣泛地滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，許多涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的根本性問題都可歸結(jié)為關(guān)于集合論的問題，因此法國的布爾巴基學(xué)派把集合論稱為“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)”。此外，集合思想還廣泛地滲透到自然科學(xué)的許多領(lǐng)域，集合術(shù)語在科技文章和科普讀物中比比皆是，讓中學(xué)生掌握集合的初步知識，可以使學(xué)生對初等數(shù)學(xué)中的一些基本概念理解得更深刻，表達(dá)得更明確，同時(shí)也可為以后學(xué)習(xí)一般科技知識和近代數(shù)學(xué)準(zhǔn)備必要的條件。 （六）方程函數(shù)思想 方程與函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，占了相當(dāng)多的份量，其中某些內(nèi)容既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，例如，列方程（組）解應(yīng)用題，函數(shù)的定義和性質(zhì)，反函數(shù)的概念，平面解幾里曲線的方程，方程的

14、曲線的概念等等。方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問題中具有重大的方法論意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)里，對各類代數(shù)方程和初等超越方程都作了較為系統(tǒng)的研究。對一個(gè)較為復(fù)雜的問題， 常常先通過分析等量關(guān)系，列出一個(gè)或幾個(gè)方程或函數(shù)關(guān)系式，再解方程（組）或研究這函數(shù)的性質(zhì)，就能很好地解決問題。 例如算術(shù)中較為復(fù)雜的四則應(yīng)用題，利用方程（組）去解就變得非常容易；在幾何中求異面直線之間的距離問題，利用函數(shù)極值的方法也往往顯得簡便。 三、中學(xué)數(shù)學(xué)方法 中學(xué)數(shù)學(xué)的具體方法豐富多彩， 例如類比法、歸納法、演繹法、觀察法、實(shí)驗(yàn)法、分析法、綜合法、比較法、分

15、類法、抽象和概括、聯(lián)想法、具體化、特殊化、系統(tǒng)化、變換法、構(gòu)造法、 RMI方法、交集法、遞推法、特征法、待定系數(shù)法、解析法、參數(shù)法、圖解法、三角法、代數(shù)法、幾何法、復(fù)數(shù)法、面積法、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)形結(jié)合法、反證法、同一法、配方法、非標(biāo)準(zhǔn)化法等等。深入地分析這些方法，我們可以發(fā)現(xiàn)： 方法本身具有層次性方法在應(yīng)用上具有綜合性。方法往往具有各自不同的適用性。方法本身也在不斷完善之中，具有發(fā)展性。  （一）觀察法 觀察就是以人們的感知為基礎(chǔ)，有目的有選擇的認(rèn)識事物的本質(zhì)和規(guī)律的一種方法。數(shù)學(xué)觀察則是人們對數(shù)學(xué)問題在客觀情境下考察其數(shù)量關(guān)系及圖形性質(zhì)的方法。 觀察是思維的窗口，觀察與思

16、考是緊密結(jié)合在一起的。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)里，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的觀察方法，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律。 （二）實(shí)驗(yàn)法 實(shí)驗(yàn)， 是人們根據(jù)一定的研究目的，運(yùn)用一定的手段（或工具、設(shè)備等），在人為控制或模擬的條件下，排除干擾，突出主要因素，從而有利于進(jìn)行觀察、研究、探索客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律的一種科學(xué)研究方法。 （三）比較 比較，就是把研究對象的個(gè)別部分或個(gè)別特征分出來，以確定它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。比較可在同類對象中進(jìn)行，也可在不同類對象中進(jìn)行，或在同一對象的不同方面、不同部分之間進(jìn)行。 為了進(jìn)行比較，先要把研究對象的某一整體分解為部分，區(qū)別其特征，這就是分析；同時(shí)又要把它們相應(yīng)的

17、部分聯(lián)系起來，確定其異同，這就是綜合。因此，比較過程中既有分析，又有綜合。 “有比較才有鑒別”；“在比較中認(rèn)識一切”。比較是分類、類比等方法的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的一種重要方法，加強(qiáng)比較的教學(xué)，有利于學(xué)生掌握概念、法則，啟迪思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突破教學(xué)中的難點(diǎn)。 · 2008-3-20 11:24 · 回復(fù) 60.2.23.*4樓（四）抽象和概括 . 抽象，是人們在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，透過現(xiàn)象，深入里層，抽取出事物的本質(zhì)特征、內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，從而達(dá)到理性認(rèn)識的思維方法。抽象的過程離不開比較、歸納、分析、綜合，要經(jīng)過“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的加工制作

18、過程，排除那些無關(guān)的或非本質(zhì)的次要因素，抽取出研究對象的重要特征、本質(zhì)因素、普遍規(guī)律與因果關(guān)系加以認(rèn)識，從而為解答問題提供某種科學(xué)依據(jù)或一般原理。  . 概括，即把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進(jìn)行考察的思維方法。概括是人們追求普遍性的認(rèn)識方式，是一種由個(gè)別到一般的思維方法。概括是以抽象為基礎(chǔ)，抽象度愈高，則概括性愈強(qiáng)，高度的概括對事物的理解更具有一般性，則獲得的理論或方法就有更普遍的指導(dǎo)性。 抽象和概括是密不可分的。抽象可以僅涉及一個(gè)對象，而概括則涉及一類對象。從不同角度考察同一事物會得到不同性質(zhì)的抽象，即不同的屬性。而概括則必須從多個(gè)對象的考察中尋找共同相通的性質(zhì)

19、。數(shù)學(xué)思維側(cè)重于分析、提練、概括思維則側(cè)重于歸納、綜合。 （五）具體化、特殊化、系統(tǒng)化 . 具體化，是與抽象化相反的一種思維方法，它是將抽象的數(shù)學(xué)事實(shí)（概念、定理等）同相應(yīng)的具體材料聯(lián)系起來，從而更好地理解數(shù)學(xué)事實(shí)的一種思維方法。 具體化，可以作直觀的描述，抽象法則的具體驗(yàn)證，某一性質(zhì)在具體條件下的應(yīng)用等等。 . 特殊化，是與概括相反的思維方法。它是將所論的數(shù)學(xué)事實(shí)“退”到屬于它的特殊狀態(tài)（數(shù)量或位置關(guān)系）下進(jìn)行研究，從而達(dá)到研究一般狀態(tài)目的一種思維方法。 在中數(shù)教學(xué)中，常常把變量的問題先以某些特殊值代入，或把某種任意的圖形問題先以這種圖形的特殊情況代入進(jìn)行研究，以獲取某種

20、啟示。這種“以退為進(jìn)”的研究方法，實(shí)為具體化、特殊化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。 . 系統(tǒng)化，就是將各種有關(guān)材料編成順序，納入一定體系之中進(jìn)行研究的一種思維方法。它是與比較、分類、抽象、概括、具體化等思維方法緊密聯(lián)系在一起的。 運(yùn)用系統(tǒng)化方法，有助于從整體上把握事物的內(nèi)在聯(lián)系，系統(tǒng)、深刻地掌握知識；有助于抓住核心，了解來龍去脈。在中數(shù)教學(xué)里，常常通過編寫提綱、繪制圖表的方法將知識系統(tǒng)化。例如，在學(xué)習(xí)了兩角和與差的三角函數(shù)的公式，倍角、半角的三角函數(shù)公式，萬能公式以及三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式之后，應(yīng)及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把這許多公式的內(nèi)在聯(lián)系和推導(dǎo)的線索用繪制圖表的方法進(jìn)行系統(tǒng)的整理，這將大大有

21、助于學(xué)生理解、記憶和掌握這些公式，這是學(xué)好此章三角函數(shù)公式的關(guān)鍵。又如，在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容之后，也應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生把這三種圓錐曲線的幾何條件（定義）、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、性質(zhì)制成圖表，進(jìn)行比較，并形成系統(tǒng)化的知識。這樣的例子在中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行教材里是很多的，特別在各章小結(jié)部分，比較注意對整章的內(nèi)容在歸納概括的基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)化，在教學(xué)上，應(yīng)予以充分重視。 （六）想象和直覺 . 想象，有人稱之為科學(xué)的猜想，或科學(xué)的聯(lián)想。它是推測事物現(xiàn)象的原因與規(guī)律性的創(chuàng) . 直覺，又稱為頓悟（靈感），這也是一種創(chuàng)造性的思維活動。在科學(xué)史上，很多卓越的發(fā)現(xiàn)往往與之有關(guān)。 直覺的表現(xiàn)，往往是不通

22、過分析步驟而達(dá)到真實(shí)的結(jié)論，有人認(rèn)為它是非邏輯的思維活動；有人認(rèn)為它是邏輯過程的壓縮、 簡化，而采取了“跳躍”的形式， 只不過在瞬間猜測到了問題的答案， 顯然為突然闖入腦際的“閃念”。 直覺是突發(fā)性、偶然性的，但不是隨心所欲，憑空出現(xiàn)的。長期而緊張的邏輯思維活動往往是產(chǎn)生直覺的前奏和準(zhǔn)備，它只不過是變換了思路，從不同角度去重新考慮，在某種啟發(fā)下導(dǎo)向科學(xué)的發(fā)現(xiàn)。 由于直覺具有創(chuàng)造性，又具有隨意性，因此，直覺活動難以具有嚴(yán)格、精確的模式，否定直覺的作用或?qū)⒅庇X神秘化、顯然都是不對的。關(guān)于直覺的詳細(xì)研究，已在第四章作了闡述，在此就不重復(fù)了。 · 2008-3-

23、20 11:24 · 回復(fù) 60.2.23.*5樓（七）RMI方法 所謂RMI方法，即關(guān)系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）方法。在一個(gè)數(shù)學(xué)問題里，常有一些已知元素與未知元素 （都稱為原象），它們之間有一定關(guān)系 ，如果在原象集及關(guān)系 里直接去求未知元素 比較難，則可考慮尋找一個(gè)映射 ，把原象及關(guān)系 映射成映象及關(guān)系 ，而在映象及關(guān)系 里去求未知元素 的映象 較為容易，最后從未知元素的映象 通過反演 求得求知元素原象 

24、;。這種方法就叫做“關(guān)系映射反演”方法，簡稱 方法，可用框圖表示如下：   應(yīng)該注意的是，這里所講的“反演”，一般指的是廣義下的“反演”，即“逆著返回”的意思。在特殊情況，如映射 為映射，則反演 就是 的逆映射 。 從“ 方法”的基本內(nèi)容可以看出，其解決數(shù)學(xué)問題的思想由三個(gè)步驟來完成： 建立映射：適當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)映射 ，通過它的作用將原象及關(guān)系 映射成映象及關(guān)系 ； 定映：在映象及關(guān)系 中把待求元素 的映象 確定出來； 反演：由 通過反演確定出要求的元素&#

25、160;。 在這三步中，第一步建立映射最重要。實(shí)際上，正是通過所選擇的映射 把我們所要解的不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問題，因此，只有映射選擇得好，才有利于問題的解決。 由此可見， 方法也是轉(zhuǎn)化思想的一個(gè)具體運(yùn)用。 （八）交集法 有許多數(shù)學(xué)問題，它的解是由幾個(gè)條件決定的，每一個(gè)條件都可以定出某種元素的一個(gè)集合，它們的交集的元素就是我們所要求的解，利用求交集的方法來解決數(shù)學(xué)問題稱為交集法。 要找?guī)讉€(gè)集合的交集， 常用如下辦法：一是先找出其中一個(gè)集合的元素，然后從中逐次剔除不在其它有關(guān)集合中的元素，剩下的就組成它們的交集。第二種辦法是把各個(gè)集合都找出來后，再

26、找它們的公共部分。幾何作圖中的交軌法就是用這方法。有時(shí)，要求出n個(gè)集合的交集， 還可先求出其中n-1個(gè)集合的交集，再求這個(gè)交集與剩下的一個(gè)集合的交集。 （九）笛卡爾模式方法 這是一種將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，又將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解方程問題的方法。即“實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題解方程問題”的模式。 （十）遞推法 對于某些有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)問題，如果已知初始項(xiàng)，且對后面各項(xiàng)，可以尋找到遞推關(guān)系，則可由初始項(xiàng)遞推獲得所求的結(jié)果， 這種方法叫遞推法。 （十一）構(gòu)造法 在研究有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需構(gòu)造一個(gè)合適的輔助要素，從而用它來求得一條通向表面看來難于接近問題

27、的途徑，這種方法叫構(gòu)造法。其中有構(gòu)造命題法、構(gòu)造引理法、 構(gòu)造圖形法（包括構(gòu)造輔助線、輔助面、輔助體等）、構(gòu)造表達(dá)式法等。 （十二）變換法 變換的方法是轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用。代數(shù)里有換元法，解析幾何里有坐標(biāo)變換、幾何里有平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等合同變換、相似變換、射影變換、拓?fù)渥儞Q。變換是數(shù)學(xué)里一種重要方法。 中學(xué)數(shù)學(xué)的方法還有很多，如參數(shù)法、待定系數(shù)法、圖解法、復(fù)數(shù)法、解析幾何法、三角法、代數(shù)法、配方法、數(shù)理統(tǒng)計(jì)與處理數(shù)據(jù)的方法等等，限于篇幅，在此就不一一詳加闡述了，留給大家去研究總結(jié)。 四、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué) 現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱都明確強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)思想和方法作為基礎(chǔ)知識的重要組

28、成部分，這是體現(xiàn)素質(zhì)教育精神的重要方面。強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)對數(shù)學(xué)教育教學(xué)有很大的指導(dǎo)意義，以往的數(shù)學(xué)教學(xué)往往著眼于教具體的概念、法則、性質(zhì)公式、公理、定理，而忽視其中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法，也就是沒有揭示知識的精神實(shí)質(zhì)，沒有讓學(xué)生掌握精髓和靈魂，因此不利于提高學(xué)生的素質(zhì)。而現(xiàn)行大綱突出了數(shù)學(xué)思想和方法這個(gè)精髓，要使學(xué)生逐步學(xué)會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括、歸納、演繹、類比等重要的思想方法，這些思想方法不僅對學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)意義，而且對提高全體學(xué)生的文化科學(xué)素質(zhì)，思想素質(zhì)都有重大的意義。所以現(xiàn)行大綱雖然比舊大綱砍掉了一些知識點(diǎn)，降低一些難度，表面看似乎降低了要求，但實(shí)質(zhì)上是提高了要求

29、。即不僅要掌握知識、技能、培養(yǎng)能力，而且要提高素質(zhì)，達(dá)到領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想和方法的程度。正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“唯有這些（數(shù)學(xué)）精神、思想、方法的啟發(fā)、鍛煉、體驗(yàn)，才是不僅在數(shù)學(xué)，而且在一切科學(xué)技術(shù)中，在人生的各方面籌劃各種事業(yè)飛躍發(fā)展所絕對必須的，這一點(diǎn)已為許多事例所證實(shí)，應(yīng)是很清楚的了”，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，必將大大提高學(xué)生的素質(zhì)，這正是素質(zhì)教育所大力提倡的。 · 2008-3-20 11:24 · 回復(fù) 60.2.23.*6樓關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可從以下幾方面入手： （一）深入挖掘蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中的思想方法，加以揭示，乃至予以必要的強(qiáng)調(diào)。 由于數(shù)

30、學(xué)教材是按數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯體系與認(rèn)識理論的教學(xué)體系相結(jié)合的辦法來安排的，限于篇幅，許多重要的數(shù)學(xué)思想方法并沒有明顯地寫在教材里，然而，數(shù)學(xué)是知識與思想方法的有機(jī)結(jié)合，沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識，也沒有游離于數(shù)學(xué)知識之外的數(shù)學(xué)思想方法。這就要求教師在認(rèn)真?zhèn)湔n的同時(shí)，深入挖掘隱含在教材里的數(shù)學(xué)思想方法，而在具體教學(xué)過程中，加以揭示，明確地告訴學(xué)生，闡明其作用，并給以必要的強(qiáng)調(diào)，以引起學(xué)生的重視和加深理解。例如立幾教學(xué)中許多內(nèi)容都體現(xiàn)了一個(gè)重要思想方法把空間里的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題，在教學(xué)過程中，就要善于引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中提煉出這一具有普遍指導(dǎo)作用的思想方法。并進(jìn)一步上升為降維的思想方法，再總結(jié)出更一般的更高層次的思想轉(zhuǎn)化與化歸。 （二）緊密結(jié)合教材，有計(jì)劃、有步驟地系統(tǒng)開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。 對于不同的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，可根據(jù)其特點(diǎn)，選配不同的數(shù)學(xué)