應用數學答案1

1、P. 342 研究一下，出現(xiàn)下列情況時，分析過程有何更改。(a)        如果與是的函數。(b)       如果與是的函數。(c)        如果,和都是的函數。(補充討論)提示：當系統(tǒng)處于均勻態(tài)的時候，所有相關的物理量都將有其各自確定的值；我們的目的是研究系統(tǒng)因為一個小的擾動而偏離均勻態(tài)的時候，它能否在經過一段時間以后回到這個均勻態(tài)。如果能，我們就稱之為穩(wěn)定的，反之為不穩(wěn)定的。我們把

2、這一分析過程稱之為穩(wěn)定性分析過程。它的基本思路是：首先確定系統(tǒng)的均勻態(tài)（或者稱為平衡解），然后就每一個狀態(tài)分析其穩(wěn)定性，即引入小擾動，寫出關于擾動的物理方程，并化簡保留線性項，進而求解線性微分方程(組)，如果關于擾動部分的解不隨時間的增長而趨于零，說明該均勻態(tài)是不穩(wěn)定的。參考答案：控制方程：均勻態(tài)：小擾動：(a) 自行寫出分析過程，參考結果如下： 線性常系數偏微分方程組：穩(wěn)定性條件：(b) 自行寫出分析過程，參考結果如下： 線性常系數偏微分方程組：穩(wěn)定性條件：(c) 參考分析過程： i)      將,和作Taylor展開，忽略二階(包括二階以

3、上)小量：ii)      代入控制方程整理，忽略二階(包括二階以上)小量：其中：iii)    穩(wěn)定性分析：猜測有如下的形式解：代入ii)的方程中可得：有非平庸解的條件是系數行列式為零：穩(wěn)定性的充分條件： (為什么？上式兩根均為負，見書上的分析！)穩(wěn)定性條件：注：這里根據物理條件已經假定，當然也可以放棄這一假設，進行更詳細的討論。 注意：(1) 和的書寫，如這里也可以寫作；(2) 是一階小量，不是二階小量；(3)  4 定義為，且假設是正小量。忽略的高次項，找到二次方程較大根的近似值。推出增長

4、得最快的擾動的波長的近似值。提示：(部分符號已作修改！做作業(yè)時要把下面省略的詳細步驟補充完整!)i)          二次方程：ii)         定義：iii)       失穩(wěn)條件：因為是小量，所以也是小量，進而可知也是小量。iv)       二次方程較大根的近似值：v)  &

5、#160;     增長得最快，說明擾動最大極大值條件：小技巧： (舍去負值)vi)       波長近似值：因為，所以波長近似值：注意：(1)    正確理解題目的意思。(2)   掌握在時的Taylor展開(the Taylor expansion)。 P. 516 在(9)式得方程中消去，以便得到關于徑向運動的一個微分方程。把它積分以便推得徑向運動的開普勒表示式， 此處a是橢圓的長半軸，e是偏心率，n是軌道的頻率，T是經

6、過近日點的時間(the time of perihelion passage)，而E（稱為偏近點角, the eccentric anomaly）是一個參數，每走一圈，它的取值范圍為。位置角度即為所謂的真近點角(the true anomaly)，量值，隨時間而線性變化，稱為平近點角(the mean anomaly)。在推導中，應先得到下列形式的能量方程為此，請注意在近日點和遠日點（即分別離太陽最近和最遠的位置）處的徑向速度為零。本題重點復習和掌握簡單微積分和微分方程的解法，簡要了解一下天文學名詞。提示：從軌道運動方程推導能量方程。參考答案：軌道方程：由第二個式子，有：代入第一個式子，有：上

7、式兩邊同乘以，整理得：積分上式得：在遠日點和近日點處的徑向速度為零，即：因此： （注意C1是否寫對了，可能差一個符號）能量方程：令，有：即：令，則有：因此：當時，則所以：， 偏近點角和真近點角的關系： 補充題：用簡單函數(如冪級數、指數函數、對數函數)來表示當時函數的量階：(本題要求給出具體分析過程！)(a)     (b)     (c)      (d)     (e)   

8、;  (f)       (g)     提示： 兩個函數之間的關系：參考分析過程舉例如下： 方法一、可作Taylor展開(the Taylor expansion)的情況：(求量階只需要展出第一項即可，這里多展了幾項，只作參考)(a)    因為，則(b)    同(a)有，(c)    (d)    (g)  方法二、不可能只作Taylor展開

9、的情況：(e) 逐漸忽略小量(f) 這里只討論的情況： 方法三、猜測比較法，如：(c) 猜測量階為，比較時使用LHospital法則(the L'Hospital's rule)：為使，只有取(g) 猜測 量階為，比較時使用LHospital法則(the L'Hospital's rule)：為使，只有取 詳細解題示例：(a) 方法一：直接進行Taylor展開(the Taylor expansion)因為：所以：方法二：因為：所以：則：方法三：猜測量階為，比較時使用LHospital法則(the L'Hospital's r

10、ule)：為使，只有取注意： (1)  稱為的雙曲正弦函數，也可以寫作：； 稱為的雙曲余弦函數，也可以寫作：； 稱為的反雙曲正弦函數，也可以寫作：； 稱為的反雙曲余弦函數，也可以寫作：。有同學將理解為、，都是不對的。參考：(2) 冪級數不足于構成完備的標準函數集，需要補充對數函數、指數函數，以及P. 64 10 水星軌道方程：式中，是一小參數。題目提示的方法：解：（題目中部分符號有意更改，做作業(yè)要求按原題的符號推導?。┰O方程有形式解：一階導數：二階導數：平方項：（補充推導過程！）方程左邊：方程右邊：由的任意性，則：一級近似：（補充推導過程！）因此：所以：

11、兩個相繼的近日點之間的角度為： 注：平方項中涉及了三角函數的積化和差，請自行復習。 我們也可以有下面更加一般化的寫法：設方程有形式解：一階導數：二階導數：平方項：方程左邊：方程右邊：。龐加萊方法（Poincares method）水星軌道方程：式中，是一小參數。解：（題目中部分符號有意更改，做作業(yè)要求按原題的符號！）假設：則：即原方程左邊：原方程右邊：當時：因為當（近日點）即時，則：而當很小時：方程右邊除了零階的項以外，最大的項為，它是因此方程的左邊除了零階的項以外，最大的項的量階必須為我們可以分別討論和兩種情況，易見這兩種情況均不合理，前者不可能找到一個常數使得成立，后者

12、不能消除久期項的影響；因此必須有，此時為消除久期項（自行復習高等數學內容），關于的系數必須為零，則結合定解條件我們可以定出即有：兩個相繼的近日點之間的角度為： 為得到更高階的解，我們可以繼續(xù)假設如下形式：具體的討論略去，因為方法完全類似于上述的討論。極煩的方法：水星軌道方程：式中，是一小參數。這是來自一本很老的紙版參考答案的題解，里面有諸多筆誤，但還是不斷被傳抄，因此我們將其主要的錯誤修改后貼在這里，僅供參考。實際上，這個解題過程相當繁瑣，原因是它一開始就將一級近似代入方程推導，我們前面提供的方法有效地避免了這一復雜性，希望引起大家的重視。先簡要提煉一下這份參考答案的解題過程：(最煩

13、的方法，吃力不討好！)解的形式：一級近似：Taylor展開：則：方程左邊：（太復雜略去）方程右邊：（太復雜略去）相應項相等：所以：兩個相繼的近日點之間的角度為：！詳細圖片見網上答案！P. 904 (a) 階的第一類貝塞耳函數(Bessel function of the First Kind)的定義如下：證明（形式地）這個級數給出了貝塞耳方程(Bessel differential equation)：   的解。(b) 如果是整數，試證：(c) 證明:它可充當帶有整數下標的貝塞耳函數(Bessel differential equation)的母函數。(d) 證明: (e

14、) 證明:提示：本題要求驗證即可，有推導興趣的參見“數學物理方程(科大版p.84)”。 (a) 推導過程如下：因此：式中，為The (complete) gamma function (b) 推導過程如下： (c) 推導過程如下： (d) 令，代入(c)，利用Euler公式(The Euler formula)得：兩邊同乘以，并在上對積分，交換積分和求和的順序有：式中，是the Kronecker delta.因此： (e) 令，代入(d)得：實際上就是周期函數的性質。 P. 1027：求下列積分當時的漸近展開式：(a) 補余誤差函數

15、：(b) Fresnel積分： & 參考答案：（參考答案中有些符號和書上原題有可能不同，做作業(yè)請按原題！）提示：分部積分法(integration by parts)，注意漸近展開(asymptotic expansion)的表示(p.94)。(a) The complementary error function: 或者或者或者                    

16、          (b) Fresnel integrals: (可直接推導，也可利用上述結果，具體推導過程略去，做作業(yè)需要完全寫出！)因此：或者寫作：P. 112(8) 考慮在均勻力場中沿軸的隨機走動。在時間內，粒子以概率分別向左和向右移動距離（其中為常數）。寫出粒子在時刻位于離原點距離處的概率的一個差分方程。求時的極限微分方程。參考答案：（參考答案中有些符號和書上原題有可能不同，做作業(yè)請按原題?。┨崾荆侯}目中的左和右的對應性不是很明確，自己選擇一種對應關系，給出結論即可；若差分方程和初始條

17、件：結論為：若差分方程和初始條件：結論為： 下面以一種為例來推導：差分方程和初始條件：使用Taylor展開，有： 方程左邊：方程右邊：可見：因此：，則定義： 和 有極限微分方程： P. 14810 試作一形式為的變量代換，把微分方程：,    均為常數轉化成標準形式：提示：參考答案：（參考答案中有些符號和書上原題有可能不同，做作業(yè)請按原題?。┳兞看鷵Q：則有：代入，有：整理得：與標準形式比較，得：由上式，第二個式子，有：代入，有：即：解得：因此，取函數：作變量代換，有標準形式：  P. 170(9)(a) 試證：(b

18、) 按照普朗克定律，溫度時的輻射密度為：試證：溫度時，在空腔內的總輻射密度為：參考答案：（參考答案中有些符號和書上原題有可能不同，做作業(yè)請按原題?。?a) 由Taylor展開有： 或者  因此：那么：其中： (Integral by parts, 要求寫出詳細推導過程) 考慮函數的Fourier展開：式中：即：由Parseval定理: 因此：則有：(P.168Eqn.45/習題P.169Ex.8c得證)因為：所以：( P.169Eqn.47得證) 因此： (b) 空腔內的總輻射密度：令： 則有： (Stefans law) Ex12非齊次邊界問

19、題：(a) 齊次邊界問題：試證：和正交。(b) 假定討論：當有什么性質時，非齊次邊界問題存在什么樣的解？(c) 問(b)的結論和(a)的結論是否相容。參考答案：（參考答案中有些符號和書上原題不同，做作業(yè)請按原題完成?。?a)要證明在區(qū)間上的正交性，就是要證明：  寫法一：分部積分并利用邊界條件可以證明(自己補充詳細推導過程)： 寫法二：（這一種寫法使用了分部積分沒有？）因為： 和 所以：則有： (b) 假設則有：因此：解的性質討論：(1)    若（對于任意的自然數滿足），則，即方程有唯一解；(2)   

20、 若（存在自然數滿足而），則無解，即方程無解；(3)    若（存在自然數滿足且），則有任意解，即方程有任意解。 (c) 相容性討論：假設若顯然有只需要討論不恒等于零的情況，即，此時必為整數以滿足邊界條件，記，根據(b)中根的性質(2-3)的討論，方程有解必有，則：因此，兩個結論一樣，不矛盾，一致，吻合，無差別，相容。  P1826熱傳導方程：解為：幅度：改寫為：注：這里使用的“幅度”在英文原版書中是”amplitude”，查金山詞霸：【物理學】The maximum absolute value of a periodically

21、varying quantity.振幅周期性變量的最大絕對值【數學】The maximum absolute value of a periodic curve measured along its vertical axis.振幅沿垂直軸擺動的周期性曲線的最大絕對值因此這里取。如果有同學取，這是中文版題目本身不是很明確(可能理解成“range”)的緣故，所以這里都不判錯，況且這兩種理解對本題主要關心的量沒有影響。中文版有些翻譯不是很恰當，但有些是不影響我們掌握應用數學方法的，所以希望大家不要因為這些問題分散注意力。記：（用最小二乘法（Least Squares Fitting）求解。為什么？

22、）（要求寫出詳細過程!）寫法一：最小二乘法則有矛盾方程組：解矛盾方程，兩邊同時左乘于，有： 張韻華, 等. 數值計算方法和算法. 科學出版社 2000. (P.59)則：因此： 或者 注：計算過程中取幾位有效數字？一般原則是比最后結果至少多一位有效數字。認為不要影響。最后結果取幾位有效數字？這取決于測量數據的精度，在一般實驗課程中大家都應該掌握了。這里只要不是很夸張(比如位數取很多位)，我們將不予評價。沒有掌握規(guī)則的同學，自己找本實驗技能的書復習一下，那會對你以后書寫研究論文有幫助的。寫法二：最小二乘法定義誤差：求a和b使誤差最小，則有極值條件： 即 結果同上。&

23、#160;P. 195(1) 提示：(a)      從(14)式證明(15)式：已知：交換積分順序：變量代換：變量代換：因為，所以：證畢。(b)     特殊情況下：代入(15)式：變量代換：所以：(c)      應用習題P102.7的結果：（注意補充推導過程）即：（思考為什么需要這么處理）             P. 207(5)

24、 這里我們以更一般的形式為例，部分符號有意更改，做作業(yè)請按原題完成：定義函數：            共軛函數(The complex conjugate)：            自相關函數(The autocorrelation function)定義為：          

25、  代入得：            交換積分和求和的順序：            積分得：            利用Euler公式(The Euler formula)得：       &

26、#160;    因為：            式中，是the Kronecker delta.所以：              P. 221(2) (部分符號和書上原題可能不同！請自行補充詳細的推導過程！)擴散方程：式中，為溫度，定常問題指的是不隨時間發(fā)展而變化的問題，即與時間無關的問題。定常問題： 熱導率為常數，定常問題：核

27、對自洽性：因為：所以：還有：解的誤差和相對誤差均和同量級。近似解精確到的量級。在零階近似下，近似解和精確解一致。 P. 233(7b) 定理的應用在粘性流體中，一個受重力而下落的小球，可以觀察到它下落的速度（在一段時間后）為一常數。令, , , 和分別表示球的半徑和密度，液體的密度和粘性系數以及重力加速度。(b) 因為這里的運動不是加速的，我們不需要運用加速度正比于重力的關系，而可以把力當作獨立的基本單位去處理，試證明。提示：參量量綱關聯(lián)所有參量的關系式，形式上記作：定義參量組合成的無量綱參數：相應量綱：即：因此：-注意：這個式子并不是關聯(lián)測量量的關系式，只是定義的無量綱參數的可能形

28、式。如“取”這種說法是不嚴格的，因為實際上的并不一定只是這樣的冪指數的簡單形式。-六個參量四個獨立的基本單位，故有兩個無量綱參數。不妨?。?，我們有一個無量綱參數：再者取：，我們有另一個無量綱參數：由定理我們有：，即：也可寫成： 我們也可以?。海覀冇幸粋€無量綱參數：再者還?。?，我們有另一個無量綱參數：由定理我們有：，即：也可寫成： 我們還可以有很多很多的取法。P236Ex12 Buckingham pi theorem （詳見網上答案）一個簡單例子 略P255Ex8b拋射問題：考慮到空氣的阻力，但仍不考慮重力的變化。此時定解方程為：(b) 引進變量，證明問題變成了其中只有參數的問題。試對作出物理解釋。提示：（部分符號