結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 矩陣矩陣(j zhn)位移法位移法第一頁(yè)，共192頁(yè)。結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域而產(chǎn)生(chnshng)的一種方法。第1頁(yè)/共192頁(yè)第二頁(yè)，共192頁(yè)。結(jié)構(gòu)力學(xué)傳統(tǒng)方法與結(jié)構(gòu)矩陣(j zhn)分析方法，二者同源而有別：在原理上同源，在作法上有別。簡(jiǎn)單地說(shuō)，前者在“手算”的年代形成，后者則著眼于“電算”，計(jì)算手段的不同，引起計(jì)算方法的差異。 第2頁(yè)/共192頁(yè)第三頁(yè)，共192頁(yè)。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對(duì)應(yīng)，在結(jié)構(gòu)矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程程序化的優(yōu)點(diǎn)(yudin)而廣為流傳，本章只對(duì)矩陣

2、位移法進(jìn)行討論。 第3頁(yè)/共192頁(yè)第四頁(yè)，共192頁(yè)。矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結(jié)構(gòu)矩陣分析有時(shí)(yush)也稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術(shù)語(yǔ)和提法。第4頁(yè)/共192頁(yè)第五頁(yè)，共192頁(yè)。先把整體拆開(kāi)，分解成若干個(gè)單元（在桿件結(jié)構(gòu)中，一般把每個(gè)桿件取作一個(gè)單元），這個(gè)過(guò)程稱作(chn zu)離散化。然后再將這些單元按一定條件集合成整體。在一分一合，先拆后搭的過(guò)程中，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單單元的分析和集合問(wèn)題。 有限元法的要點(diǎn)(yodin) ：第5頁(yè)/共192頁(yè)第六頁(yè)，共192頁(yè)。有限元法包含兩個(gè)(lin )基本環(huán)節(jié)： 1.單元(dnyun)分析 2.整

3、體(zhngt)分析 第6頁(yè)/共192頁(yè)第七頁(yè)，共192頁(yè)。單元(dnyun)分析的任務(wù): 建立單元(dnyun)剛度方程，形成單元(dnyun)剛度矩陣 第7頁(yè)/共192頁(yè)第八頁(yè)，共192頁(yè)。整體分析的主要(zhyo)任務(wù) :將單元集合成整體，由單元?jiǎng)偠染仃嚢凑談偠燃梢?guī)則形成整體剛度矩陣，建立整體結(jié)構(gòu)的位移法基本方程(fngchng)，從而求出解答。第8頁(yè)/共192頁(yè)第九頁(yè)，共192頁(yè)。本節(jié)和下一節(jié)對(duì)平面結(jié)構(gòu)的桿件單元進(jìn)行單元分析，得出單元?jiǎng)偠?n d)方程和單元?jiǎng)偠?n d)矩陣。 第9頁(yè)/共192頁(yè)第十頁(yè)，共192頁(yè)。位移法中給出的轉(zhuǎn)角位移方程實(shí)際上就是梁?jiǎn)卧膭偠?n d)方程。梁?jiǎn)?/p>

4、元是桿件單元的特例。 本節(jié)推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠?fngchng)時(shí)有幾點(diǎn)新的考慮：重新規(guī)定正負(fù)號(hào)規(guī)則，討論桿件單元的一般情況，采用矩陣表示形式。第10頁(yè)/共192頁(yè)第十一頁(yè)，共192頁(yè)。1.一般(ybn)單元 圖11-1所示為平面剛架中的一個(gè)(y )等截面直桿單元 e圖111 第11頁(yè)/共192頁(yè)第十二頁(yè)，共192頁(yè)。設(shè)桿件除彎曲變形外，還有軸向變形。左右兩端各有三個(gè)位移分量（兩個(gè)移動(dòng)、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)），桿件共有六 個(gè) 桿 端 位 移 分 量 ， 這 是 平 面(pngmin)結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。由端點(diǎn)1到端點(diǎn)2的方向規(guī)定為桿軸的正方向，在圖中用箭頭表明。 第12頁(yè)/共192頁(yè)第十三頁(yè)，共192頁(yè)。

5、圖中采用(ciyng)坐標(biāo)系 yxx，軸與桿軸重合(chngh)。 這個(gè)坐標(biāo)系稱為單元(dnyun)坐標(biāo)系或局部坐標(biāo)系。 xy上面都劃上一橫，作為局部坐標(biāo)系的標(biāo)志。第13頁(yè)/共192頁(yè)第十四頁(yè)，共192頁(yè)。在局部坐標(biāo)系中，一般單元(dnyun)的每端各有三個(gè)位移分量 uv和對(duì)應(yīng)(duyng)的三個(gè)力分量 xFyFM第14頁(yè)/共192頁(yè)第十五頁(yè)，共192頁(yè)。圖11-2中所示的位移、力分量(fn ling)方向?yàn)檎较颉?圖112 第15頁(yè)/共192頁(yè)第十六頁(yè)，共192頁(yè)。單元的六個(gè)桿端位移(wiy)分量和六個(gè)桿端力分量按一定順序排列，形成單元桿端位移(wiy)向量 e和單元(dnyun)桿端力向

6、量 eF如下(rxi)： TeyxyxTeeTeTeeMFFMFFFFFFFFFvuvu222111)6()5()4()3()2()1(222111)6()5()4()3()2()1(（111） 第16頁(yè)/共192頁(yè)第十七頁(yè)，共192頁(yè)。向量中的六個(gè)元素(yun s)的序碼記為（1），（2），（6）。由于它們是在每個(gè)單元中各子編碼的（不是在剛架所有單元中統(tǒng)一編碼的），因此稱為局部碼桿端位移分量（或桿端力分量）的局部碼。數(shù)碼（1），（2），都加上括號(hào)，作為局部碼的標(biāo)志。第17頁(yè)/共192頁(yè)第十八頁(yè)，共192頁(yè)。單元?jiǎng)偠确匠?fngchng)是指由單元桿端位移求單元桿端力時(shí)所建立的方程(fngch

7、ng)記為 F第18頁(yè)/共192頁(yè)第十九頁(yè)，共192頁(yè)。為了建立單元?jiǎng)偠确匠?，我們按照位移法基本體系的作法，在桿件兩端加上人為(rnwi)控制的附加約束，使基本體系在兩端發(fā)生任意指定的位移 e如下(rxi)圖11-3所示。然后根據(jù) e推算(tu sun)相應(yīng)的桿端力 eF第19頁(yè)/共192頁(yè)第二十頁(yè)，共192頁(yè)。圖11-3忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，分別(fnbi)推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程。 第20頁(yè)/共192頁(yè)第二十一頁(yè)，共192頁(yè)。首先(shuxin)，由桿端軸向位移 1u2u可推算出相應(yīng)(xingyng)的桿端軸向力 1xF2xF)()(212211eeexee

8、exuulEAFuulEAF（112） 第21頁(yè)/共192頁(yè)第二十二頁(yè)，共192頁(yè)。其次，由桿端橫向(hn xin)位移 ev1ev2和轉(zhuǎn)角(zhunjio) e1e2可推算出相應(yīng)(xingyng)的桿端橫向力 1yF2yF和桿端力矩 1M2M第22頁(yè)/共192頁(yè)第二十三頁(yè)，共192頁(yè)。根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程(fngchng)（85）和（86），并改用本章的記號(hào)和正負(fù)號(hào)，即得liiiMliiiMBABABAAB642624（85） lililiFFBAQBAQAB1266（86） )(12)(6)(12)(6)(642)(62421321222132121212212212211eeeeeyeeee

9、eyeeeeeeeeeevvlEIlEIFvvlEIlEIFvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM（113） 第23頁(yè)/共192頁(yè)第二十四頁(yè)，共192頁(yè)。上面(shng min)六個(gè)剛度方程（112）和（113）實(shí)際上在位移法中已經(jīng)推導(dǎo)過(guò)。現(xiàn)在將它們合在一起，寫成矩陣形式如下： eeeyxyxvuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFF222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000（114） 第24頁(yè)/共192頁(yè)第二

10、十五頁(yè)，共192頁(yè)。上式可記為：eeekF（115） ) 1() 1() 1() 1() 1() 1()6() 5()4() 3()2() 1 (222111vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke460260612061200000260460612061200000)6()5()4()3()2() 1 (222323222323（116） 其中(qzhng) 第25頁(yè)/共192頁(yè)第二十六頁(yè)，共192頁(yè)。式（115）即為所求的 F稱為在局部(jb)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠獭?矩陣(j zhn) ek稱為

11、局部(jb)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。它?方陣。 66第26頁(yè)/共192頁(yè)第二十七頁(yè)，共192頁(yè)。2單元?jiǎng)偠?n d)矩陣的性質(zhì) 1）單元(dnyun)剛度系數(shù)的意義 ek 中的每個(gè)元素稱為(chn wi)單元?jiǎng)偠认禂?shù)，代表由于單位桿端位移所引起的桿端力。例如，第（6）行第（3）列元素 )3)(6(ek（即元素 ） lEI2代表當(dāng)?shù)冢?）個(gè)桿端位移11時(shí)引起的第（6）個(gè)桿端力分量 2M第27頁(yè)/共192頁(yè)第二十八頁(yè)，共192頁(yè)。一般來(lái)說(shuō)，第（i）行第（j）列元素 代表當(dāng)?shù)冢╦）個(gè)桿端位移分量(fn ling) 等于1 （其他位移分量(fn ling)為零）時(shí)所引起的第（i）個(gè)桿端力分量(fn

12、ling) 的值。ejik)()( j)(iF第28頁(yè)/共192頁(yè)第二十九頁(yè)，共192頁(yè)。eK 中某一列的六個(gè)元素分別表示當(dāng)某個(gè)桿端位移分量等于1時(shí)所引起的六個(gè)桿端力分量。例如，第1列對(duì)應(yīng)于單位位移 所引起的桿端力。為了(wi le)幫助理解，在式（116）中，在 每一列的上方都標(biāo)明了對(duì)應(yīng)的單位位移分量。 11ueK第29頁(yè)/共192頁(yè)第三十頁(yè)，共192頁(yè)。2） 是對(duì)稱(duchn)矩陣 eK 的對(duì)稱性是指其元素有如下(rxi)關(guān)系： eKeijjiekk)()(（117） 這實(shí)際上是根據(jù)反力互等定理得出(d ch)的結(jié)論。 第30頁(yè)/共192頁(yè)第三十一頁(yè)，共192頁(yè)。3） 一般單元(dnyu

13、n)的是奇異矩陣 eK的奇異(qy)性是指其行列式等于零，即eK0eK（118） 直接計(jì)算式（116）的矩陣行列式，便可驗(yàn)證上述(shngsh)結(jié)論。 第31頁(yè)/共192頁(yè)第三十二頁(yè)，共192頁(yè)。由此可知， 不存在逆矩陣。也就是說(shuō)，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠?fngchng)（115），可以由桿端位移 推算出桿端力 且 的解是唯一解；但不能由桿端力 反推出桿端位移 ， 可能無(wú)解，如有解，則為非唯一解。 eKeeFeFeFee第32頁(yè)/共192頁(yè)第三十三頁(yè)，共192頁(yè)。為了避免(bmin)混淆，我們把正反兩個(gè)問(wèn)題再?gòu)臄?shù)學(xué)提法、力法模型、解的性質(zhì)等方面作一對(duì)比。見(jiàn)下表：第33頁(yè)/共192頁(yè)第三十四頁(yè)，共19

14、2頁(yè)。 正問(wèn)題 反問(wèn)題 數(shù)學(xué)提法為任意指定值， 為待求量。為任意指定值， 為待求量。力學(xué)模型把單元按“兩端有六個(gè)人工控制的附加約束的桿件”（位移法基本體系）來(lái)分析 由控制附加約束而加以指定。把單元按“兩端自由的桿件”來(lái)分析 直接加在自由端作為指定的桿端力。解的性質(zhì) 為任意值時(shí)， 都有解，且為唯一解。 總是一個(gè)平衡力系，不可能是不平衡力系。 為不平衡力系時(shí)， 沒(méi)有解。 為平衡力系時(shí)， 有解，但為非唯一解（因?yàn)樽杂蓷U件除本身變形外還可有任意剛體位移）。 不存在。)(F)(F eeFeeFeeFeeFeFeFeeFe 1ek第34頁(yè)/共192頁(yè)第三十五頁(yè)，共192頁(yè)?？傊磧蓚€(gè)問(wèn)題的力學(xué)模型是截

15、然不同的，不能把單元籠統(tǒng)地統(tǒng)稱為“自由單元”。逆矩陣 的性質(zhì)是跟據(jù)反問(wèn)題確定(qudng)的，這里的反問(wèn)題是按“自由單元”分析，故得出 不存在的結(jié)論。 1ek 1ek第35頁(yè)/共192頁(yè)第三十六頁(yè)，共192頁(yè)。3.特殊(tsh)單元 式（114）是一般單元的剛度方程，其中六個(gè)桿端位移可指定為任意值。在結(jié)構(gòu)中還有一些特殊單元，單元的某個(gè)或某些桿端位移的值已知為零，而不能任意指定。各種特殊單元的剛度方程無(wú)需另行推導(dǎo)，只需對(duì)一般的單元?jiǎng)偠确匠蹋?14）作一些特殊處理(chl)便可自動(dòng)得到。第36頁(yè)/共192頁(yè)第三十七頁(yè)，共192頁(yè)。舉例來(lái)說(shuō)，計(jì)算連續(xù)梁時(shí)，我們通常忽略軸向變形。如取每跨梁作為單元（圖

16、114），則只有兩個(gè)桿端位移分量(fn ling) 可指定為任意值，而其余四個(gè)分量(fn ling)均已知為零： 圖114 21,返回(fnhu)第37頁(yè)/共192頁(yè)第三十八頁(yè)，共192頁(yè)。02211vuvu （a） 將式（a）代入式（114），即自動(dòng)(zdng)得出此特殊單元的剛度方程如下：eelEIlEIlEIlEIMM21214224（119） 第38頁(yè)/共192頁(yè)第三十九頁(yè)，共192頁(yè)。此時(shí)單元?jiǎng)偠?n d)矩陣為 lEIlEIlEIlEIKe4224（1110） 返回(fnhu)第39頁(yè)/共192頁(yè)第四十頁(yè)，共192頁(yè)。在結(jié)構(gòu)矩陣分析中，我們著眼于計(jì)算過(guò)程的程序化、標(biāo)準(zhǔn)化和自動(dòng)化。因

17、此只采用一種標(biāo)準(zhǔn)化形式一般單元(dnyun)的剛度矩陣（116），關(guān)于單元(dnyun)剛度矩陣的各種特殊形式將由計(jì)算機(jī)程序去自動(dòng)形成。 第40頁(yè)/共192頁(yè)第四十一頁(yè)，共192頁(yè)。某些特殊(tsh)單元的剛度矩陣是可逆的。例如式（1110）中的 ，其逆矩陣存在。 eK對(duì)于圖114所示特殊單元來(lái)說(shuō)，正問(wèn)題的力學(xué)模型如圖115a所示，每端有兩個(gè)支桿和一個(gè)控制轉(zhuǎn)角的附加(fji)約束， 12可指定(zhdng)為任意值。 和 第41頁(yè)/共192頁(yè)第四十二頁(yè)，共192頁(yè)。圖115 返回(fnhu)返回(fnhu)第42頁(yè)/共192頁(yè)第四十三頁(yè)，共192頁(yè)。反問(wèn)題(wnt)的力學(xué)模型如圖115b所示，

18、每端有兩個(gè)支桿，桿端力矩 為任意值。 21,MM由于反問(wèn)題的力學(xué)模型是一個(gè)幾何不變體系，因此，當(dāng) 為任意值時(shí)，桿端轉(zhuǎn)角 有解，且為唯一解。由此得出(d ch) 存在的結(jié)論。21,MM21, 1ek第43頁(yè)/共192頁(yè)第四十四頁(yè)，共192頁(yè)。選用局部(jb)坐標(biāo)系的目的是希望導(dǎo)出的單元?jiǎng)偠染仃嚲哂凶詈?jiǎn)單的形式。為了(wi le)便于進(jìn)行整體分析，必須選用一個(gè)統(tǒng)一的公共坐標(biāo)系，稱為整體坐標(biāo)系。為了(wi le)區(qū)別，用 表示局部坐標(biāo)，用 表示整體坐標(biāo)。 yx,yx,第44頁(yè)/共192頁(yè)第四十五頁(yè)，共192頁(yè)。單元坐標(biāo)(zubio)轉(zhuǎn)換矩陣 （1）圖116a所示為一單元e，局部坐標(biāo)系中的桿端力分量用

19、 表示(biosh)。整體坐標(biāo)系中則用 表示(biosh)，如圖116b所示。 eeyexMFF,eeyexMFF,第45頁(yè)/共192頁(yè)第四十六頁(yè)，共192頁(yè)。圖116 返回(fnhu)第46頁(yè)/共192頁(yè)第四十七頁(yè)，共192頁(yè)。顯然(xinrn)，二者有下列關(guān)系： eeeyexeyeyexexeeeyexeyeyexexMMFFFFFFMMFFFFFF2222222211111111cossinsincoscossinsincos（1111） 第47頁(yè)/共192頁(yè)第四十八頁(yè)，共192頁(yè)。將式（1011）寫成矩陣(j zhn)形式：2221212221211000000cossin0000si

20、ncos0000001000000cossin0000sincosMFFMFFMFFMFFyxxxeyxxx（1112） 或簡(jiǎn)寫(jinxi)成eeTFF （1113）返回(fnhu)第48頁(yè)/共192頁(yè)第四十九頁(yè)，共192頁(yè)。式中T 稱為單元(dnyun)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT（1114） 式（1113）是兩種坐標(biāo)系中單元(dnyun)桿端力的轉(zhuǎn)換式。 第49頁(yè)/共192頁(yè)第五十頁(yè)，共192頁(yè)。T1T T （1115） 或 T TTT T TI （1116） 式（1113）的逆轉(zhuǎn)換(zhunhun

21、)式為eTeFTF（1117） 設(shè)局部坐標(biāo)系中單元桿端位移(wiy)列陣為 ，整體坐標(biāo)系中單元桿端位移(wiy)列陣為 ，則ee返回(fnhu)第50頁(yè)/共192頁(yè)第五十一頁(yè)，共192頁(yè)。eeTeTeT （1118） （1119） 整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠?n d)矩陣 （2）單元桿端力與桿端位移(wiy)在整體坐標(biāo)系中的關(guān)系式可寫為 eeekF（1120） 返回(fnhu)第51頁(yè)/共192頁(yè)第五十二頁(yè)，共192頁(yè)。 單元e在局部坐標(biāo)系中的剛度(n d)方程為eeekF （a） 將式（1113）和（1118）代入式（a），得到(d do)eeeTkTF 等式(dngsh)兩邊各前乘 ，并引入式

22、（1116），得 TTeeTeTkTF（b） 第52頁(yè)/共192頁(yè)第五十三頁(yè)，共192頁(yè)。表較式（b）與（1120），可知(k zh)TkTkeTe （1121） 整體坐標(biāo)系中的單元(dnyun)剛度矩陣 與 同階，具有類似的性質(zhì)：ekek元素 表示在整體坐標(biāo)系中第（j）個(gè)桿端位移分量(fn ling)等于1時(shí)引起的第(i)個(gè)桿端力分量(fn ling)。 )(jik（1）是對(duì)稱矩陣。 ek（2）一般單元的是奇異矩陣。 ek（3）第53頁(yè)/共192頁(yè)第五十四頁(yè)，共192頁(yè)。例 111 試求圖117所示剛架中各單元在整體(zhngt)坐標(biāo)系中的剛度矩陣 。設(shè)各桿的桿長(zhǎng)和截面尺寸相同。 ek圖11

23、7 第54頁(yè)/共192頁(yè)第五十五頁(yè)，共192頁(yè)。解 :局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠?n d)矩陣ek由式（116）得kk410=mKNKNmKNKNKNmKNKNmKNmKNmKNmKNKNmKNKNKNmKNmKNmKNmKNmKN1003005030030/12030/12000/30000/3005030010030030/120/30/12000/30000/300（1） 第55頁(yè)/共192頁(yè)第五十六頁(yè)，共192頁(yè)。整體坐標(biāo)系中的單元(dnyun)剛度矩陣ek（2） 單元(dnyun)： IT ,00 k=k 單元(dnyun)： 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 ,9001000000010000100

24、00000100000001000010T 第56頁(yè)/共192頁(yè)第五十七頁(yè)，共192頁(yè)。k =kTT T 410=mKNKNmKNKNmKNmKNKNmKNKNmKNmKNKNmKNKNmKNmKNKNmKNKNmKN100030500300/30000/3000300/12300/12500301000300/30000/3000300/12300/12第57頁(yè)/共192頁(yè)第五十八頁(yè)，共192頁(yè)。11-4連續(xù)(linx)梁的整體剛度矩陣 前兩節(jié)進(jìn)行了單元分析(fnx)，建立了單元?jiǎng)偠确匠蹋茖?dǎo)了單元?jiǎng)偠染仃?。從本?jié)起轉(zhuǎn)到整體分析(fnx)，建立整體剛度方程，導(dǎo)出整體剛度矩陣。本節(jié)以連續(xù)梁為例

25、，下節(jié)討論剛架的一般情況，并考慮桿件軸向變形的影響。 第58頁(yè)/共192頁(yè)第五十九頁(yè)，共192頁(yè)。整體剛度(n d)方程是按位移法建立的,具體做法有兩種： 1.傳統(tǒng)(chuntng)位移法 2.單元集成法（也稱為(chn wi)剛度集成法或直接剛度法） 單元集成法的優(yōu)點(diǎn)是便于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的程序化。 第59頁(yè)/共192頁(yè)第六十頁(yè)，共192頁(yè)。對(duì)于圖11-8a所示的連續(xù)梁，位移法基本(jbn)體系如圖118b所示。 圖118 第60頁(yè)/共192頁(yè)第六十一頁(yè)，共192頁(yè)。位 移 法 的 基 本 未 知 量 為 節(jié) 點(diǎn) 轉(zhuǎn) 角(zhunjio)他們可指定為任意值，在基本體系中用控制附加約束加以指定。他

26、們組成整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量 ：,321（ ）T 123與 對(duì)應(yīng)的力是附加約束的力偶 它們組成整體(zhngt)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量F ,321321,FFF第61頁(yè)/共192頁(yè)第六十二頁(yè)，共192頁(yè)。在傳統(tǒng)作法中，分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)(ji din)轉(zhuǎn)角 獨(dú)自引起的節(jié)點(diǎn)力偶，如圖11-9a bc所示。,321第62頁(yè)/共192頁(yè)第六十三頁(yè)，共192頁(yè)。圖119 第63頁(yè)/共192頁(yè)第六十四頁(yè)，共192頁(yè)。疊加得結(jié)點(diǎn)力偶(l u) ；如下321,FFF321FFF22221114202442024iiiiiiii321（1122）記為： KF222211114202442024iiiiiiiiK（11

27、24）（1123）式（11-22）或(11-23)稱為整體剛度(n d)方程，K稱為整體剛度(n d)矩陣。第64頁(yè)/共192頁(yè)第六十五頁(yè)，共192頁(yè)。1.單元集成(j chn)法的力學(xué)模型和基本概念 傳統(tǒng)位移法求結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)F時(shí)，分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)（采用(ciyng)圖11-9中的力學(xué)模型），然后進(jìn)行疊加。 單元集成法求F時(shí)，分別考慮每個(gè)單元對(duì)F的單獨(dú)(dnd)貢獻(xiàn)，然后進(jìn)行疊加其特點(diǎn)就是“由單元直接集成”。 第65頁(yè)/共192頁(yè)第六十六頁(yè)，共192頁(yè)。首先，考慮單元的貢獻(xiàn)，力學(xué)模型見(jiàn)圖11-10。整個(gè)結(jié)構(gòu)(jigu)的結(jié)點(diǎn)力是由單元單獨(dú)產(chǎn)生的，記為 F=(F1 F2 F3)T

28、圖1110第66頁(yè)/共192頁(yè)第六十七頁(yè)，共192頁(yè)。F1表示單元(dnyun)對(duì)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)。F1和F2可由單元(dnyun)的單元(dnyun)剛度矩陣k算出。已知F30 （a）k 11114224iiii（1025）得： )1(2)1(1FF2111114224iiii（b）第67頁(yè)/共192頁(yè)第六十八頁(yè)，共192頁(yè)。由（a）和（b）得：)1(2)1(1FF211111042024iiii（1026）記為F3K （1027）其 中(qzhng) K 0000420241111iiii（1028）K表示單元對(duì)剛度矩陣(j zhn)提供的貢獻(xiàn)，稱為單元的貢獻(xiàn)矩陣(j zhn)。第68頁(yè)

29、/共192頁(yè)第六十九頁(yè)，共192頁(yè)。其次(qc)，考慮單元的貢獻(xiàn)。力學(xué)模型見(jiàn)圖11-11所示。 圖1111已知 k 2212214224iiii故得 記為F=K 3212222)2(3)2(2)2(1420240000iiiiFFF（1129）（1130）（1131）第69頁(yè)/共192頁(yè)第七十頁(yè)，共192頁(yè)。其中(qzhng) K 2222420240000iiii（1132）K稱為單元(dnyun)的貢獻(xiàn)矩陣。 將式（11-27）和式（11-31）疊加，得： F=F+F=(k+k) （1133）由此得出(d ch)整體剛度矩陣K為K=K+K= eeK（1134）第70頁(yè)/共192頁(yè)第七十一頁(yè)

30、，共192頁(yè)。單元集成法求整體剛度矩陣(j zhn)的步驟可表示為 KKkee其中： 為單元?jiǎng)偠?n d)矩陣， 單元貢獻(xiàn)矩陣，K為整體剛度(n d)矩陣ekeK第71頁(yè)/共192頁(yè)第七十二頁(yè)，共192頁(yè)。2.按照(nzho)單元定位向量由 求 ekeK注意(zh y)以下3點(diǎn)： 1)結(jié)點(diǎn)位移（或結(jié)點(diǎn)力）有兩種編碼：在整體(zhngt)分析中，結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一進(jìn)行編碼，稱為總碼。在單元分析中，每個(gè)單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移各自編碼為（1）和（2），稱為局部編碼。（見(jiàn)下圖11-12） 第72頁(yè)/共192頁(yè)第七十三頁(yè)，共192頁(yè)。（b）（a）圖1112第73頁(yè)/共192頁(yè)第七十四頁(yè)，共192頁(yè)。2)注

31、意每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移分量?jī)煞N編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(gun x)，具體見(jiàn)下表： 單元對(duì)應(yīng)關(guān)系單元定位向量局部碼總碼（1）1（2）2 （1）2（2）3 e21)1(32)2(第74頁(yè)/共192頁(yè)第七十五頁(yè)，共192頁(yè)。3)注意單元(dnyun)剛度矩陣 和單元(dnyun)貢獻(xiàn)矩陣 中元素的排列方式,見(jiàn)下表 ekeKeKijijijeejijiKk)( 在單元?jiǎng)偠?矩陣 中在單元貢獻(xiàn)矩陣 中 換碼元素的原行碼(i)原列碼（j）換成新行碼新列碼（i） （j） 重排座原排在(i)行（j）的元素改在 行 列ek第75頁(yè)/共192頁(yè)第七十六頁(yè)，共192頁(yè)?？傊?，由 求 的問(wèn)題(wnt)實(shí)質(zhì)上就是 中的元素在

32、 中如何定位的問(wèn)題(wnt)。定位規(guī)則是： ekeKekeKeejIjikk)(（1136）參見(jiàn)(cnjin)下表: 第76頁(yè)/共192頁(yè)第七十七頁(yè)，共192頁(yè)。單元單元?jiǎng)偠染仃噯卧ㄎ幌蛄繂卧暙I(xiàn)矩陣（1）（2）（1）4i1 2i1（2）2i1 4i1 ( 1 ) (2) 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1 0 3 0 0 0（1）（2）（1）4i2 2i2（2）2i2 4i2 ( 1 ) (2) 1 2 3（1）1 0 0 0（ 2 ） 2 0 4i2 2i2 3 0 2i2 4i2ekeeK2132第77頁(yè)/共192頁(yè)第七十八頁(yè)，共192頁(yè)。3.單元(dnyu

33、n)集成法的實(shí)施方案 單元集成(j chn)法形成K的過(guò)程： 1)先將K置零，這時(shí)K=0 2)將k的元素在K中按定位(dngwi) 并進(jìn)行累加，這時(shí)，K=K 3)將k的元素在K中按定位 并進(jìn)行累加，這時(shí)，K=K+K按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后得到eeKK第78頁(yè)/共192頁(yè)第七十九頁(yè)，共192頁(yè)。現(xiàn)以圖11-8a所示連續(xù)(linx)梁為例，說(shuō)明上過(guò)程： 將k集成(j chn)后，得到： 0000420241111iiii在此基礎(chǔ)上將k集成得最終(zu zhn)結(jié)果： Kiiiiiiii222211114202442024第79頁(yè)/共192頁(yè)第八十頁(yè)，共192頁(yè)。例11-2 試求圖11-13

34、a所示連續(xù)梁得整體(zhngt)剛度矩陣K 解 （1）結(jié)點(diǎn)位移(wiy)分量總碼（見(jiàn)圖11-13a）圖1113第80頁(yè)/共192頁(yè)第八十一頁(yè)，共192頁(yè)。（2）各單元得定位(dngwi)向量e 21 3203第81頁(yè)/共192頁(yè)第八十二頁(yè)，共192頁(yè)。（3）單元集成(j chn)過(guò)程 ek)2() 1 ()2() 1 (單元單元?jiǎng)偠染仃嚢磫卧ㄎ幌蛄繐Q碼 集成過(guò)程中得階段結(jié)果 （1）（2）（1）4i1 2i1（2）2i1 4i1（1）1（2）2 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1 0 3 0 0 0 （1）（2）（1）4i2 2i2（2）2i2 4i2(1)2(2)

35、3 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1+(4i2) 2i2 3 0 2i2 4i2 （1）（2）（1）4i3 2i3 （ 2）2i3 4i3(1)3(2)0(2)0 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1+(4i2) 2i2 3 0 2 i2 4i2+4i ) 1 (第82頁(yè)/共192頁(yè)第八十三頁(yè)，共192頁(yè)。4.整體(zhngt)剛度矩陣的性質(zhì) （1）整體剛度(n d)系數(shù)的意義 K中的元素 稱為整體剛度系數(shù)。它表示當(dāng)?shù)趈個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量(fn ling) （其他結(jié)點(diǎn)位移分量(fn ling)為零）時(shí)所產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力ijK1jiF(2)K

36、是對(duì)稱矩陣 (3)按本節(jié)方法計(jì)算連續(xù)梁時(shí)，K時(shí)可逆矩陣。第83頁(yè)/共192頁(yè)第八十四頁(yè)，共192頁(yè)。圖11-8a所示為下圖11-14為例的反問(wèn)題(wnt)力學(xué)模型。當(dāng)F為指定值時(shí)，均可得 的唯一解，故 是存在的。 1K圖1114（4）K是稀疏(xsh)矩陣和帶狀矩陣。 第84頁(yè)/共192頁(yè)第八十五頁(yè)，共192頁(yè)。對(duì)下圖11-15，可導(dǎo)出其整體剛度(n d)矩陣： 圖11151321nnFFFFF1321113322221111422)(4202)(42002)(42024nnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiii（1137）第85頁(yè)/共192頁(yè)第八十六頁(yè)，共192頁(yè)。11-5 剛架的整體

37、(zhngt)剛度矩陣 本 節(jié) 討 論 用 單 元 集 成 法 求 平 面(pngmin)剛架的整體剛度矩陣K。思路的要點(diǎn)：K由 直接集成；集成包括將 的元素在K中定位(dngwi)和累加兩個(gè)環(huán)節(jié)；定位(dngwi)是依據(jù)單元定位(dngwi)向量 進(jìn)行的。 ekeke第86頁(yè)/共192頁(yè)第八十七頁(yè)，共192頁(yè)。情況的復(fù)雜性表現(xiàn)在下列幾個(gè)(j )方面： 1）在一般情況下要考慮(kol)剛架中各桿的軸向變形，而忽略桿件軸向變形的情況則作為特例來(lái)處理；2）剛架中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移(wiy)分量要增加到三個(gè)：角位移(wiy)和兩個(gè)方向的線位移(wiy)； 3）剛架中各桿方向不盡相同，在整體分析中需采用整

38、體坐標(biāo)；4）剛架中除剛結(jié)點(diǎn)外，還要考慮鉸結(jié)點(diǎn)等其他情況。第87頁(yè)/共192頁(yè)第八十八頁(yè)，共192頁(yè)。1.結(jié)點(diǎn)(ji din)位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 圖11-16所示剛架整體結(jié)構(gòu)(jigu)的結(jié)點(diǎn)位移向量 ：（ ）T（ ）T1234AuAvAC相應(yīng)結(jié)點(diǎn)(ji din)力向量為F=(F1 F2 F3 F4) T 第88頁(yè)/共192頁(yè)第八十九頁(yè)，共192頁(yè)。圖1116第89頁(yè)/共192頁(yè)第九十頁(yè)，共192頁(yè)。2.單元(dnyun)定位向量 單元單元局部編碼總碼單元定位向量局部編碼總碼單元定位向量（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0 4003

39、21000321第90頁(yè)/共192頁(yè)第九十一頁(yè)，共192頁(yè)。3.單元(dnyun)集成過(guò)程 首先，考慮(kol)單元； k （1） （2） （3） （4） （5） （6）（1） 300kN/m 0 0 -300kN/m 0 0（2） 0 12kN/m 30kN 0 -12kN/m 30kN（3） 4 （4） -300kN/m 0 0 300kN/m 0 0（5） 0 -12kN/m -30kN 0 12kN/m -30kN（6） （1138）第91頁(yè)/共192頁(yè)第九十二頁(yè)，共192頁(yè)。K的階段(jidun)結(jié)果 (1) (2) (3) (6) (1)1 300kN/m 0 0 0(2)2 0

40、12kN/m 30kN 30kN 104（1139）第92頁(yè)/共192頁(yè)第九十三頁(yè)，共192頁(yè)。其次，考慮(kol)單元k= （1） （2） （3） （4） （5） （6）（1） 12kN/m 0 -30kN -12kN/m 0 -30kN（2） 0 300kN/m 0 0 -300kN/m 0 （3） 4 （4） -12kN/m 0 30kN 12kN/m 0 30kN（5） 0 -300kN/m 0 0 300kN/m 0 （6） （1140）第93頁(yè)/共192頁(yè)第九十四頁(yè)，共192頁(yè)。K= (1) (2) (3) 1 2 3 4(1)1 300+(12)kN/m 0+(0) 0+(-30

41、)kN 0 (2)2 0+(0) 12+(300)kN/m 30+(0)kN 30kN 104 （1141）第94頁(yè)/共192頁(yè)第九十五頁(yè)，共192頁(yè)。4鉸結(jié)點(diǎn)(ji din)的處理圖11-17所示為具有(jyu)鉸結(jié)點(diǎn)的剛架。 圖1117第95頁(yè)/共192頁(yè)第九十六頁(yè)，共192頁(yè)。1.考慮結(jié)點(diǎn)位移(wiy)分量的統(tǒng)一編碼（圖中已標(biāo)出）2.考慮單元定位向量各單元定位向量如下；分析(fnx)過(guò)程：（1 2 3 4 5 6 ）T （1 2 3 0 0 0 ）T （4 5 7 0 0 0 ）T 第96頁(yè)/共192頁(yè)第九十七頁(yè)，共192頁(yè)。第一階段結(jié)果(ji gu)，見(jiàn)式（1143）。 （1） （2）

42、 （3） （4） （5） （6） （1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 4 （5） 5410 (6) 6 7 30000-300000012300-123000301000-30500-30000300000 0-12-30012-300030500-30100000000001234567（1143） 第97頁(yè)/共192頁(yè)第九十八頁(yè)，共192頁(yè)。 （1） （2） （3）1234567（1） 1 （2） 24（3） 3300+（12）0+（0）0+（30）-3000000+（0）12+（300）30+（0）0-123000+（30）30+（0）100+（100）0-30500-30000

43、300000 0-12-30012-300030500-3010000000000567410（1144） 第98頁(yè)/共192頁(yè)第九十九頁(yè)，共192頁(yè)。 在式（1140）中已給出。將其中的元素按 在K中定位并與前階段(jidun)結(jié)果累加，即得K的第二階段(jidun)結(jié)果，見(jiàn)式（1144）。其次(qc)，考慮單元 ： k 最后(zuhu)，考慮單元： 與 相同。由 即得K最后結(jié)果，見(jiàn)式（1145）。 kk第99頁(yè)/共192頁(yè)第一百頁(yè)，共192頁(yè)。 （1） （2） （3）（1）（2）（3）123456712345673120-30-3000000312300-12300-30302000-30

44、500-30000300+（12）0+（0）00+（-30） 0-12-300+（0）12+（300）-300+（0）030500-3010000000+（30）0+（0）00+（100）410（1145） 第100頁(yè)/共192頁(yè)第一百零一頁(yè)，共192頁(yè)。以上式（1143）、（1144）、（1145）中各物理量是有單位的，這里只是表示單元(dnyun)集成的過(guò)程，故式中未標(biāo)單位。 第101頁(yè)/共192頁(yè)第一百零二頁(yè)，共192頁(yè)。 116 等 效 結(jié) 點(diǎn) 荷 載第102頁(yè)/共192頁(yè)第一百零三頁(yè)，共192頁(yè)。前兩節(jié)討論了結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣(j zhn)K，建立了整體剛度方程KF （1146） 整

45、體(zhngt)剛度方程（1146）是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的位移法基本體系建立的，它表示由結(jié)點(diǎn)位移 推算結(jié)點(diǎn)力（即在基本體系的附加約束中引起的約束力）F的關(guān)系式。它只反映結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及到原結(jié)構(gòu)上作用的實(shí)際荷載。它并不是用以分析原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。第103頁(yè)/共192頁(yè)第一百零四頁(yè)，共192頁(yè)。為了建立位移法基本(jbn)方程，我們回顧一下本書（）85中的推導(dǎo)方法，分別考慮位移法基本(jbn)體系的兩種狀態(tài)： (1)設(shè)荷載單獨(dú)作用（結(jié)點(diǎn)位移 設(shè)為零）此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)(jigu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力，記為 。 PF(2)設(shè)結(jié)點(diǎn)位移 單獨(dú)作用（荷載(hzi)設(shè)為零）此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力為

46、 。 KF 第104頁(yè)/共192頁(yè)第一百零五頁(yè)，共192頁(yè)。位移法基本(jbn)方程為 00PPFKFF （1147） 2.等效結(jié)點(diǎn)荷載(hzi)的概念 等效的原則是要求(yoqi)這兩種荷載在基本結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力。 第105頁(yè)/共192頁(yè)第一百零六頁(yè)，共192頁(yè)。如果原來(lái)(yunli)荷載在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力記為 ，則等效結(jié)點(diǎn)荷載 在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力也應(yīng)為 。由此即可得出如下結(jié)論：PFPPFPFP（1148） 將式（1148）代入式（1147），則位移法基本(jbn)方程可寫為 PK （1149） 第106頁(yè)/共192頁(yè)第一百零七頁(yè)，共192頁(yè)。由式（1146）和

47、式（1149）可知(k zh)，如果把剛度方程（1146）中的結(jié)點(diǎn)約束力F換成等效節(jié)點(diǎn)荷載P，即得到位移法基本方程（1149）。 3按單元集成法求整體(zhngt)結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載 (1)單元的等效結(jié)點(diǎn)(ji din)荷載 eP先考慮局部坐標(biāo)系。 第107頁(yè)/共192頁(yè)第一百零八頁(yè)，共192頁(yè)。在單元兩端加上六個(gè)附加約束(yush)，使兩端固定。在給定荷載作用下，可求出六個(gè)固端約束(yush)力，它們組成固端約束(yush)力向量 ： ePFTPPyPxPPyPxePMFFMFFF)(222111（1150） 在表111中給出了幾種典型荷載所引起的固端約束力。將固端約束力 反號(hào)，即得到(d

48、do)單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 （局部坐標(biāo)系）： ePFeP第108頁(yè)/共192頁(yè)第一百零九頁(yè)，共192頁(yè)。ePeFP（1151） (2)單元的等效結(jié)點(diǎn)(ji din)荷載 （整體坐標(biāo)系） eP現(xiàn)考慮整體(zhngt)坐標(biāo)系。由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式（1117），得 eTePTP（1052） (3)整體結(jié)構(gòu)(jigu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P 依次將每個(gè) 中的元素按單元定位向量 在P中進(jìn)行定位并累加，最后即得到P。 ePe 第109頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十頁(yè)，共192頁(yè)。表 111 單元(dnyun)固端約束力 （局部坐標(biāo)系） ePF 荷載簡(jiǎn)圖 始 端 1末 端 212PxFPyFPM0)21 (3322lalaqa)

49、386(12222lalaqa0)21 (23lalaq)34(123lalqa0)21 (22lalbFP122abFP)21 (22lblaFP022lbaFPPxFPyFPM第110頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十一頁(yè)，共192頁(yè)。3436lMab)32(lblbM36lMab)32(lalaM)6 . 132(43322lalaaq)2 . 132(6222lalaaq)6 . 13(423lalaq)8 . 01 (43lalqa0000PxFPxFPyFPyFPMPM第111頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十二頁(yè)，共192頁(yè)。56PxFPxFPyFPyFPMPM)5 . 01 (laqalaq25

50、. 000000000lbFPlaFP第112頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十三頁(yè)，共192頁(yè)。7)3(22lblalaqalbq22)3(22lblalaqalbq2200PxFPyFPM第113頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十四頁(yè)，共192頁(yè)。例113 試求圖1116a所示剛架在圖1118給定荷載(hzi)下的等效結(jié)點(diǎn)荷載(hzi)向量P。 圖 1018 第114頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十五頁(yè)，共192頁(yè)。解 （1）求局部(jb)坐標(biāo)系中的固端約束力 ePF單元(dnyun)：由表111第1行， mkNq/48mla5得mNMNFFPPyPxk10k120111mNMNFFPPyPxk10k120222第1

51、15頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十六頁(yè)，共192頁(yè)。單元(dnyun)：由表111第2行， KNFP8mba5 . 2得mNMNFFPPyPxk5k40111mNMNFFPPyPxk5k120222第116頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十七頁(yè)，共192頁(yè)。因此(ync) mkN10kN120mkN10kN120PFm5kNkN40mkN5kN40FP(2)各單元在整體(zhngt)坐標(biāo)系中的等效結(jié)點(diǎn)荷載 eP單元(dnyun)、的傾角分別為 0100290第117頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十八頁(yè)，共192頁(yè)。由式（1151）和（1152）得 mkNkNmkNkNFFIFTPPPPT1012010120mkNkN

52、mkNkNmkNkNmkNkNFTPPT504504540540100000001000010000000100000001000010第118頁(yè)/共192頁(yè)第一百一十九頁(yè)，共192頁(yè)。(3)求剛架的等效(dn xio)結(jié)點(diǎn)荷載 P兩個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)局部和總碼見(jiàn)圖1116。總碼在圖1118中用虛線重新示出。單元定位(dngwi)向量已知為400321 000321 第119頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十頁(yè)，共192頁(yè)。將 中得元素，按 在 中進(jìn)行(jnxng)定位并累加即可得出 。 ePe PP首先(shuxin)，考慮單元： 的階段結(jié)果(ji gu)為（4）、（5）行元素在 中無(wú)座位 PP（1） 1

53、（2） 2（3） 3 (6) 4mkN10mkN10kN120第120頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十一頁(yè)，共192頁(yè)。其次(qc),考慮單元 （1） 1 （2） 2（3） 34PmkN10mkN5kN12kN4mkN10mkN)5(10kN)0(12kN)4(0 117 計(jì)算(j sun)步驟和算例 用矩陣位移(wiy)法計(jì)算平面剛架的步驟如下： 第121頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十二頁(yè)，共192頁(yè)。(1)整理(zhngl)原始數(shù)據(jù)，對(duì)單元和剛架進(jìn)行局部編碼和總體編碼。 (2)形成局部(jb)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，用式（116）。 ek(3)形成(xngchng)整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，用式（

54、1121）。 ek(4)用單元集成法形成整體剛度矩陣 ，參看式（1135）。 K第122頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十三頁(yè)，共192頁(yè)。(5)求局部(jb)坐標(biāo)系的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 ，轉(zhuǎn)換成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載 ，用式（1151）和式（1152）；用單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載 。 ePePP(6)解方程 ，求出結(jié)點(diǎn)(ji din)位移 。 PK (7)求各桿的桿端內(nèi)力(nil) ，用下面的式（1153）。 eF各桿的桿端內(nèi)力是由兩部分組成： 第123頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十四頁(yè)，共192頁(yè)。一部分是在結(jié)點(diǎn)位移被約束住的條件下的桿端內(nèi)力(nil)，即各桿的固端約束力 。另一部分是剛架在等效

55、結(jié)點(diǎn)荷載 作用下的桿端內(nèi)力(nil)，可由式（115）求出。將兩部分內(nèi)力(nil)疊加，即得 ePFPePeeeFkF （1152） 例 114 試求圖1119a所示剛架得內(nèi)力。設(shè)各桿為矩形截面(jimin)，橫梁 mmhb26. 15 . 022mmhb15 . 01立柱(l zh) 第124頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十五頁(yè)，共192頁(yè)。解 （1）原始數(shù)據(jù)及編碼(bin m) 原始數(shù)據(jù)計(jì)算如下(rxi)（為了計(jì)算上得方便，設(shè) ）。 1E圖1119 第125頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十六頁(yè)，共192頁(yè)。柱： 215 . 0 mA 41241mI ml613111094. 6lEI311103 .83l

56、EA311109 .132lEI311108 .274lEI32111094. 66lEI33111031. 2lEI12梁： 21m5 . 0A 42121mI ml122322105 .52lEA3221094. 6lEI322109 .132lEI322108 .274lEI32221047. 36lEI33221058. 012lEI第126頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十七頁(yè)，共192頁(yè)。(2)形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠?n d)矩陣 ek單元(dnyun)和： 8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .839 .1394

57、. 608 .2794. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83103kk第127頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十八頁(yè)，共192頁(yè)。單元(dnyun)： 8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52103k(3)計(jì)算整體(zhngt)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?ek第128頁(yè)/共192頁(yè)第一百二十九頁(yè)，共192頁(yè)。單元(dnyun)和的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為09010000100100010

58、T8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2103TkTkkT第129頁(yè)/共192頁(yè)第一百三十頁(yè)，共192頁(yè)。單元(dnyun)： IT ,00kk(4)用單元集成法形成整體剛度(n d)矩陣K 由圖1119b中單元局部編碼與結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一(tngy)編碼的關(guān)系，各桿的單元定位向量可寫出如下： TTT）（000654)654321 ()000321第130頁(yè)/共192頁(yè)第一百三十一頁(yè)，共192頁(yè)。按照單元定位

59、向量(xingling) ，依次將各單元 中的元素在K中定位并累加，最后得到K如下： eek3106 .5547. 394. 69 .1347. 3047. 388.83047. 358. 0094. 6081.54005 .529 .1347. 306 .5547. 394. 647. 358. 0047. 388.830005 .5294. 6081.54第131頁(yè)/共192頁(yè)第一百三十二頁(yè)，共192頁(yè)。(5)求等效結(jié)點(diǎn)(ji din)荷載P 首先(shuxin)，求單元固端約束力 ： ePF只有(zhyu)單元有 ， PF330330PF第132頁(yè)/共192頁(yè)第一百三十三頁(yè)，共192頁(yè)。

60、其次，求單元在整體坐標(biāo)系中的等效結(jié)點(diǎn)(ji din)荷載 ： eP單元(dnyun)的傾角 ，由式（1151）和（1152） 230330 .333033010000100101000001010PTFTP第133頁(yè)/共192頁(yè)第一百三十四頁(yè)，共192頁(yè)。按單元(dnyun)定位向量 ，將 中的元素 在中定位，得 T)000321（PP000303P第134頁(yè)/共192頁(yè)第一百三十五頁(yè)，共192頁(yè)。(6)解基本(jbn)方程 0003036 .5547. 394. 69 .1347. 3047. 388.83047. 358. 0094. 6081.54005 .529 .1347. 306