幾類不同增長的函數(shù)模型

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型幾類不同增長的函數(shù)模型在教科書第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的在教科書第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋18591859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到不到100100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達到年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達到7575億只可愛的兔子變得可惡起來，億只可愛的

2、兔子變得可惡起來，7575億只兔子吃掉億只兔子吃掉了相當(dāng)于了相當(dāng)于7575億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣 材料：澳大利亞兔子數(shù)材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸爆炸”例例1 、 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有假設(shè)你有一筆

3、資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：如下：方案一、每天回報方案一、每天回報40元；元；方案二、第一天回報方案二、第一天回報10元，以后每天比前一元，以后每天比前一天多回報天多回報10元；元；方案三、第一天回報方案三、第一天回報0.4元，以后每天的回報元，以后每天的回報比前一天翻一番。比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？請問，你會選擇哪種投資方案？下面我們先來看兩個具體問題。下面我們先來看兩個具體問題。分析：分析：2、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型？、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？

4、日回報效益，、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報效益，還是累計回報效益？還是累計回報效益？解：設(shè)第解：設(shè)第x天所得回報是天所得回報是y元元方案一可以用函數(shù)方案一可以用函數(shù) 進行描述；進行描述；方案二可以用函數(shù)方案二可以用函數(shù) 進行描述；進行描述；方案三可以用函數(shù)方案三可以用函數(shù) 進行描述進行描述.40()yxN1*0.4 2()xyxN3、三個函數(shù)模型的增減性如何？、三個函數(shù)模型的增減性如何？4、要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情、要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析，如何分析？況進行分析，如何分析？)(10*Nxxy表表1y(元)y(元) 增加量增加量(元元)y(元)y(

5、元) 增加量增加量(元元) y(元)y(元) 增加量增加量(元元)140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4x(天)x(天)方案一方案一方案二方案二方案三方案三 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4圖-1我們看到，底為我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快型增長

6、速度要快得多。從中你對得多。從中你對“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”的的含義有什么新的含義有什么新的理解？理解？函數(shù)圖象是分析問題函數(shù)圖象是分析問題的好幫手。為了便于的好幫手。為了便于觀察，我們用虛線連觀察，我們用虛線連接離散的點。接離散的點。由表由表-1和圖和圖-1可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不同。三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不同?？梢钥吹?，盡管方案一、方案二在第可以看到，盡管方案一、方案二在第1 1天所得回天所得回報分別是方案三的報分別是方案三的100

7、100倍和倍和2525倍，但它們的增長倍，但它們的增長量是成倍增加的，從第量是成倍增加的，從第7 7天開始，方案三比其他天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一方案二所方案二所 無法企及的，從每天所得回報看，在無法企及的，從每天所得回報看，在第第1414天，方案一最多，在天，方案一最多，在5858天，方案二最多；天，方案二最多；第第9 9天開始天開始 ，方案三比其他兩個方案所得回報多，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第得多，到第3030天，所得回報已超過天，所得回報已超過2 2億元。億元。根據(jù)以上的分析，你應(yīng)當(dāng)作出根據(jù)以上的

8、分析，你應(yīng)當(dāng)作出什么樣的選擇？什么樣的選擇？投資投資5天以下先方案一天以下先方案一投資投資58天先方案二天先方案二投資投資8天以上先方案三天以上先方案三0100200300400500600051015方案一 回報(元)方案二 回報(元)方案三 回報(元)線性 (方案一回報(元)多項式 (方案二 回報(元)指數(shù) (方案三回報(元) 因此，投資因此，投資8天以下天以下(不含不含8天天)，應(yīng)選擇第一種投資方，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資案；投資810天，應(yīng)選擇第天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資二種投資方案；投資11天天(含含11 天天)以上，剛應(yīng)選擇第三以上，剛應(yīng)選擇第三種投資方案。種投資方案。表-2

9、表-2 累計回報效益累計回報效益回報(元)回報(元) 回報(元)回報(元) 回報(元)回報(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x（天）x（天）方案二方案二

10、方案三方案三方案一方案一例例 2、某公司為了實現(xiàn)、某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元單位：萬元)隨銷售利潤隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過（單位：萬元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，萬元，同時獎金總數(shù)不超過利潤的同時獎金總數(shù)不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型：現(xiàn)有三個獎勵模型：其中哪個模型能符合公司的要求？其中哪個模型能符合公司的要求？,002. 1 1log

11、 25. 07xyxyxy，分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，x獎金總數(shù)不超過獎金總數(shù)不超過5萬元，萬元， 由于公司總由于公司總的利潤目標(biāo)為的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。利潤。同時獎金不超過利潤的同時獎金不超過利潤的25%， 于是，只需在區(qū)間于是，只需在區(qū)間10,1000上，檢驗三個模型是否符合公上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可。司要求即可。 注意：注意：X的取值范圍，即函數(shù)的定義域的取值范圍，即函數(shù)的定義域要滿足哪些條件？要

12、滿足哪些條件？通過圖象說明選用哪個函數(shù)模型？通過圖象說明選用哪個函數(shù)模型？為什么？為什么？不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過具體計算，確認結(jié)果。具體計算，確認結(jié)果。解：解： 借助計算機作出函數(shù)借助計算機作出函數(shù)的圖象的圖象,25. 0, 5xyy xyxy002. 1, 1log7解：解： 借助計算機作出函數(shù)借助計算機作出函數(shù) 的圖象的圖象(圖圖3.2-2)。5, 0.25 , yyx1.002xy 7log1, yx 觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10 ,1000上，模型上，模型 的圖象都有一部分

13、在直線的圖象都有一部分在直線 的上方，只有的上方，只有模型模型 的圖象始終在的圖象始終在 的下方，這說明只的下方，這說明只有按模型有按模型 進行獎勵時才符合公司的要求，下進行獎勵時才符合公司的要求，下面通過計算確認上述判斷。面通過計算確認上述判斷。 ,25. 0 xy 5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1 它在區(qū)間它在區(qū)間 10 ,1000 上上遞增，而且當(dāng)遞增，而且當(dāng) 時時 ， ，所以它符合獎金總數(shù)，所以它符合獎金總數(shù)不超過不超過5萬元的要求。萬元的要求。 ，由函數(shù)圖象，并利用計算，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間器，可知在區(qū)間 內(nèi)有一個點內(nèi)有一個點 滿足滿足，由于它在區(qū)

14、間，由于它在區(qū)間 10 ,1000上遞增，因此當(dāng)上遞增，因此當(dāng) 時，時， 因此該模型也不符合要求；因此該模型也不符合要求；對于模型對于模型 ， 它在區(qū)間它在區(qū)間10 ,1000上遞增，上遞增，當(dāng)當(dāng) 時，時， 因此該模型不符合要求；因此該模型不符合要求；首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬。萬。對于模型對于模型 ，對于模型對于模型 ， xy25. 0 xy002.11log7xy)1000,20(x5 y)806,805(0 x5002. 10 x0 xx 5 y1000 x, 555. 41log10007xy令令 。 利用計利用計算機作出函數(shù)算機作出函數(shù) 的圖

15、象的圖象 （ 圖圖3.2.1例例2.gsp），由圖象可），由圖象可知它是遞減的，因此知它是遞減的，因此即即所以當(dāng)所以當(dāng) 時，時， 。 說說明按模型明按模型 獎金不會超過利潤的獎金不會超過利潤的25%。再計算按模型再計算按模型 獎勵時，獎金是否獎勵時，獎金是否不超過利潤的不超過利潤的25%，即當(dāng)，即當(dāng) 時，是否時，是否有有 成立。成立。1log7xy1000,10 x25. 01log7xxxy1000,10,25. 01log)(7xxxf)(xf, 03167. 0)10()( fxfxx25.01log725. 01log7xx1000,10 x1log7xy綜上所述，模型 確實能很符合公

16、司要求。1log7xy小結(jié)與反思：小結(jié)與反思：通過實例和計算機作圖體會、認識直通過實例和計算機作圖體會、認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義，認識數(shù)學(xué)的函數(shù)模型的增長的含義，認識數(shù)學(xué)的價值，認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、與其他價值，認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會數(shù)學(xué)的實學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會數(shù)學(xué)的實用價值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美用價值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美 1、四個變量四個變量 隨變量隨變量 變化的數(shù)據(jù)如下表：變化的數(shù)據(jù)如下表：43,21,yyyyx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050 x1y2y3y4y51037. 67102 . 181028. 2關(guān)于關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是 。2y 2、某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如、某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的臺