包哥數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)--抽象函數(shù)專題

1、包哥數(shù)學(xué) 百度文庫 笑傲高數(shù)=興趣+正確的學(xué)習(xí)方法【包哥數(shù)學(xué)】抽象函數(shù)專題抽象函數(shù)簡介抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力。抽象函數(shù)一些模型根據(jù)抽象函數(shù)的一些性質(zhì)，聯(lián)想到所學(xué)的基本初等函數(shù)模型，將抽象具體化，有助于分析問題。抽象函數(shù)f(x)具有的性質(zhì)聯(lián)想到的函數(shù)模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)正比例函數(shù)模型：f(x)=kx (k0)f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1

2、)÷f(x2)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)=ax (a>0且a1)f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);f(x1÷x2)=f(x1)-f(x2);(x1,x2R+)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)=logax (a>0且a1)例題：例1：f (x)在R+上是增函數(shù)，且f (x)=f ()+f (y),若f (3)=1,f (x)f ( )2，求x的范圍 。 例2：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意實數(shù)m、n，總有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0時，0<f(x)<1.（1）證明：f(0)=1；且x<0時，f(x)>

3、1;（2）證明：f(x)在R上單調(diào)遞減；（3）設(shè)A=(x,y)f (x2)·f(y2)>f(1),B=(x,y)f (ax-y+2)=1,aR，若AB=，確定a的范圍。抽象函數(shù)的對稱性（中心對稱、軸對稱）和周期性先深刻理解奇函數(shù)，偶函數(shù)概念方法：用哪個數(shù)代替x一、 抽象函數(shù)的對稱性定理1. 若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，且滿足條件：f (a+x)=f (bx)，則函數(shù)y=f (x) 的圖象關(guān)于直線x= 對稱。推論1. 若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，且滿足條件：f (a+x)=f (ax) （或f (2ax)= f (x) ),則函數(shù)y=f (x) 的圖像關(guān)于直線x= a

4、對稱。推論2. 若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，且滿足條件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0有n個根，則此n個根的和為na 。定理2. 若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，且滿足條件：f (a+x)+f (bx)=c，（a,b,c為常數(shù)），則函數(shù)y=f (x) 的圖象關(guān)于點 對稱。推論1.若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，且滿足條件：f (a+x)+f (ax)=0，（a為常數(shù)），則函數(shù)y=f (x) 的圖象關(guān)于點（a ，0）對稱。了解定理3.若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，則函數(shù)y=f (a+x) 與y=f (bx)兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱。對任意x0,令a+x0

5、=b-x1,則x0+x1=b-a此時令y=f(a+x0)=f(b-x1),則(x0,y)在第一個函數(shù)圖像上,(x1,y)在第二個函數(shù)圖像上因為x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)關(guān)于直線x=(b-a)/2對稱所以這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=(b-a)/2是對稱的定理4.若函數(shù)y=f (x) 定義域為R，則函數(shù)y=f (a+x) 與y=cf (bx)兩函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。二、抽象函數(shù)的周期性命題1：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(

6、x)，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)+f(x)=1，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.命題2：若a、b()是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1) 函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數(shù)，且|a-b|是它的一個周期.(2)函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是它的一個周期.(3) 函數(shù)圖象關(guān)于點M(a,0)和點N(b,0)

7、對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是它的一個周期.(4)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點M(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是它的一個周期.命題3：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.(2)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期.我們也可以把命題3看成命題2的特例,命題3中函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性中已知其中的任兩個條件可推出

8、剩余一個.下面證明命題3（1），其他命題的證明基本類似.設(shè)條件A: 定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù). 條件B: f(x)關(guān)于x=a對稱 條件C: f(x)是周期函數(shù),且2a是其一個周期. 結(jié)論: 已知其中的任兩個條件可推出剩余一個. 證明: 已知A、B C （2001年全國高考第22題第二問） f(x)是R上的偶函數(shù)f(-x)=f(x) 又f(x)關(guān)于x=a對稱f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函數(shù),且2a是它的一個周期 已知A、CB 定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)f(-x)=f(x) 又2a是f(x)一個周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f

9、(x+2a) f(x)關(guān)于x=a對稱 已知C、BA f(x)關(guān)于x=a對稱f(-x)=f(x+2a) 又2a是f(x)一個周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是R上的偶函數(shù) 由命題3(2)，我們還可以得到結(jié)論:f(x)是周期為T的奇函數(shù)，則f()=0【f(x+T)=f(x)，令x=-T/2，f(T/2)=f(-T/2)，f(x)為奇函數(shù),所以f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2)則2f(T/2)=0,f(T/2)=0】基于上述命題闡述，可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)具有某些關(guān)系。根據(jù)上述命題，我們易得函數(shù)周期，從而解決問題。 習(xí)題：1.若函數(shù)f（x）=x2+bx+c對于任意實

10、數(shù)t均有f（3+t）= f（1t），那么（ ）A. f（2）< f（1）< f（4）B. f（1）< f（2）< f（4）C.f（2）< f（4）< f（1）D. f（4）< f（2）< f（1）解析：在f（3+t）= f（1t）中（3+t）+（1t）=4所以拋物線f（x）=x2+bx+c的對稱軸為x=2作示意圖如圖1，可見，應(yīng)選A。2.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x2）= f（x），給出下列四個結(jié)論：f（2）=0；f（x）是以4為周期的函數(shù)；f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱；f（x+2）=f（ x）其中所有正確命題的序號是_。解析：（

11、1）因為y= f（x）（xR）是奇函數(shù)，所以f（x）= f（x）令x=0，得f（0）=f（0）所以f（0）=0又已知f（x2）= f（x）令x=2，得f（0）= f（2）所以f（2）= f（0）=0故成立。（2）因為f（x2）= f（x），所以由x（x4）=4（兩自變量相減得常數(shù)）所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)。故成立。（3）由f（x+2）= f（x）得：（x+2）+（x）=2（兩自變量相加得常數(shù)）所以f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱。而不是關(guān)于直線x=2對稱。故是錯誤的。（4）由（2）知，f（x）應(yīng)滿足f（x+2）= f（x2）而f（x2）=f（x）所以f（x+2）= f（x）= f（x

12、）故成立。綜上所述，應(yīng)填。3. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，則a=_。解析：因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱所以有（與題設(shè)矛盾，舍去）或所以。4.函數(shù)y=f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.f(1)<f()<f() B. f()<f(1)< f() C. f()<f()<f(1) D.f()<f(1) <f().解析：函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，f(x+2)=f(-x+2)x=2為y=f(x)圖像的對稱軸=【也可根據(jù)y=f(x+2)y=f(x)向右平移兩個單位知x=2為y=f(x)圖像的

13、對稱軸】函數(shù)y=f(x)在(2,4)上是減函數(shù)，且f(1)=f(3)52<3<72,f52>f3>f(72),選B5.f(x)滿足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上單調(diào).求a的值. 包哥解析：由f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)得f(2-x)= -f(6-x)用x代替-x, f(2+x)= -f(6+x)；用x+2代替x，f(x)= -f(x+4)；用x+4代替x, f(x+4)= -f(x+8)=-f(x),即f(x)=f(x+8),T=8f(2000)=f(0+8*25

14、0)=f(0)又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上單調(diào)a =6確定方程根的個數(shù)6.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(x)=0至少有幾個根？解：由f(7+x)= f(7x)，用x-7代替x，f(x)=f(14-x)f(4x)= f(14x)，用x代替4-x故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0，10上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x

15、)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，因此方程f(x)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+2=401個根.12.（仙游一中高一數(shù)學(xué)期末）在實數(shù)集上定義一種新運(yùn)算“”，對于任意給定的，為唯一確定的實數(shù)，且具有下面三個性質(zhì)： 關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有以下說法：在區(qū)間上函數(shù)的最小值為； 函數(shù)為奇函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.其中所有正確說法的個數(shù)為（ ） A B C D解析：B由新運(yùn)算“”的定義（3）令c=0，則ab=ab+a+b=x+1x+1（對勾函數(shù)）f（x）=1-1x2，令f（x）=0，則x=±1，當(dāng)x（-，-1）或（1，+）時，f（x）0函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-1）

16、、（1，+）故正確；正確，錯誤，f(-x)-f(x)12.（2018廈門市高中畢業(yè)班模擬試題）已知函數(shù)fx+12=x3+2017x-2017-x+1，若f(sin+cos)+f(sin2-t)<2對任意的R恒成立，則t的取值范圍是（）A.(-,2) B. (2,+ ) C. (-,2) B. (2,+ )解析：B由fx+12=x3+2017x-2017-x+1，得f-x+12=-x3+2017-x-2017x+1+得：fx+12+ f-x+12=2 式表示只要自變量相加為1，函數(shù)值之和為2，那么題目中的不等式可以轉(zhuǎn)化為：f(sin+cos)+f(sin2-t)<2= f(sin+cos)+ f1-(sin+cos)也即f(s