電阻電路的一般分析

1、Chapter 3 Chapter 3 電阻電路的一般分析電阻電路的一般分析 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 1. 圖論的初步概念；圖論的初步概念； 2. 支路電流法；支路電流法； 3. 3. 網(wǎng)孔電流法和回路電流法；網(wǎng)孔電流法和回路電流法； 4. 4. 結(jié)點(diǎn)電壓法。結(jié)點(diǎn)電壓法。 3-1 3-1 電路的圖電路的圖 1. 求解電路的一般方法 選取合適的電路變量（電流和/或電壓）； 根據(jù)KCL、KVL 以及元件的電壓、電流關(guān)系（VCR），建立獨(dú)立方程組； 解出電路變量。 學(xué)習(xí)圖論的初步知識(shí)，目的是研究電路的連接性質(zhì)并討論應(yīng)用圖的方法選擇電路方程的獨(dú)立變量 G = ( V, E )，表示 G 是結(jié)點(diǎn)和支路的一個(gè)集

2、合。 結(jié)點(diǎn)(頂點(diǎn)，點(diǎn))：支路的匯合處； 支路(線段，邊)：是一個(gè)抽象的線段（代表一個(gè)電路元件）； 孤立結(jié)點(diǎn)：不關(guān)聯(lián)任何邊的點(diǎn)； 2. 圖 移去支路：移去該支路，但其所關(guān)聯(lián)的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)保持不變； 移去結(jié)點(diǎn)：把它所關(guān)聯(lián)的全部支路同時(shí)移去。 3. 電路的“圖” 電路的“圖”：把電路中每一條支路畫(huà)成抽象的線段形成的一個(gè)結(jié)點(diǎn)和支路的集合； 用不同的元件結(jié)構(gòu)定義電路的一條支路時(shí)，該電路以及它的圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)將隨之而不同。 有向圖：賦予支路方向的圖。 a. 指定電路中每條支路電流的參考方向，電壓取關(guān)聯(lián)參考方向； b.指定電路的圖中每一條支路的方向。 3-2 3-2 KCL和和 KVL的獨(dú)立方程數(shù)的獨(dú)立方程

3、數(shù) 一、KCL 的獨(dú)立方程數(shù)（n -1） 可以證明，對(duì)于具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路，在任意( n - 1)個(gè)結(jié)點(diǎn)上可以得出( n - 1 )個(gè)獨(dú)立的 KCL 方程，相應(yīng)的( n - 1 )個(gè)結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)。 0)()()(11 bjjjnkkiii 因?yàn)槊恳恢冯娏?ij 必然流出一個(gè)結(jié)點(diǎn)，并流入另一結(jié)點(diǎn),故獨(dú)立方程數(shù) n 從這 n 個(gè)方程中，去掉任意一個(gè)，余下的( n -1 )個(gè)方程一定互相獨(dú)立，因去掉一個(gè)方程后，必有某些支路電流不可能與其他支路電流相消。 1. 獨(dú)立回路 連通圖：圖 G 的任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑； 子圖：如果 G1 的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都是圖 G 中的結(jié)點(diǎn)，G1的每條支路都是

4、 G 中的支路，則 G1 是G 的子圖； 回路：如果一條路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，且經(jīng)過(guò)的其他結(jié)點(diǎn)都相異，這條閉合路徑就構(gòu)成 G 的一個(gè)回路。 二KVL 的獨(dú)立方程數(shù)（ b - ( n -1)） 樹(shù)：連通圖G 的一個(gè)樹(shù) T ，是指 G 的一個(gè)子圖，a, 它必須是連通的；b, 包含 G 的全部結(jié)點(diǎn)；c,不包含回路。 回路：(1,3,4);(2,3,5);(4,5,6);(1,2,6);(1,2,4,5);(1,3,5,6);(2,3,4,6) 可以證明，任一個(gè)具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通圖，它的任何一個(gè)樹(shù)的樹(shù)支數(shù)為（n -1）。 T1 樹(shù)支:(3,4,5) 連支:(1,2,6)T2 樹(shù)支:(1,4,5)

5、連支:(2,3,6) 單連支回路：G 的任意一個(gè)樹(shù)，加入一個(gè)連支后形成的一個(gè)回路 。 a.除所加連支外均由樹(shù)支組成； b.由全部連支形成的單連支回路（基本回路）構(gòu)成基本回路組?；净芈方M是獨(dú)立回路組 ； c.根據(jù)基本回路列出的 KVL 方程組是獨(dú)立方程組； d.選擇不同的樹(shù)，可以得到不同的基本回路組。 T1 ： 樹(shù)支： (1, 3, 5 )； 回路：(2, 3, 5)；(1, 3, 4) ； (1, 3, 5, 6) T2 ： 樹(shù)支： (3, 4, 5 )； 回路：(1, 3, 4)；(2, 3, 5) ； (4, 5, 6) T3 ： 樹(shù)支： (1, 2, 4 )； 回路：(1, 3, 4)

6、；(1,2, 4, 5) ； (1, 2, 6) 網(wǎng)孔：平面圖的一個(gè) “網(wǎng)孔” 是指它的一個(gè)自然 “孔”，它限定的區(qū)域內(nèi)不再有支路； 平面圖的全部網(wǎng)孔是一組獨(dú)立回路； 平面圖網(wǎng)孔數(shù) = 獨(dú)立回路數(shù) . 平面圖：把一個(gè)圖畫(huà)在平面上，能使它的各條支路除連接的結(jié)點(diǎn)外不再交叉，否則，稱(chēng)為非平面圖； 2.網(wǎng)孔 3. KVL 的獨(dú)立方程數(shù) = 獨(dú)立回路數(shù) 平面電路，找網(wǎng)孔，對(duì)網(wǎng)孔列 KVL 方程; 非平面電路：先找樹(shù)，再找單連支回路，對(duì)單連支回路列 KVL 方程 ;3-3 3-3 支路電流法支路電流法 12b 法 以支路電壓和電流為電路變量，共有 2b 個(gè)未知量 . 按 KCL 列出（ n-1）個(gè)獨(dú)立電流

7、方程； 按 KVL 列出 b -（ n-1）個(gè)獨(dú)立電壓方程； 按支路的電壓、電流關(guān)系( VCR )列出 b 個(gè) VCR 方程； 由 2b 個(gè)方程求解 2b 個(gè)未知量。 2.支路電流法 將 b 個(gè)支路電壓、電流關(guān)系(VCR)代入（b - ( n - 1 ) 個(gè)KVL 方程；消去支路電壓變量，得到（b - ( n - 1 ) )個(gè)以支路電流表示的 KVL 方程，加上原有的（ n - 1 ）個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)電流方程； b個(gè)方程求解 b 個(gè)支路電流. (2) 000 642543321uuuuuuuuuKVL(3) 666555554443332221111iRuiRiRuiRuiRuiRuiRuuVCR

8、Ss (1) 000 654432621iiiiiiiiiKCL 將式（3）代入式（2）得 000664422555544333322111iRiRiRiRiRiRiRiRiRiRuSS(4) 066442255554433S1332211iRiRiRiRiRiRiRuiRiRiRS式（1）和式（4）聯(lián)立求解可得支路電流。 3KVL 方程的一般形式 SkkkuiR Rk ik 為回路中第 k 個(gè)支路的電阻上的電壓，ik 參考方向與回路方向一致時(shí)，取 “+ ”，否則，取 “- ”； 4. 列寫(xiě)出支路電流法電路方程的步驟 選定各支路電流的參考方向； 選取 b - ( n -1) 個(gè)獨(dú)立回路（平面電

9、路取網(wǎng)孔），指定回路的繞行方向，列出 KVL 方程。 根據(jù) KCL 對(duì) ( n -1) 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列寫(xiě)電流方程； uSk 為回路中第 k 支路的電源電壓（既包括電壓源電壓，也包括電流源引起的電壓），當(dāng) uSk 與回路方向一致時(shí)取 “- ”（因移到等號(hào)另一側(cè)），否則取 “+”。 3-4 3-4 網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流法 1. 網(wǎng)孔電流是一組完備的獨(dú)立電流變量。 網(wǎng)孔電流是一種沿著網(wǎng)孔邊界流動(dòng)的假想電流，共 b-(n-1)個(gè)； a. im1 ,im2 為分析簡(jiǎn)便而設(shè)的假想電流； b. i1 , i2 , i3 可用 im1 ,im2 線性表示； 完備性：一旦求出了網(wǎng)孔電流，所有支路電流可根據(jù)KCL 隨

10、之確定。 獨(dú)立性：因每個(gè)網(wǎng)孔電流沿著網(wǎng)孔流動(dòng)，當(dāng)它流到某個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，從該結(jié)點(diǎn)流入，又從該結(jié)點(diǎn)流出，在該結(jié)點(diǎn)所列的 KCL 方程中相互抵消，因此，就 KCL 來(lái)說(shuō)，各網(wǎng)孔電流彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)。 求網(wǎng)孔電流需要根據(jù) KVL 及 VCR 來(lái)列方程。 流入:im1 ,im2 流出: im1 ,im2即 im1 + im2 = im1 + im2 整理后可得 32232122122121)()(SSmmSSmmUUiRRiRUUiRiRR概括為一般形式 2222212111212111SmmSmmuiRiRuiRiR0)(0)(12223231221211mmSSmSSmmmiiRUUiRUUiiRiR以網(wǎng)孔

11、電流方向?yàn)榱蠯VL 方程時(shí)的繞行方向（順時(shí)針） 2. 求解過(guò)程及網(wǎng)孔電流方程的普遍形式 這里: 自電阻 第 個(gè)網(wǎng)孔的全部電阻之和； , , , 2 , 1 , 0miRiii 互電阻 第 個(gè)網(wǎng)孔與第 個(gè)網(wǎng)孔之間的公共電阻，如果 與 通過(guò)公共電阻時(shí)方向一致，取 “ + ”，相反，取 “ - ” ； , , , 2 , 1 , , , mjijiRijijmiimji 總電壓源電壓 ：第 i 個(gè)網(wǎng)孔電壓源電壓升的代數(shù)和， Siiumi , , 2 , 1SmmmmmmmmmmSmmmmmSmmmmmuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222222121111212111推廣到 m 個(gè)

12、網(wǎng)孔的電路，其網(wǎng)孔電流方程的普遍形式為 例3-1：用網(wǎng)孔分析法求解下圖電路的各支路電流。解：網(wǎng)孔電流方程為10 )3010( 3020 30 )305(2121mmmmiiii10 40 3020 30 35 2121mmmmiiii利用行列式法可求出AiAimm 5 . 0 121AiiiAiiAiimmmm 5 . 0 ; 5 . 0 ; 1 1232211例3-2：試求下圖中電流 I 。解：網(wǎng)孔電流方程為240 30 )3020(221mmmiii! 4 . 0 21方程已知，只需列一個(gè)KVLiAimmAiiImm 6 . 1) 2(4 . 021例3-3：試用網(wǎng)孔法求下圖所示電路中受控

13、源電流 Ix 。 解：列網(wǎng)孔電流方程時(shí)先將受控電源等同于獨(dú)立電源，寫(xiě)出網(wǎng)孔電流方程后，再將受控源控制量用網(wǎng)孔電流表示。XmmXmmIIIIII84626821221214226612 2121mmmmIIII2mXII又AIAIAIXmm 3 , 3 , 121例3-4：試列寫(xiě)下圖中所示電路的網(wǎng)孔電流方程。解：因電流源兩端有電壓，假設(shè)為 U ，則0632036723321321321UIIIIIIUIIImmmmmmmmm731mmII補(bǔ)充：VUAIAIAImmm 5 .13 , 0 . 2 , 5 . 2 , 9321 將 7V 電壓源移至圖右側(cè)，可不設(shè)電流源電壓 U，迅速求出各支路電流！3

14、-5 3-5 回路電流法回路電流法 1. 回路電流法是以一組獨(dú)立回路電流為電路變量的求解方法 回路電流是在一個(gè)回路中連續(xù)流動(dòng)的假想電流； 選單連支回路作為基本回路(獨(dú)立回路)，回路電流就是連支電流； a ，樹(shù)支：支路（4，5，6） 連支：支路（1，2，3） b ，回路電流（連支電流）為 ,分別在 3 個(gè)基本回路中流動(dòng); 321,llliii3216315214332211 , , , , lllllllllliiiiiiiiiiiiiiii a,完備性: 支路電流是流過(guò)的回路電流(連支電流)的代數(shù)和；樹(shù)支電流可以通過(guò)連支電流來(lái)表達(dá)。全部支路電流可用連支電流(回路電流)來(lái)表達(dá)； b,獨(dú)立性:因每

15、個(gè)回路電流沿著回路流動(dòng),當(dāng)它流到某個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，從該結(jié)點(diǎn)流入，又從該結(jié)點(diǎn)流出，在該結(jié)點(diǎn)所列的 KCL 方程中相互抵消，因此，就 KCL 來(lái)說(shuō)，各回路電流彼此獨(dú)立無(wú)關(guān). 回路電流(連支電流)是完備的獨(dú)立電流變量。 b 條支路，n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路，b 個(gè)支路電流受 n - 1個(gè)KCL 方程的約束，僅有 b - ( n -1) 個(gè)支路電流是獨(dú)立的； 連支數(shù)恰好是b - ( n -1) 個(gè)，連支電流可以作為獨(dú)立電流變量，由 KVL 提供求解連支電流所需的 b - ( n -1) 個(gè)獨(dú)立方程。 列出圖示 3 個(gè)回路的回路電壓方程，將所有電流均用回路電流表示； 整理后可得 4336432641441364264

16、2114141342411541)()()()()()()(SSlllSSlllSSlllUUiRRRiRRiRUUiRRiRRRRiRRUUiRiRRiRRR2求解過(guò)程及回路電流方程的一般形式 一般形式（設(shè) ） ) 1( nbpSpplppplplpSlppllSlpplluiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222222121111212111這里： a,自電阻 第 個(gè)回路的全部電阻之和; , 2 , 1 , 0piRiii b, 互電阻 第 個(gè)回路與第 個(gè)回路的公共電阻之和，若兩個(gè)回路電流通過(guò)公共電阻時(shí)方向一致取“+ ”，否則,取 “- ”； , 2 , 1, , ,pjij

17、iRijij c, 電壓源電壓 第 i 個(gè)回路電壓源電壓升的代數(shù)和,電壓源電壓的方向與回路電流方向一致時(shí)取“-”, 否則取“+ ”., 2 , 1 ,piuSii3. 電路中含有電流源的情況 含有電流源和電阻的并聯(lián)組合，可經(jīng)等效變換成為電壓源和電阻的串聯(lián)組合再列回路方程； 存在無(wú)伴電流源時(shí) a, 選取電流源支路作連支，則該回路的電流（連支電流）就是電流源電流（見(jiàn)例 3-1）； b，把電流源的電壓作為變量，增加一個(gè)獨(dú)立的回路電流與電流源之間的約束關(guān)系（見(jiàn)例 3-4 ）。 4.電路中含有受控電壓源的情況 先將受控電壓源作為獨(dú)立電壓源列出回路電流方程； 再把受控電壓源的控制量用回路電流表示； 然后將

18、用回路電流表示的受控源電壓移至方程的左邊。 例3-5：試求下圖中電流 I1 。 解：選樹(shù)時(shí)，使電壓源支路作為樹(shù)支，并使電流源、受控電流源及受控源的控制支路位于連支中，由于只有一個(gè)未知數(shù)I1， 故只需對(duì) I1 所流經(jīng)的回路列寫(xiě)方程AIII123019255 . 144)42()425(111 例3-6：下圖所示電路中有無(wú)伴電流源 iS1 ，無(wú)伴電流控制電流源 iC = i2,電壓控制電壓源 uC = u2, 電壓源 US2,，US3 ,列出回路電流方程。解：選樹(shù)支如粗實(shí)線所示，將連支電流作為回路電流，則)(212222llliiRuii34433323233243332321211 )( )(

19、SCllllClSSllllSlUuiRRiRiRiiiUUiRiRiRRiRii整理可得123443232123243232 )( )1 ( )1 ( SSllSSSlliRUiRRiRRiRUUiRiRRR1 對(duì)回路電流無(wú)影響!5. 回路電流法的步驟 根據(jù)給定的電路，通過(guò)選擇一個(gè)樹(shù)確定一組基本回路(使電流源、受控電流源出現(xiàn)在連支中）。指定各回路電流(連支電流)的參考方向； 按一般公式列出回路電流方程，自電阻總是正的，互電阻的正負(fù)由相關(guān)的兩個(gè)回路電流通過(guò)共有電阻時(shí)的參考方向是否相同而定。另外,要注意右邊項(xiàng)取代數(shù)和時(shí)有關(guān)電壓源前面的“ + ”、“-” 號(hào) ; 電路中含有受控源或無(wú)伴電流源時(shí)，按

20、前述方法處理。 3-6 3-6 結(jié)點(diǎn)電壓法結(jié)點(diǎn)電壓法 1. 結(jié)點(diǎn)電壓是一組完備的獨(dú)立電壓變量 任選一個(gè)結(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，其他結(jié)點(diǎn)到參考點(diǎn)的電壓降，稱(chēng)為該結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓，共 n - 1 個(gè) ； 完備性：一旦求出了 n - 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓，全部 b 條支路電壓均可根據(jù) KVL 隨之確定，因一條支路必然關(guān)聯(lián)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)。 a, 選結(jié)點(diǎn) 4 為參考點(diǎn);b, un1, un2, un3 為結(jié)點(diǎn)電壓;c, G1,G3,G5 上的結(jié)點(diǎn)可用 un1, un2, un3 線性表示; 獨(dú)立性，因沿任一回路的各支路電壓如以結(jié)點(diǎn)電壓表示，列寫(xiě)的 KVL 方程恒等于零，因此，就 KVL 來(lái)說(shuō)各結(jié)點(diǎn)電壓彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)。 圖中所示回

21、路： 0)( 02332423423nnnnuuuuuuu 求結(jié)點(diǎn)電壓需要根據(jù) KCL 及 VCR 來(lái)列方程 。2.求解過(guò)程及結(jié)點(diǎn)電壓方程的普遍形式 53154343323222121154332151)( ,)( ,)( : 000:iuuGiuGiuuGiuGiuuGVCRiiiiiiiiiKCLnnnnnnnnS整理可得 0)(0)()(35432315332321113521151nnnnnnSnnnuGGGuGuGuGuGGGuGiuGuGuGG概括為一般形式 333332321312232322212111313212111SnnnSnnnSnnniuGuGuGiuGuGuGiuG

22、uGuG推廣到 個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路，其結(jié)點(diǎn)電壓方程的普遍形式為 n)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(22)1()1(222212111)1()1(1212111nnSnnnnnnnnSnnnnnSnnnnniuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG這里： 自電導(dǎo) 連接到第 i 個(gè)結(jié)點(diǎn)的全部電導(dǎo)之和； , 1,2, 1 ,0niGii 互電導(dǎo) 連接在結(jié)點(diǎn) i 和結(jié)點(diǎn) j 之間的電導(dǎo)之和的負(fù)值； , 1,2, 1 , ,0nijiGij 注入電流 注入到第 i 個(gè)結(jié)點(diǎn)的電流源電流的代數(shù)和； , 1,2, 1,niiSii例3-7：列出下圖的結(jié)點(diǎn)電壓方程。 解：結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，則有kuk

23、kkukkukukkknnnn4090 )401101201( 10120120 101 )101401201(2121VuVunn 10 , 40 21習(xí)慣畫(huà)法!例3-8：試列出下圖所示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。 解：列結(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，如果電壓源跨接在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間，怎么辦？先設(shè)一個(gè)未知電流！IuGGuGuGuGGGuGIuGuGGnnnnnnn354243424311121121 )( 0 )( )(SnnUuu31補(bǔ)充：如果將結(jié)點(diǎn) 3 選作參考結(jié)點(diǎn)，則只需列兩個(gè)結(jié)點(diǎn)方程！ 列結(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，不需要事先指定支路電流的參考方向，如要檢驗(yàn)答案，應(yīng)按支路電流用 KCL 進(jìn)行. 4電路中含有無(wú)伴電壓源的情況 選無(wú)伴電壓源的一端連接點(diǎn)作為參考點(diǎn)， 則關(guān)于另一端的結(jié)點(diǎn)電壓已知，無(wú)需再列方程！ 把無(wú)伴電壓源的電流作為附加變量列入 KCL 方程，增加結(jié)點(diǎn)電壓與無(wú)伴電壓源電壓之間的關(guān)系。 3.求得各結(jié)點(diǎn)電壓后，可以根據(jù)VCR求出各支路電流； 列寫(xiě)結(jié)點(diǎn)電壓方程列寫(xiě)結(jié)點(diǎn)電壓方程（例3-5 PP71）。用結(jié)點(diǎn)電壓法求各支路電流用結(jié)點(diǎn)電壓法求各支路電流（例3-6 PP71 ）。例3-9：試列出下圖所示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。解法一：2232131