信號與系統(tǒng)(西交版)ChapterThree

1、FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS第第3章章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示周期信號的傅里葉級數(shù)表示本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：. . 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析. . LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析. . 傅立葉級數(shù)的性質(zhì)傅立葉級數(shù)的性質(zhì)3.0 引言引言 Introduction v時域分析方法的基礎：時域分析方法的基礎：1)1)信號在時域的分解。信號在時域的分解。2)LTI系統(tǒng)滿足線性、時不變性。系統(tǒng)滿足線性、時不變性。2.具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。 1.本身簡單，且本身簡

2、單，且LTI系統(tǒng)對它的響應能簡便得到。系統(tǒng)對它的響應能簡便得到。v 從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足兩個要求：足兩個要求：3.1歷史的回顧歷史的回顧 （A Historical Perspective）任何科學理論任何科學理論, , 科學方法的建立都是經(jīng)過許多科學方法的建立都是經(jīng)過許多人不懈的努力而得來的人不懈的努力而得來的, , 其中有爭論其中有爭論, , 還有人為還有人為之獻出了生命。之獻出了生命。 歷史的經(jīng)驗告訴我們歷史的經(jīng)驗告訴我們, , 要想在要想在科學的領域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗?？茖W的領域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今

3、天我們將要學習的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲今天我們將要學習的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領域已發(fā)揮了巨大的作用。析方法在許多領域已發(fā)揮了巨大的作用。v17681768年生于法國年生于法國v18071807年提出年提出“任何周任何周期信號都可以用正弦期信號都可以用正弦函數(shù)的級數(shù)來表示函數(shù)的級數(shù)來表示”v拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表v18221822年首次發(fā)表年首次發(fā)表“熱熱的分析理論的分析理論”v18291829年狄里赫

4、利第一年狄里赫利第一個給出收斂條件個給出收斂條件傅里葉生平傅里葉生平17681830傅里葉的兩個最重要的貢獻傅里葉的兩個最重要的貢獻v“周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信 號的加權和號的加權和”傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點v“非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來表示表示”傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點由時域分析方法有，由時域分析方法有，()( )( )( )( )s tstssty tehdehedH s e()( )( )( )( )nknknkky nzh kzh k zH z

5、z3.2 LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應The Response of LTI Systems to Complex Exponentialsstenz( )h n( )h tste( )y tnz( )y nv 考查考查LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號系統(tǒng)對復指數(shù)信號 和和 的響應的響應 可見可見LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應是很容易求得系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應是很容易求得的。這說明的。這說明 和和 符合對單元信號的第一項要符合對單元信號的第一項要求。求。stenz特征函數(shù)特征函數(shù) (Eigenfunction)v 如果系統(tǒng)對某一信號的響應只不過是該信號乘如果系統(tǒng)對某一信號的響應只不過

6、是該信號乘以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的特征函數(shù)特征函數(shù)。系統(tǒng)對該信號加權的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對系統(tǒng)對該信號加權的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對應的應的特征值特征值。結論：結論：v 只有復指數(shù)函數(shù)才能成為一切只有復指數(shù)函數(shù)才能成為一切LTI系統(tǒng)的特征系統(tǒng)的特征函函數(shù)。數(shù)。v 復指數(shù)函數(shù)復指數(shù)函數(shù) 、 是一切是一切LTI系統(tǒng)的特征函系統(tǒng)的特征函數(shù)。數(shù)。 、 分別是分別是LTI系統(tǒng)與復指數(shù)信號相對系統(tǒng)與復指數(shù)信號相對應的特征值。應的特征值。( )( )stH sh t edt( )( )nkH zh n zstenz( )H s( )H z對時域的任何一個信

7、號對時域的任何一個信號 或者或者 , ,若能將若能將其表示為下列形式：其表示為下列形式：( )x t( )x ntststseaeaeatx321321)(利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性nkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：* *問題：問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數(shù)信號的究竟有多大范圍的信號可以用復指數(shù)信號的線性組合來表示？線性組合來表示？tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有所以有111( )s ts teH s e222()s ts teH

8、s e333( )s ts teH s e由于由于Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，一一. 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)0( )jktkte02k02 成諧波關系的復指數(shù)信號集成諧波關系的復指數(shù)信號集: ，其中每個信號都是以，其中每個信號都是以 為周期的，它們的公共周期為為周期的，它們的公共周期為 ，且該集合，且該集合中所有的信號都是彼此獨立

9、的。中所有的信號都是彼此獨立的。 0, 1, 2,k 例例1 1：0( )cosx tt001122jtjtee 顯然顯然 也是以也是以 為周期的。該級數(shù)就是為周期的。該級數(shù)就是傅里傅里葉級數(shù)葉級數(shù)， 稱稱為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。 這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，即即: : 連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復指數(shù)連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量諧波分量。02( )x tka0( ),0, 1, 2jktkkx ta ek有有例例2 2：00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjte

10、eee顯然該信號中，有兩個諧波分量，顯然該信號中，有兩個諧波分量， 為相應為相應分量的加權因子分量的加權因子即傅立葉系數(shù)即傅立葉系數(shù)112a在該信號中，有四個諧波分量，即在該信號中，有四個諧波分量，即, 3, 1 k時對應的諧波分量。時對應的諧波分量。傅里葉級數(shù)表明：傅里葉級數(shù)表明：連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉級數(shù)分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量的線性組合。級數(shù)分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量的線性組合。二二. .頻譜頻譜（Spectral）的概念的概念 在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量）在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量） 間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復數(shù)）和頻

11、率不同。間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的頻率。線段的位置表示相應的頻率。t( )kt 信號集信號集 中的每一個信號，除了成諧波關中的每一個信號，除了成諧波關系外，每個信號隨時間系外，每個信號隨時間 的變化規(guī)律都是一樣的，的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。差別僅僅是頻率不同。01分量分量 可表示為可表示為0jte 因此，當把周期信號因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數(shù)表示為傅里葉級數(shù) 時時，就可以將就可以將 表示為表示為( )x t( )x t0( )jktkkx t

12、a e這樣繪出的圖這樣繪出的圖稱為稱為頻譜圖頻譜圖1212000000a1a2a3a3a2a1agggggggg0001cos()2jtjttee表示為表示為 頻譜圖其實就是將頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布表示出來，隨頻率的分布表示出來，即即 的關系。由于的關系。由于信號的頻譜完全代表了信號的頻譜完全代表了信號信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為這種表示信號的方法稱為頻域表示法頻域表示法。kaka三.傅里葉級數(shù)的其它形式傅里葉級數(shù)的其它形式 0000*( )jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea ea ea e

13、kkaa或或*kkaa 若若 是實信號是實信號, ,則有則有)()(txtx，于是，于是( )x t若令若令kjkkaA e，則，則 為實數(shù)。于是為實數(shù)。于是0a0001kkjktjjktjkkkaA eeA ee0001()()01( )kkkjjktj ktj ktkkkkkkx tA eeaA eA e*kkjjkkkkaaA eA eQ即即：kkAAkk 表明表明 的的模關于模關于 偶對稱偶對稱，幅角關于幅角關于 奇對稱奇對稱。kakk0001( )kkjktjjktjkkkx taA eeA ee0012cos()kkkaAkt 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式k

14、kkaBjC 若令若令則則00101( )()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC e0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe*kkaaQkkkkBjCBjC因此因此kkBBkkCC即即 的的實部關于實部關于 偶對稱偶對稱，虛部關于虛部關于 奇對稱奇對稱。kakk0001( )()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt 傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式將此關系代入，可得到將此關系代入，可得到四四. .連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定00()( )jntj k

15、 ntkkx t ea e對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有0000()00( )TTjntj kntkkx t edtaedt0( ),jktkkx ta e002T( )x t則有則有如果周期信號如果周期信號 可以表示為傅里葉級數(shù)可以表示為傅里葉級數(shù)0000()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt0000( )Tjntnx t edta T00001( )Tjntnax t edtT即即00,Tknkn 在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此

16、可表示為對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為0001( )jktkTax t edtT0001( )Tax t dtT是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。0a五五. .周期性矩形脈沖信號的頻譜周期性矩形脈沖信號的頻譜1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT 101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa( )xxxsinsinc( )xxx其中其中10T0Tt( )x t 根據(jù)根據(jù) 可繪出可繪出 的頻譜圖。的頻譜圖。 稱為占空比稱為

17、占空比ka( )x t102TT0( )Sa x1x0121sin ( )c x1x110212TT10214TT10218TT不變不變 時時0T1T 10212TT10214TT10218TT1T不變不變 時時0T 周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 1. 離散性離散性 2. 2. 諧波性諧波性 3. 3. 收斂性收斂性 考查周期考查周期 和脈沖寬度和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：改變時頻譜的變化：0T12T1.1. 當當 不變，改變不變，改變 時，隨時，隨 使占空比減小，使占空比減小，譜譜線間隔變小，幅度下降線間隔變小，幅度下降。但。但頻譜包絡的形狀不變頻譜包

18、絡的形狀不變，包絡主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。包絡主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。2.2. 當當 改變，改變， 不變時，隨不變時，隨 使占空比減小，使占空比減小，譜譜線間隔不變，幅度下降線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變頻譜的包絡改變，包絡包絡主瓣變寬主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。1T1T 0T0T 1T0T當當 時，有時，有( )()x txt0000220020012( )( )cosTTjktTkax t edtx tktdtTT當當 時，有時，有( )()x txt 0000220020012( )( )sinTTjktTkax t edtjx tkt

19、dtTT 表明：表明：奇信號的奇信號的 是關于是關于 的奇函數(shù)、虛函數(shù)。的奇函數(shù)、虛函數(shù)。kak表明：表明：偶信號的偶信號的 是關于是關于 的偶函數(shù)、實函數(shù)。的偶函數(shù)、實函數(shù)。kak信號對稱性與頻譜的關系：信號對稱性與頻譜的關系：3.4 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂 這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)。一一. . 傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似若若 以以 為周期為周期0( )jktkkx ta e0

20、02T( )x t0T用有限個諧波分量近似用有限個諧波分量近似 時，有時，有( )x t0( )NjktNkkNxta eConvergence of the Fourier series誤差為誤差為( )( )( )NNetx txt 以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為00220011( )( )( )( )NNNTTEtetdtx txtdtTT000*01( )( )NNjktjktkkTkNkNx ta ex ta edtT于是：于是：0220012)( )cos()NNNkkkkkTkNkNEtx tdtAABTT（結論：在均方誤差最

21、小的準則下，傅里葉級數(shù)結論：在均方誤差最小的準則下，傅里葉級數(shù)是對是對周期信號的最佳近似。周期信號的最佳近似。 在均方誤差最小的準則下，可以證明，此時在均方誤差最小的準則下，可以證明，此時應滿足：應滿足：ka0001( )jktkTax t edtT這就是傅氏級數(shù)的系數(shù)這就是傅氏級數(shù)的系數(shù)其中其中kjkkaA e00( ),kjktjkTx t edtB e00( )kjktjkTx t edtB e二二. . 傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義： 是否存在是否存在? ? 級數(shù)是否收斂于級數(shù)是否收斂于 ? ?( )x tka 兩組條件：兩組條件：

22、1.平方可積條件：平方可積條件： 如果如果 則則 必存在。必存在。 在一個周期內(nèi)能量有限，在一個周期內(nèi)能量有限， 一定存在。一定存在。ka02( )Tx tdt ka( )x tQ 2. Dirichlet條件：條件： ，在任何周期內(nèi)信號絕對可積。，在任何周期內(nèi)信號絕對可積。 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值為有限值。為有限值。 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信號絕對可積就保證了因此，信號絕

23、對可積就保證了 的存在。的存在。ka這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數(shù)這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數(shù)收斂的收斂的充分條件充分條件。相當廣泛的信號都能滿足這兩組。相當廣泛的信號都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具有相當?shù)钠毡檫m用性有相當?shù)钠毡檫m用性。幾個不滿足幾個不滿足Dirichlet條件的信號條件的信號三三. .Gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象 滿足滿足 Dirichlet 條件條件的信號，其傅里葉級數(shù)是如的信號，其傅里葉級數(shù)是如何收斂于何收斂于 的。特別當?shù)?。特別當 具有間斷點時，在間具有間斷點時，在間斷點附近，如何收

24、斂于斷點附近，如何收斂于 ? ?( )x t( )x t( )x t1N 3N 7N 19N 100N 用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時，用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時，在間斷點附近不可避免的在間斷點附近不可避免的會會出現(xiàn)振蕩和超量。超出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少縮，從而使它所占有的能量減少。Gibbs現(xiàn)象表明：現(xiàn)象表明：Properties of Continuous-Time Fourier

25、Series3.5 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)學習這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進學習這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進行級數(shù)展開。行級數(shù)展開。一一. . 線性：線性：若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT則則( )( )FkkAx tBy tAaBb 二二. .時移時移: :三三. .反轉反轉: :0 00()jktFkx tta e ( )Fkx ta 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT則則02T若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且(

26、 )x tT( )Fkx ta 則則()Fkxta 四四. .尺度變換尺度變換: : 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 則則 以以 為周期，于是為周期，于是()x at/T a0/()()jkatFkTaax atbx at edtT 令令 ，當，當 在在 變化時，變化時， 從從 變化，變化，att0 /T a0T于是有：于是有：01( )jkkkTbxedaT ()Fkkx atba 五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT則則01( )(

27、)( ) ( )jktFkTx ty tCx t y t edtT g001( )jltjktklTlCa ey t edtTg也即也即0()1( )j k ltkllk lTllCay t edta bT( ) ( )Flk lkklx t y ta bab 六六. .共軛對稱性共軛對稱性: :若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 則則katx)(由此可推得，由此可推得，對實信號有對實信號有： 或或kkaakkaakjkkaA e時有：時有：kkkkAA 當當七七. .Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：表明：一個周期信

28、號的平均功率就等于它所有諧波一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.1對實信號，對實信號，當當 時，時，( )()x txtkkaa（實偶函數(shù)）（實偶函數(shù)）當當 時，時，( )()x txt kkaa （虛奇函數(shù)）（虛奇函數(shù)）kkkaBjC時有：時有：kkkkBBCC 當當例例1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211( )TjktkTat edtTT01( )jktkx teT02T)(tg101T1T-TTt例例2：周期性矩形脈沖：周期性矩形脈沖)()()(11TtxTtxtg將其微分后，可利用例將其微分后，可

29、利用例1表示為表示為設設( )( )FFkkg tcg tb 由時域微分性質(zhì)有由時域微分性質(zhì)有0kkbjkc根據(jù)時移特性，有根據(jù)時移特性，有0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT由例由例1知知1/kaT02 /T0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT( )g t 1t01T1T1TT1TTFourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals一一. .離散時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)（DFS） Discrete-Time Fourier Series 考察成諧波關

30、系的復指數(shù)信號集考察成諧波關系的復指數(shù)信號集: : 該信號集中每一個信號都以該信號集中每一個信號都以 為周期，且該集合中為周期，且該集合中只有只有 個信號是彼此獨立的。個信號是彼此獨立的。 2( )jknNkneNN3.6 離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示 這個級數(shù)就稱為這個級數(shù)就稱為離散時間傅里葉級數(shù)（離散時間傅里葉級數(shù)（DFS），其中其中 也稱為周期信號也稱為周期信號 的頻譜。的頻譜。ka( )x n二二. . 傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定給給 兩邊同乘以兩邊同乘以 ，得：，得：2( )jknNkkNx na e2jrnNe 將這將這 個獨立的信

31、號線性組合起來，一定能表個獨立的信號線性組合起來，一定能表 示一個以示一個以 為周期的序列。即：為周期的序列。即：2( )jknNkkNx na e其中其中 為為 個相連的整數(shù)個相連的整數(shù)NNNk22()( )jrnjk r nNNkkNx n ea e222()()( )jrnjk r njk r nNNNkknNnN kNkNnNx n ea eae 2( )jrnNrnNx n eNa22() 21()()0,2()011j k rNjk r njk r nNNNj k rnNnNeeee而而 krkr顯然顯然 仍是以仍是以 為周期的，對兩邊求和為周期的，對兩邊求和2( )jrnNx n

32、 eN21( )jrnNrnNax n eN21( )jknNknNax n eN即即或或對實信號同樣有對實信號同樣有：kkaakkaakkaa RRReRekkaaImImkkaa 顯然上式滿足顯然上式滿足 ，即，即 也是以也是以 為周為周期的，或者說期的，或者說 中只有中只有 個是獨立的個是獨立的。kNkaakakaNN三三. .周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe 顯然顯然 的包絡具有的包絡具有 的形狀。的形狀。kasinsi

33、nxx121kNaNkrN時時1sin(21)1sinkNNNkN0, 2 ,kNNkkk1220NN1110NN1210NN周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜u 當當 不變、不變、 時，頻譜的時，頻譜的包絡形狀不變包絡形狀不變，只是只是幅度減小，譜線間隔變小幅度減小，譜線間隔變小。u 當當 改變、改變、 不變時，由于不變時，由于 的包絡具有的包絡具有 的形狀，而的形狀，而 ，可知其包絡可知其包絡形狀一定形狀一定發(fā)生變化。當發(fā)生變化。當 時，包絡的第一個時，包絡的第一個零點會遠離零點會遠離原點從而使原點從而使頻譜主瓣變寬頻譜主瓣變寬。這一點。這一點也與連續(xù)時間周期矩形也與連續(xù)時間周期矩形

34、脈沖的情況類似。脈沖的情況類似。1N1NNN kasinsinxx121N1N 三三. . DFS的收斂的收斂 DFS 是一個有限項的級數(shù)，確定是一個有限項的級數(shù)，確定 的關系的關系式也是有限項的和式，因而式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題不存在收斂問題，也，也不會產(chǎn)生不會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象。ka 周期序列的頻譜也具有周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性離散性、諧波性，當在，當在 區(qū)間區(qū)間 考查時考查時，也具有具有收斂性收斂性。不同的是，。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有離散時間周期信號的頻譜具有周期性周期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷積周期卷積Properties of

35、 Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性質(zhì)的性質(zhì)DFS有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。( )DFSkx na ( )DFSky nb ( ) ( )DFSklk llNx n y ncab ( )DFSkx na 00( )()(1)j nDFSkx nx nnea 3. 時域內(nèi)插時域內(nèi)插( )mx n ( / )x n m0nrmnrm若若 以以N為周期，為周期，( )x n則則 以以mN為周期。為周期。( )mxn( )Fmkxnh 令令21( )jknmNkmnmNhxn emN令令 ，則有，則有nrm時時0 nm

36、N0 rN22111( )( )jkrmjkrmNNkkrNrNhx r ex r eamNmNm4. Paseval定理定理左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是信號的各次諧波的總功率。信號的各次諧波的總功率。 這表明：這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。有諧波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信號的功周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。221| ( )|knNkNx naN( )DFSkx na 3.8 傅里葉級數(shù)與傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)系統(tǒng)Fourier Series and LTI Systems LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信系統(tǒng)對復指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信號加權了一個相應的特征值。號加權了一個相應的特征值。( )( )stH sh t edt對連續(xù)時間系統(tǒng)對連續(xù)時間系統(tǒng)對離散時間系統(tǒng)對離散時間系統(tǒng)( )( )nnH zh n z、 被被稱稱為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)。( )H s( )H z如果如果sj則則()( )j tH jh t e