2019年全國統(tǒng)一高考數學試卷文科以及答案解析全國2卷

1、絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國2卷）文科數學本試卷共23題，共150分，共4頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3 .請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4 .作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共1

2、2小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. (5分)已知集合A=x|x>1,B=x|x<2,則AAB=()A.(-1,+8)B.(一巴2)C.(-1,2)D.?2. (5分)設z=i(2+i),貝Uz=()A.1+2iB.1+2iC.1-2iD.-1-2i3. (5分)已知向量3=(2,3),b=(3,2),則|2b|=()A.V2B.2C.5/2D.504. (5分)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為（）D5. （5分）在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對

3、成績進行預測.甲：我的成績比乙高.乙：丙的成績比我和甲的都高.丙：我的成績比乙高.成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6. （5分）設f（x）為奇函數，且當x>0時，f（x）=ex-1,則當x<0時，f（x）=（）第1頁（共15頁）B.ex+1C.-ex-17.（5分）設a,3為兩個平面，則all3的充要條件是（a內有無數條直線與3平行8.9.C.a,(5分)(5分)3平行于同一條直線3垂直于同一平面2若拋物線y2x2=3”是函數f（x）=sincox（3>0）兩個相鄰的極

4、值點，則3=4C.1D-122=2px（p>0）的焦點是橢圓+=1的一個焦點，則p=（）3Ppa內有兩條相交直線與3平行D.C.410.（5分）曲線y=2sinx+cosx在點（兀，-1）處的切線方程為（A.xy兀1=0B.2xy2兀1=0C.2x+y-2tt+1=0D.x+y兀+1=011. （5分）已知aC(0),2sin2a=cos2a+1,則sina=C.D.2立T22XV12. （5分）設F為雙曲線C:F-上亍=1（a>。,qbb>0）的右焦點,O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為（C.2二、填空題：

5、本題共4小題，每小題5分，共20分。13. （5分）若變量x,y滿足約束條件,2北+3y-6)0,武廣340,則z=3x-y的最大值是y-2<0,14. （5分）我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為15. （5分）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,貝UB=第2頁（共15頁）16. （5分）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南

6、北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17. （12分）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在AAi上,BEXEC1.（1）證明：BE，平面EB1C1；（2）若AE=A

7、1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.18. （12分）已知an是各項均為正數的等比數列，a1=2,33=232+16.（1）求an的通項公式；（2）設bn=log2an,求數列bn的前n項和.100個企業(yè),19. （12分）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產情況，隨機調查了第3頁（共15頁）y的分組-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企業(yè)數22453147得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表.(1)分別估計這類企業(yè)中產值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產值負增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產值增長

8、率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附：7=8.602.2220. (12分)已知Fl,F2是橢圓C:工+2=1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上的點，”b2O為坐標原點.(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點P,使得PF11PF2,且4F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.21. (12分)已知函數f(x)=(x-1)lnx-x-1,證明：(1) f(x)存在唯一的極值點；(2) f(x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果

9、多做，則按所做的第一題計分。選彳4-4:坐標系與參數方程(10分)22. (10分)在極坐標系中，O為極點，點M(p0,00)(P0>0)在曲線C:p=4sin。上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當。0=工時，求2及l(fā)的極坐標方程；3(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.選彳4-5:不等式選講(10分)23.已知f(x)=|x-a|x+|x2|(xa).(1)當a=1時，求不等式f(x)v0的解集；(2)當xC(-8,1)時，f(x)<0,求a的取值范圍.第4頁(共15頁)2019年全國統(tǒng)一高考數學答案解析(文科)(全國2卷)一、選擇

10、題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1【分析】直接利用交集運算得答案.【解答】解：由A=x|x>-1,B=x|xv2,-12得AAB=x|x>1Ax|x<2=(-1,2).故選：C.【點評】本題考查交集及其運算，是基礎題.2【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共軻復數的概念得答案.【解答】解：1-z=i(2+i)=-1+2i,E=-1-2i,故選：D.【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.3.【分析】利用向量的坐標減法運算求得a-b的坐標，再由向量模的公式求解.【解答】解：=a=

11、(2,3),b=(3,2),a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),1V|=d(T)2+12=0.故選：A.【點評】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量模的求法，是基礎題.4【分析】本題根據組合的概念可知從這5只兔子中隨機取出3只的所有情況數為C?，恰有2只測量過該指標是從3只側過的里面選2,從未測的選1,組合數為即可得出概率.【解答】解：由題意，可知：根據組合的概念，可知：第5頁(共15頁)從這5只兔子中隨機取出3只的所有情況數為r3,恰有2只測量過該指標的所有情況數為2cl.邛=宜1=色.月5故選：B.【點評】本題主要考查組合的相關概念及應用以及簡單的概率知識，本題屬基礎題.5【分析

12、】本題可從三人預測中互相關聯(lián)的乙、丙兩人的預測入手，因為只有一個人預測正確，而乙對則丙必對，丙對乙很有可能對，假設丙對乙錯則會引起矛盾故只有一種情況就是甲預測正確乙、丙錯誤，從而得出結果.【解答】解：由題意，可把三人的預測簡寫如下：甲：甲乙.乙：丙乙且丙甲.丙：丙乙.只有一個人預測正確，分析三人的預測，可知：乙、丙的預測不正確.如果乙預測正確，則丙預測正確，不符合題意.如果丙預測正確，假設甲、乙預測不正確，則有丙乙，乙甲，,乙預測不正確，而丙乙正確，只有丙甲不正確，甲丙，這與丙乙，乙甲矛盾.不符合題意.，只有甲預測正確，乙、丙預測不正確，甲乙，乙丙.故選：A.【點評】本題主要考查合情推理，因為

13、只有一個人預測正確，所以本題關鍵是要找到互相關聯(lián)的兩個預測入手就可找出矛盾.從而得出正確結果.本題屬基礎題.6 【分析】設x<0,則-x>0,代入已知函數解析式，結合函數奇偶性可得xv0時的f(x).【解答】解：設x<0,則-x>0,第6頁(共15頁)f(-x)=ex-1,設f(x)為奇函數，-f(x)=eX-1,即f(x)=-ex+i.故選：D.【點評】本題考查函數的解析式即常用求法，考查函數奇偶性性質的應用，是基礎題.7 .【分析】充要條件的定義結合面面平行的判定定理可得結論【解答】解：對于A,a內有無數條直線與3平行，“n3或a/3;對于B,a內有兩條相交直線與3

14、平行，a/3;對于C,a,3平行于同一條直線，加3或all3；對于D,a,3垂直于同一平面，加3或a/3-故選：B.【點評】本題考查了充要條件的定義和面面平行的判定定理，考查了推理能力，屬于基礎題.TTTT7TTTT8【分析】xi=，x2=-一是f(x)兩個相鄰的極值點，則周期T=2(金一一)=冗，4444然后根據周期公式即可求出口.【解答】解：丁xi=,x2=3”是函數f(x)=sincox(w>0)兩個相鄰的極值點,44.T=23=2,【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質，關鍵是根據條件得出周期，屬基礎題.9【分析】根據拋物線的性質以及橢圓的性質列方程可解得.【解答】解：由題意可得

15、：3p-p=(?)2,解得p=8.【點評】本題考查了拋物線與橢圓的性質，屬基礎題.10【分析】求出原函數的導函數，得到函數在x=兀時的導數，再由直線方程點斜式得答案.【解答】解：由y=2sinx+cosx,得y'=2cosx-sinx,y|x=兀=2cos兀sin兀=2,第7頁(共15頁)，曲線y=2sinx+cosx在點（兀，-1）處的切線方程為y+1=-2（x-兀），即2x+y2兀+1=0.故選：C.【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，熟記基本初等函數的導函數是關鍵，是基礎題.一.一一一,2，一，一一,11 .【分析】由二倍角的二角函數公式化間已知可得4sinac

16、osa=2cosa,結合角的氾圍可求sina>0,cosa>0,可得cosa=2sina,根據同角三角函數基本關系式即可解得sina的值.【解答】解：-.12sin2a=cos2a+1,2，可得：4sinacosa=2cosa,.aC（0,），sina>0,cosa>0,2cosa=2sina,-sina+cosa=sin+（2sina）=5sina=1,，解得：sina=-.5故選：B.【點評】本題主要考查了二倍角的三角函數公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.12 .【分析】由題意畫出圖形，先求出PQ,再由|PQ|=|O

17、F|列式求C的離心率.【解答】解：如圖，再由|PQ|=|OF|,得二c,即2a2=c2,2-y=2,解得e=£R!La第8頁（共15頁）故選：A.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案.化目標函數z=3x-y為y=3x-z,由圖可知，當直線y=3x-z過A(3,0)時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為9.故答案為：9.【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題

18、.14【分析】利用加權平均數公式直接求解.【解答】解：二.經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,，經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為：一1,、2(10X0.97+20X0.98+10X0.99)=0.98.10+20+10故答案為：0.98.【點評】本題考查經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值的求法，考查加權平均數公式等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.15.【分析】由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB+sinAcosB=0,由于sinA>0,化簡可得，一、一、

19、,3wtanB=-1,結合范圍BC(0,兀)，可求B的值為一;一.第9頁(共15頁)【解答】解：bsinA+acosB=0,由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB=0,AC（0,兀），sinA>0,.可得：sinB+cosB=0,可得：tanB=-1,BC（0,兀），b=2L.4故答案為：JLL.4【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數基本關系式，特殊角的三角函數值在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.16【分析】中間層是一個正八棱柱，有8個側面，上層是有8+1,個面，下層也有8+1個面，故共有26個面；半正多面體的棱長為中間層正八棱柱的棱長加上兩個

20、棱長的cos45=返倍.2【解答】解：該半正多面體共有8+8+8+2=26個面，設其棱長為x,則x+返x+返x=1,22解得x=加-1.故答案為：26,范一1.【點評】本題考查了球內接多面體，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17【分析】（1）由線面垂直的性質可得B1C11BE,結合BELEC1利用線面垂直的判定定理可證明BE,平面EB1C1；（2）由條件可得AE=AB=3,然后得到E到平面BBiCiC的距離d=3,在求四棱錐的體積即可.【解答】

21、解：（1）證明：由長方體ABCD-AiBiCiDi,可知Bi"平面ABB1A1,BE?平面ABBiAi,B1C1XBE,BEXECi,BiCinECi=Ci,.BE,平面EB£i；第10頁（共15頁）（2）由（1）知/BEBi=90°,由題設可知RtAABERtAAiBlE, ./AEB=/AiEBl=45°,AE=AB=3,AAi=2AE=6, .在長方體ABCDAiBiClDl中，AA“/平面BBiClC,ECAA1,AB,平面BBiCiC, .E到平面BBiCiC的距離d=AB=3, 四棱錐E-BBiCiC的體積V=Lx3X6X3=i8.3【點評】

22、本題考查了線面垂直的判定定理和性質，考查了四棱錐體積的求法，屬中檔題.18 .【分析】（i）設等比數列的公比，由已知列式求得公比，則通項公式可求；（2）把（i）中求得的an的通項公式代入bn=log2an,得到bn,說明數列bn是等差數歹U,再由等差數列的前n項和公式求解.【解答】解：（i）設等比數列的公比為q,由ai=2,a3=2a2+i6,得2q=4q+i6,即q22q8=0,解得q=2（舍）或q=4.%二為產、2乂產1二291；（2） bn=|og2an=0g工產-二bi=i,bn+ibn=2（n+i）i2n+i=2,，數列bn是以i為首項，以2為公差的等差數列，則數列bn的前n項和【點

23、評】本題考查等差數列與等比數列的通項公式及前n項和，考查對數的運算性質，是基礎題.19 .【分析】（i）根據頻數分布表計算即可；（2）根據平均值和標準差計算公式代入數據計算即可.【解答】解：（i）根據產值增長率頻數表得，所調查的i00個企業(yè)中產值增長率不低于40%的企業(yè)為：14+7'=0.2i=2i%,100?廣值負增長的企業(yè)頻率為：=0.02=2%,100用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產值增長率不低于40%的企業(yè)比例為2i%,產值負增長的企業(yè)比例為2%;第11頁（共15頁）(2)企業(yè)產值增長率的平均數1-0.1X2+0.1X24+0.3X53+0.5X14+0.7X7=0.3

24、=30%,產值增長率的方程s215y100二1=1(-0.4)2X2+(-0.2)2x24+02X53+0.22X14+0.42X7100=0.0296,，產值增長率的標準差s=/q7q295=0.02X740.17,這類企業(yè)產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為30%,17%.【點評】本題考查了樣本數據的平均值和方程的求法，考查運算求解能力，屬基礎題.20【分析】（1）根據POF2為等邊三角形，可得在F1PF2中，/F1PF2=90°,在根據直角形和橢圓定義可得；根據三個條件列三個方程，解方程組可得I,根據x2=4/九所以c2>b2,從而a2=b2+c2>2b2=32

25、,故a>4方,【解答】解：（1）連接PF1,由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中,ZF1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=/lc,于是2a=|PF1|+|PF2|=(夷+1)c,故曲線C的離心率e=V3-1.a（2）由題意可知，滿足條件的點P（x,v）存在當且僅當：-l|y|?2c=16,2工?*=-1,x+ck-c2j2a即c|y|=16,x2+y2=c2,由及a2=b2+c2得2；,y2=1,又由知b2),所以c2>b2,從而a2=b2+c2>2b2=32,故an4v2第12頁（共15頁）當b=4,aR4&時，存在滿足條件的點P.所以b=4

26、,a的取值范圍為4證,+8).【點評】本題考查了雙曲線的性質，屬中檔題.21 .【分析】(1)推導出f(x)的定義域為(0,+°°),，(x)=lnx-,從而f'(x)單x調遞增，進而存在唯一的xoc(1,2),使得f1(xo)=0.由此能證明f(x)存在唯一的極值點.(2)由f(xo)vf(1)=2,f(e2)=e2-3>0,得到f(x)=0在(x°,+)內存在唯一的根x=a,由a>x0>1,得工<1<km從而工是f(x)=0在(0,x°)的唯一a°a根，由此能證明f(x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根

27、互為倒數.【解答】證明：(1);函數f(x)=(x-1)lnx-x-1. .f(x)的定義域為(0,+8),、¥1-J1f(x)Hnx-1=lnx,XX y=lnx單調遞增，y=L單調遞減，f，(x)單調遞增，x又f(1)=-1v0,f(2)=ln2-=-r.t>0,22 存在唯一的x0C(1,2),使得f'(x0)=0.當xvxo時，f'(x)<0,f(x)單調遞減，當x>x0時，f'(x)>0,f(x)單調遞增， .f(x)存在唯一的極值點.(2)由(1)知f(vf(1)=2,又f(e2)=e2-3>0,，f(x)=0在(x0,+8)內存在唯一的根x=a,由a>x0>1,得!au ,f()=(ln-1=-=0,aa.aaa是f(x)=0在(0,xo)的唯一根，a綜上，f(