上海地區(qū)高一數(shù)學(xué)知識點歸納

1、上海高一數(shù)學(xué)知識點歸納第一章集合與命題1.1集合與元素(1)集合的概念常把能夠確切指定的一些對象看作一個整體，這個整體就叫做集合(2)集合中的元素集合中的各個對象叫做這個集合的元素，集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是aM,或者aM,兩者必居其一.(4)集合的表示法自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾狭信e法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合描述法：x|x具有的性質(zhì),其中x為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空

2、集().(6)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.1.2集合與集合名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集AB(或BA)A中的任一元素都WTB(1)AA(2)A若AB且BC,則AC若AB且BA,則AB(E真子集AB(或BA)AB,且B中至少有一元素不屬于A(1)A(A為非空子集)(2)若AB且BC,則AC集合相等ABA中的任一元素都屬于B,B中的toOWTa(1)AB(2)BA(1(b)重要結(jié)論：已知集合A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它2n1個非空子集，它有2n2非空真子集1.3集合的基本運算交集、并集、補集名稱記號意

3、義性質(zhì)示意圖交集ABx|xA,且xB(1) A(2) A(3) AA1nrnAABABBSO并集aUbx|xA,或xB(1) A(2) A(3) AAJu4LJAAABABBQb)補集CuAx|xU,且xACuABCuACuBCuABCuACuBVU(a)1.4命題的形式及等價關(guān)系(1)命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.“若p,則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.(2)逆命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題。若原命題為“若p,則q"，它的

4、逆命題為“若q,則p”.(3)否命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題若原命題為“若p,則q"，則它的否命題為“若p,則q”.(4)逆否命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若p,則q"，則它的否命題為“若q,則p1.5 充分條件與必要條件充分條件、必要條件、充要條件如果PQ,那么P是Q的充分條件，Q是P的必要條件。如果

5、PQ,那么P是Q的充要條件。也就是說，命題P與命題Q是等價命題。1.6 命題的運算命題的非運算命題的且運算命題的或運算1.7 抽屜原則與平均數(shù)原則第二章不等式2.1 不等式的基本性質(zhì)1 .如果ab,bc;刃B么ac.2 .如果ab,那么acbc.3 .如果ab,c0,那么acbc:如果ab,c0,那么acbc.4 .如果ab,cd,那么acbd.5 .如果ab0,cd0,那么acbd.116 .如果ab0,那么011.ab7 .如果ab0,那么anbn(nN).8 .如果ab0,那么n/avb(nN,n1).2.2 一元二次不等式的解法這個知識點很重要，可根據(jù)與0的關(guān)系來求解，注意解的區(qū)間的表

6、示，不等式組也是一樣。解分式不等式的方法就是將它轉(zhuǎn)化為解整式不等式。求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且ab,滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足axb的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足axb,或axb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做a,b),(a,b；滿足xa,xa,xb,xb的實數(shù)x的集合分別記做

7、a,),(a,),(,b,(,b).注意：對于集合x|axb與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必須ab,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立)2.3 其他不等式的解法(1)分式不等式的解法先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則0f(x)g(x)0g(x)f(x)0f(x)g(x)0g(x)g(x)0規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解時同理)不等式解集|x|a(a0)x|axa|x|a(a0)x|xa或xa|axb|c,|axb|c(c0)把axb看成一個整體，化成|x|a,|x|a(a0)型不等式來求解(2)含絕對值不等式的解法兩個基本不等式:1.對任意實數(shù)a和b,有a2b22ab,當(dāng)

8、且僅當(dāng)ab時等號成立。2,對22任意正數(shù)a和b,有a22卜2Tab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立。我們把-b和序分2別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。(3)無理不等式的解法方法：將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式求解，,'f(x)-a(a0)f(x)0f(x)a2f(x)0f(x)a2f(x)0、,f(x)g(x)-f(x)0g(x)0或2g(x)0f(x)g(x)2_f(x)0f(x)g(x)g(x)0_2f(x)g(x)_f(x)0f(x).g(x)g(x)0f(x)g(x)（4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向

9、,寫出不等式的解集.2.4 基本不等式及其應(yīng)用.2.2_._1. ab2aba,bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取""號）.2. abaaba,bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取到等號）.2用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.2.5 不等式的證明常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；數(shù)學(xué)歸納法等.其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法,常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如（a工）23（a-）2;242將分子或分母放大（縮?。?111-2,-2k2k(k1)k2k(k1)*N,k1)第三章.函數(shù)的基本

10、性質(zhì)3.1 函數(shù)的概念D內(nèi)的每一個確定的在某個變化過程中有兩個變量x,y,如果對于x在某個實數(shù)集合值，按照某個對應(yīng)法則f,y都有唯一確定的實數(shù)值與它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù).記作：yfxxDx是自變量D是定義域與x對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值函數(shù)值的集合是值域3.2 函數(shù)關(guān)系的建立函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則.表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.3.3 函數(shù)的運算函數(shù)的和:3.4 函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)

11、定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任個x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做育函算.士(-a.f)(3.f)©nk(1)利用定義(要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱)利用圖象(圖象關(guān)于原點對稱)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任個x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).y(-a,f(-a)(a,f(a)SC(1)利用定義(要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱)利用圖象(圖象關(guān)于y軸對稱)-aoax若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0.(2)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間

12、上的任意兩個自變量的值xi、x2,當(dāng)xi<x2時,都有f(xi)<f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).yy=f(X)/)w)1oxix2x(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象上升為增)(4)利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xi、x2,當(dāng)xi<x2時,都有f1(x.i).)>f(x.2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函用.yf(x1)y=f(X)fd)(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)ox】x2x在公共定義域內(nèi)，兩個增

13、函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).(3)函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的xI,都有f(x)M；(2)存在I,使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmax(X)M.一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)m滿足：(1)對于任意的xI,都有f(x)m;(2)(2)存在刈I,使得f(xo)m.那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fmax(x)m.(4)函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

14、yf(x)(xD)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點.3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)yf(x)的零點： (代數(shù)法)求方程f(x)0的實數(shù)根； (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的第四章幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.1 哥函數(shù)的性質(zhì)（1）募函數(shù)的定義般地，函數(shù)yx叫做哥函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù).（2）募函數(shù)的圖象（3）哥函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：哥函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖

15、象.哥函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于y軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點對稱）；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的哥函數(shù)在（0,）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.單調(diào)性：如果0,則募函數(shù)的圖象過原點，并且在0,）上為增函數(shù).如果0,則募函數(shù)的圖象在（0,）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，哥函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，哥函數(shù)為偶函數(shù).4.2 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a1/0a1yJy1xyay(0.1)x.yaiy(0.1)OxOx定義域R

16、值域(0,)過定點圖象過定點(0,1)，即當(dāng)x0時，y1.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響在笫一象限內(nèi)，a越大圖象越局；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.(趨勢)4.3對數(shù)概念及其運算(1)對數(shù)的定義若aN(a0,且a1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0).(2)幾個重要的對數(shù)恒等式logal0,logaa1,logaabb.(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

17、常用對數(shù)：lgN,即10gl0N；自然對數(shù):lnN,即logeN(其中e2.71828).(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0,a1,M0,N0,那么加法：logaMlogaNloga(MN)減法：logaMlogaNlogaN數(shù)乘：nlogaMlogaMn(nR)alogaNNlogbMn-logaM(b0,nR)換底公式：logaN10gbN(b0,且b1)ablogba4.4反函數(shù)的概念(1)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為A,值域為C,從式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函

18、數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y),習(xí)慣上改寫成yf1(x).(2)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f(x)中反解出xf1(y)；將xf1(y)改寫成yf1(x),并注明反函數(shù)的定義域.反函數(shù)的性質(zhì)：原函數(shù)yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱.1函數(shù)yf(x)的te義域、值域分力1J是其反函數(shù)yf(x)的值域、定義域.若P(a,b)在原函數(shù)yf(x)的圖象上，則P'(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上.一般地，函數(shù)yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).4.5對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)ylogax

19、(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a10a110yLx1；ylogaxJzTTy1X1ylogax產(chǎn)。)一O/(1,0)X卜On定義域(0,)值域R過定點圖象過定點(1,0)，即當(dāng)x1時，y0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況logaX0(x1)logaX0(X1)logaX0(0X1)logaX0(x1)logaX0(x1)logaX0(0X1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.4.6 簡單的指數(shù)方程指數(shù)方程：我們把指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程1. 注意定義域2. 熟練使用指數(shù)對數(shù)運算公式3. 熟練

20、運用函數(shù)性質(zhì)，留意換元法4.7 簡單的對數(shù)方程對數(shù)方程：在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程第五章三角比5.1任意角及其度量(1)角的分類1、正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角.第一象限角的集合為k360：k360：90：,k第二象限角的集合為k360：90：k360：180',k11第三象限角的集合為k360：180；k360：270：,k第四象限角的集合為k360：270：k360（360）,k如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則也可以稱為軸線角

21、.終邊在x軸上的角的集合為k180：,k終邊在y軸上的角的集合為k180：9。!，k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90：,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k（2）角的弧度制1、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.2、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是-r力18013、弧度制與角度制的換算公式：2360，1荷，1573.5.2任意角的三角比1、三角比定義設(shè)角是一個任意角，將角置于平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點與原點O重合，的始邊與x軸的正半軸重合，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）,有點P到原點的距離為：rXx2|y|2Vx2y20sincostanco

22、tseccsc2、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正,第四象限余弦為正.3、單位圓：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為1的圓（解決任意角，三角比問題的利器）124、三角函數(shù)線：sin,cos說明：三角函數(shù)線是有向線段角比值保持一致.，方向的正負(fù)與對應(yīng)的三(1)正弦線：無論是第幾象限角，過的終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，交x軸于M有向線段MP勺符號與點P的縱坐標(biāo)y的符號一致，長度等于|y|.所以有MP=ysin.我們把有向線段MP叫做角的正弦線，正弦線是角的正弦值的幾何形式.(2)余弦線：有向線段OM叫做的余弦線.(3)正切線：過A(1,0)點作單位圓的切線(x軸

23、的垂線)，設(shè)的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段AT叫做角的正切線.5.2任意角的三角比5.3同角三角比的關(guān)系和誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式22/1sincos12sin,2221cos,cos1sinsincostansintancos,cossintan.(3)倒數(shù)關(guān)系：tancot1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank2sinsin,coscos,tantan3sinsin,coscos,tantan134sinsin,coscos,5sincoscos一sin6sin22cos,cos一sin225.4兩角和與差的余弦，正弦與正切coscoscos

24、sinsin；cossinsincoscossin；(4)sintantantantantan1tantan(tantantantantan1tantan(tantan5.5二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin22sincos1sin2.2sincoscos22_2cossin2cos2112sin2升哥公式cos降哥公式2cos22cos,1cos2cos21.2,sin半角公式acos一2I1cosa21cosacoscossinsinsintantan2sincoscossincostantantantan(sin、2cos)atan一21cosa1cosasin1cosa萬能公式sinaa2tan一2;cos.2a1tan一2,c2tantan221tan2cosa1tan2.2a1tan一25.6正弦定理，余弦定理和解斜三角形1、正弦定理：在sin2sin2一2cos2c分別為角的對邊，則有142、正弦定理的變形公式：a2Rsin,b2Rsin,c,"奈，sin蔡，sinC_c_；a:b:csin2R3、三角形面積公式：sCIbcsin1hc1absinCacsin2224、余弦定理：在C中，有a2b22c2bccos,推論:cossinsinsinCabc2R（R為