平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標表示

1、平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標表示上海曹楊二中桂思銘一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 本課時內(nèi)容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐標表示”.此前的教學內(nèi)容由實際問題引入向量概念，研究了向量的線性運算，集中反映了向量的幾何特征,而本課時之后的內(nèi)容主要是研究向量的坐標及坐標運算，并運用向量的坐標運算來解決問題，更多的是向量的代數(shù)形態(tài)，本節(jié)內(nèi)容從前面的知識中得出平面向量基本定理，并以此為基礎(chǔ)定義向量的坐標，所以本節(jié)內(nèi)容是向量中承前啟后的內(nèi)容. 作為一種數(shù)學工具，在中學數(shù)學中向量的優(yōu)勢更多地體現(xiàn)在溝通幾何與代數(shù)，并將幾何及其它的一些問題通過代數(shù)運算來研究,這樣一個思辨

2、的過程變?yōu)榱艘环N程序化的操作過程. 向量基本定理實際上是建立向量坐標的一個邏輯基礎(chǔ)，因為只有確定了任意一個向量在兩個不共線的基底上能進行唯一分解建立坐標系才有了依據(jù),同時，只有正確地構(gòu)建向量的坐標才能有向量的坐標運算.向量基本定理的研究綜合了前面的向量知識，同時又為后繼的內(nèi)容作了奠基，這就決定了本課內(nèi)容在向量知識體系中的核心地位. 就學生的數(shù)學學習而言，這一內(nèi)容也是體會數(shù)學化的一個很好的過程，它充分地展現(xiàn)了數(shù)學結(jié)構(gòu)體系的嚴謹性和邏輯性，(實際上也有教材是不出現(xiàn)向量基本定理直接進行向量坐標運算的,教材安排它的作用可能更多地在于體現(xiàn)數(shù)學結(jié)構(gòu)體系的完備性)它有助于學生體會數(shù)學思維的方式和方

3、法，培養(yǎng)學生進行數(shù)學的思考和數(shù)學的說理.所以它在學生的學習上也具有十分重要的地位. 二、目標和目標解析 1.理解平面向量的基本定理，具體要求為： (1)運用已有的向量知識研究平面向量的基本定理，經(jīng)歷給定的向量在一組基底上唯一分解的過程; (2)體驗在解決問題過程中選擇適當?shù)幕讕淼谋憬?幫助理解基底的作用; (3)將向量的“唯一分解”與實數(shù)對的“一一對應(yīng)”建立聯(lián)系，指出這樣的對應(yīng)奠定了向量建立向量坐標的基礎(chǔ)，體會數(shù)學中的問題轉(zhuǎn)化，及定理的深刻涵義. 2.理解向量坐標的定義,并能用坐標表示坐標平面上的向量，具體要求為： (1

4、)結(jié)合學生在物理中已有的認知,來進一步從數(shù)學上學習正交分解及其意義； (2)結(jié)合向量及平面直角坐標系的相關(guān)基礎(chǔ)正確把握坐標向量的幾何意義. 3.反思向量坐標的建立過程,體會平面向量坐標建立的過程及平面向量基本定理的作用和意義. 三、教學問題診斷分析 前面學生已經(jīng)掌握了平面向量的線性運算,本節(jié)課的目的是要幫助學生建立向量的坐標.這中間實際上有兩個問題,先是運用已有的知識去研究一個問題(向量的基本定理),然后以這個定理為基礎(chǔ)建立一個新的研究體系(建立平面向量的坐標) 本節(jié)的內(nèi)容是圍繞向量在兩個基底上的唯一分解展開的，對于基底的認識和理解是學生在學習

5、中已在運用的,在物理中已有了將力、速度（向量）進行分解合成的經(jīng)驗，在前面的向量學習中已有向量線性運算的經(jīng)驗，只是沒有專門提出而已,所以引入基底這一概念應(yīng)該是比較自然的，但相當一部分學生在學習中只是依樣畫葫蘆，并不清楚引入基底這個概念的意義，當然更不能很好地選擇、運用基底進行運算求解,有了平面向量基本定理教師可以運用定理說理，讓學生理解基底的作用及意義.所以在這一點上教師應(yīng)注意在教學中進行設(shè)計引導. 對于平面向量的基本定理,有些學生只是從形式上加以記憶,缺乏對問題本質(zhì)的理解,從卷面上看學生可能不會有什么大的問題,但學生對于數(shù)學的理解肯定會產(chǎn)生影響,所以在這一內(nèi)容的教學中教師要不斷地幫助

6、學生進行反思,通過對教學過程的反思來幫助學生改進學習方法,這也是改善學生的思維品質(zhì),提升學生的數(shù)學能力的一個途徑,這一過程是隱性的、長期的，但這也是必須的. 學生在向量的學習中存在的一個困難是學生在理解始點不在坐標原點的向量的坐標表示時會出現(xiàn)障礙，其原因是在直角坐標系中點和點的坐標是一一對應(yīng)的,到了向量時,向量的坐標只是和從原點出發(fā)的向量一一對應(yīng),但只要結(jié)合向量相等的條件學生應(yīng)該容易克服這一難點,不過值得注意的是在后面學生用向量求點的坐標時還會產(chǎn)生問題,如已知了向量及點的坐標求點的坐標,有些學生還會發(fā)生錯誤,這時還必須結(jié)合圖形及向量的坐標幫助學生進行理解,必須使學生在這種特定的場合中

7、明白:要求點的坐標就是要求向量的坐標.同樣一個問題也需要學生從不同的側(cè)面來幫助理解. 四、教學支持條件分析 這里對于平面向量基本定理的研究,并不是嚴格的證明,為了能便于說明問題建議通過教育技術(shù)的運用來幫助學生理解,這一過程最好能在教學中有充分地展現(xiàn),這也是關(guān)注教學過程,幫助學生養(yǎng)成動手動腦的習慣.另外現(xiàn)在的許多軟件具有很強的交互性,所以在教學中可以充分地運用技術(shù),使學生的學習富有樂趣,同時又可以通過不同的方式來刺激學生,幫助學生迅速地掌握教學內(nèi)容. 五、教學過程設(shè)計. 1.平面向量基本定理 問題1.我們看習題2.2(A組)12題: 中

8、,且與邊相交于點,的中線與相交于點,設(shè),用表示向量,.     類似的,用兩個不共線的向量來表示其它向量的問題在例題和習題中還有多處. 從這些題目中我們不難發(fā)現(xiàn),圖中所有的向量都可用向量來表示,那么自然地會問這樣一個問題:平面內(nèi)的任意一個向量是否都能用類似12題的方法,用給定的兩個不共線的向量來表示呢? 說明學生會通過作圖來說明這一問題,在解決問題時可能要提醒學生,這里的向量是自由向量,其始點是可以移動的,所以在用紙筆作圖時,將三個向量的起點放在一起可便于研究問題.教師可循著學生的思路通過計算機作圖來幫助其他學生認清這個問題. 問題2.從前面的

9、研究中我們發(fā)現(xiàn)任意一個平面向量都可以用兩個不共線的向量表示,那么對于給定的向量及向量,若要將用,表示其形式是怎樣的? 說明通過電腦作圖讓學生體會可能與,中的一個共線,也可能與,都不共線, 引導學生得出結(jié)論.教師也可以通過在電腦作圖來展示不同的、所作出的向量. 事實上在物理上也常有將一個力分解成若干個力,將幾個力合成為一個力.可以看作是力的分解合的成向量表示形式. 從前面的研究及力的分解合成的經(jīng)驗可以發(fā)現(xiàn):向量,中的,是唯一確定的. 由此我們有定理: 平面向量基本定理 如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對

10、實數(shù),使 我們把不共線的向量,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(base). 例1已知向量,求作向量. 說明教師可用電腦作圖,演示結(jié)果. 實際上前面已經(jīng)在不自覺地利用基底解題,如我們在計算力,與速度問題時,常進行分解合成,目的也是將問題集中到兩個向量(基底)上來處理.前面的習題中我們已經(jīng)做了許多有關(guān)向量的加法、減法、數(shù)乘，由向量基本定理，我們就可以將一個問題中的若干向量集中到兩個向量上，這樣就方便了我們的計算. 問題3已知平行四邊形中,、是對角線、上的兩點，且，試用向量方法證明四邊形也是平行四邊形 分析 由平面向量的基本定理可知向

11、量及用一組基底來唯一表示,要證明四邊形是平行四邊形,只要證明用相同的基底表示出來的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使學生對問題的認識在原有的基礎(chǔ)上更深入一步)  證 設(shè), 則 , 而. 所以,四邊形為平行四邊形. 不共線的向量存在夾角,關(guān)于向量的夾角,我們規(guī)定:已知兩個非零向量,作,則()叫做向量,的夾角.當時,與同向;當時, 與反向.如果與的夾角是.我們說與垂直,記作. 用光滑斜面上木塊的受力為例說明正交分解.    這個問題學生相對是比較熟悉的可比較

12、快地通過,也可以讓學生說說在物理中正交分解的優(yōu)越性. 2.平面向量的坐標表示 請學生結(jié)合向量基本定理及正交分解,思考平面內(nèi)的任一向量是否都可以用軸和軸上的單位向量來表示.在學生討論的基礎(chǔ)上,請學生做下面的練習. 問題4設(shè)軸和軸上且方向與軸的正方向同向的單位向量分別用向量和來表示.試用和來表示圖中的向量.   , , , , ,. 說明這里想讓學生體會,的系數(shù)得出的有序數(shù)對與向量間的對應(yīng)關(guān)系. 問題5結(jié)合上面的練習研究下面的問題, 如果將、的系數(shù)組成一個有序數(shù)對,那么平面上的任意一個向量與數(shù)對之間有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？&

13、#160;讓學生發(fā)現(xiàn)有一個向量就有唯一確定的一個數(shù)對；反過來，一個數(shù)對對應(yīng)著無窮多個向量，但這些向量都是相等的.(這在后面向量的坐標上要讓學生進一步有所認識,知道坐標對應(yīng)的向量的圖形只是從原點出發(fā)的向量,但其他與它相等的向量都是由這個坐標表示.) 問題6 結(jié)合上面的研究請學生自己定義向量的坐標.(教師可結(jié)合教科書上的定義來點評學生自己的定義.這是為了培養(yǎng)學生理解和歸納能力,經(jīng)常有類似的訓練有助于提高學生的能力. 如圖,在直角坐標系中,分別與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)、，使得   

14、.         這樣,平面內(nèi)的任一向量都可由、唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標,記作 ,         其中叫做在軸上的坐標, 叫做在軸上的坐標,式叫做向量的坐標. 例2 寫出例2中各個向量的坐標. 練習 P113.3. 六、目標檢測設(shè)計 1.已知,且點的坐標為,求點的坐標.    說明通過這個練習希望學生能正確地認

15、識向量坐標的意義,在解答中可結(jié)合向量作圖使學生明確我們要求點的坐標就是要求向量的坐標,而.這里是要學生明確向量的坐標與坐標平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系. 用平面向量基本定理來解決有關(guān)三角形中點問題.這個問題主要讓學生體會解題過程,認識平面向量基本定理的作用,所以教師可自己分析,展示解題過程,學生可在回家作業(yè)中進行練習鞏固.2.已知三角形中,是重心,用向量方法求的值. 請?zhí)羁詹⒄f明本題的解題思路.   解 設(shè),而 ,所以_,()    又設(shè),而 ,所以_,() 而_.() 由平面向量基本定理得與的方程組為_.() 解方程組得=_.() 所以, . 說明希望學生能知道本題的解題思路是,對向量在基底上進行分解,由于不同的參數(shù)可得出不同的分解形式.由平面向量基本定理分解的唯一可得出兩個方程組,通過解方程便能得出結(jié)果.本題的目的是幫助學生理解基底和平面向量基本定理.