高數(shù)-6習(xí)題課2ppt課件

1、（一曲線積分與曲面積分（一曲線積分與曲面積分（二各種積分之間的聯(lián)系（二各種積分之間的聯(lián)系一、本章主要內(nèi)容一、本章主要內(nèi)容 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)絡(luò)絡(luò) RdxdyQdzdxPdydz計(jì)計(jì) 算算代入代入,換元換元,投影投影(與側(cè)無關(guān)與側(cè)無關(guān))代入代入,投影投影,定向定向 (與側(cè)有關(guān)與側(cè)有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyz

2、yxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,思思 考考 題題1) 二重積分是哪一類積分二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問下列等式是否成立問下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對不對 ! 對坐標(biāo)的積分與對坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有的側(cè)有關(guān)關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(曲面積分的計(jì)算法歸納曲面積分的計(jì)算法歸納曲面積分曲面積分第一類第一類( 對面積對面積 )第二類第二類( 對坐標(biāo)對坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二重積分二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程代入曲面方

3、程(2) 積分元素投影積分元素投影第一類第一類: 始終非負(fù)始終非負(fù)第二類第二類: 有向投影有向投影(3) 確定二重積分域確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面曲面積分計(jì)算的基本技巧曲面積分計(jì)算的基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用條件注意公式使用條件添加輔助面的技巧添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化zyxo例例1. P185 題題4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中其中 為半球?yàn)榘肭蛎婷?/p>

4、222yxRz的上側(cè)的上側(cè).且取下側(cè)且取下側(cè) , 提示提示: 以半球底面以半球底面0原式原式 =3323R032RP185 題題4(2) , P185 題題 9 同樣可利用高斯公式計(jì)算同樣可利用高斯公式計(jì)算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域?yàn)橛洶肭蛴驗(yàn)?,高斯公式有高斯公式有計(jì)算計(jì)算為輔助面為輔助面, 利用利用例例2.證明證明: 設(shè)設(shè)(常向量常向量)那那么么單位外法向向量單位外法向向量, 試證試證Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設(shè)設(shè) 為簡單閉曲面為簡單閉曲面, a 為任意固定向量

5、為任意固定向量,n 為為的的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a例例3. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134考慮考慮: 此題此題 改為橢球面改為橢球面1222222czbyax時(shí)時(shí), 應(yīng)如何應(yīng)如何計(jì)算計(jì)算 ?提示提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面在橢球面內(nèi)作輔助小球面取2222zyx內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式然后用高斯公式 .2121I例例4. 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面9)

6、1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù), 作曲面作曲面取下側(cè)取下側(cè) 使其包在使其包在 內(nèi)內(nèi), 2為為 xoy 平面上夾于平面上夾于之間的部分之間的部分, 且取下側(cè)且取下側(cè) ,1與21ozyx取上側(cè)取上側(cè), 計(jì)算計(jì)算, )0( z那那么么21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式計(jì)算, 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分其,d2)(22SzyzyxI中中 是球面是球面.

7、22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對稱性利用對稱性用重心公式用重心公式曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標(biāo)的對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標(biāo)的對坐標(biāo)的曲線積分曲線積分定義定義計(jì)算計(jì)算定義定義計(jì)算計(jì)算聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò)曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式公式Guass公式公式各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系

8、)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式曲面面積的計(jì)算法曲面面積的計(jì)算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),()1

9、1(22 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參參數(shù)數(shù)方方程程為為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 在第一卦限部分的上側(cè)在第一卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計(jì)算計(jì)算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例9xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的