梅涅勞斯定理和塞瓦定理

1、第十講：梅涅勞斯定理和塞瓦定理一、 梅涅勞斯定理定理1 若直線l不經(jīng)過ABC的頂點，并且與ABC的三邊BC、CA、AB或它們的延長線分別交于P 、Q、R，則BPPCCQQAARRB=1證明：設(shè)hA、hB、hC分別是A、B、C到直線l的垂線的長度，則：BPPCCQQAARRB=hBhChChAhAhB=1。注：此定理常運用求證三角形相似的過程中的線段成比例的條件。例1 若直角ABC中，CK是斜邊上的高，CE是ACK的平分線，E點在AK上，D是AC的中點，F(xiàn)是DE與CK的交點，證明：BFCE。【解析】因為在EBC中，作B的平分線BH，則：EBC=ACK，HBC=ACE，HBC+HCB=ACK+HC

2、B=90°，即BHCE，所以EBC為等腰三角形，作BC上的高EP，則：CK=EP，對于ACK和三點D、E、F根據(jù)梅涅勞斯定理有：CDDAAEEKKFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根據(jù)分比定理有：KFKC=BKKE，所以FKBCKE，所以BFCE。例2 從點K引四條直線，另兩條直線分別交直線與A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，試證：ACBC:AD BD=A1C1B1C1:A1D1B1D1?！窘馕觥咳鬉DA1D1，結(jié)論顯然成立；若AD與A1D1相交于點L，則把梅涅勞斯定理分別用于A1AL和B1BL可得：ADLDLD1

3、A1D1A1KAK=1，LCACAKA1KA1C1LC1=1，BCLCLC1B1C1B1KBK=1，LDBDBKB1KB1D1LD1=1，將上面四個式子相乘，可得：ADACBCBDA1C1A1D1B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2 設(shè)P、Q、R 分別是ABC的三邊BC、CA、AB上或它們延長線上的三點，并且P、Q、R三點中，位于ABC邊上的點的個數(shù)為0或2，這時若BPPCCQQAARRB=1，求證P、Q、R三點共線。證明：設(shè)直線PQ與直線AB交于R，于是由定理1得：BPPCCQQAARRB=1，又因為BPPCCQQAARRB=1，則ARRB=

4、ARRB，由于在同一直線上P、Q、R三點中，位于ABC邊上的點的個數(shù)也為0或2，因此R與R或者同在AB線段上，或者同在AB的延長線上；若R與R同在AB線段上，則R與R必定重合，不然的話，設(shè)AR>AR，這時AB-AR<AB-AR，即BR<BR，于是可得ARBR>ARBR，這與ARBR=ARBR矛盾，類似地可證得當(dāng)R與R同在AB的延長線上時，R與R也重合，綜上可得：P、Q、R三點共線。注：此定理常用于證明三點共線的問題，且常需要多次使用 再相乘；CBA例3 點P位于ABC的外接圓上；A1、B1、C1是從點P向BC、CA、AB引的垂線的垂足，證明點A1、B1、C1共線。【解析

5、】易得：BA1CA1=-BPcosPBCCPcosPCB，CB1AB1=-CPcosPCAAPcosPAC，AC1BC1=-APcosPABBPcosPBA，將上面三個式子相乘，且因為PCA=PBC，PAB=PCB，PCA+PBA=180°，可得BA1CA1CB1AB1AC1BC1=1，根據(jù)梅涅勞斯定理可知A1、B1、C1三點共線。例4 設(shè)不等腰ABC的內(nèi)切圓在三邊BC、CA、AB上的切點分別為D、E、F，則EF與BC，F(xiàn)D與CA，DE與AB的交點X、Y、Z在同一條直線上?！窘馕觥緼BC被直線XFE所截，由定理1可得：BXXCCEEAAFFB=1，又因為AE=AF，代入上式可得BXX

6、C=FBCE，同理可得CYYA=DCAF，AZZB=EABD，將上面的式子相乘可得：BXXCCYYAAZZB=1，又因為X、Y、Z丟不在ABC的邊上，由定理2可得X、Y、Z三點共線。例5 已知直線AA1，BB1，CC1相交于O，直線AB和A1B1的交點為C2，直線BC和B1C1的交點為A2，直線AC和A1C1的交點為B2，試證A2、B2、C2三點共線?！窘馕觥吭O(shè)A2、B2、C2分別是直線BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交點，對所得的三角形和它們邊上的點：OAB和（A1，B1，C2），OBC和（B1，C1，A2），OAC和（A1，C1，B2）應(yīng)用梅涅勞斯定理有：AA1OA1OB1

7、BB1BC2AC2=1，OC1CC1BB1OB1CA2BA2=1，OA1AA1CC1OC1AB2CB2=1，將上面的三個式子相乘，可得：BC2AC2AB2CB2CA2BA2=1，由梅涅勞斯定理可知A2、B2、C2共線。例6 在一條直線上取點E、C、A，在另一條上取點B、F、D，記直線AB和ED，CD和AF，EF和BC的交點依次為L、M、N，證明：L、M、N共線。【解析】記直線EF和CD，EF和AB，AB和CD的交點分別為U、V、W，對UVW，應(yīng)用梅涅勞斯定理于五組三元點(L,D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F)，則有UEVEVLWLWDUD=1，VAWAUF

8、VFWMYM=1，UNVNWCUCVBWB=1，WAVAUCWCVEUE=1，WBVBUDWDVFUF=1，將上面五個式子相乘可得：VLWLWMUMUNVN=1，點L、M、N共線。二、塞瓦定理定理：設(shè)P、Q、R分別是ABC的BC、CA、AB邊上的點，則AP、BQ、CR三線共點的充要條件是：BPPCCQQAARRB=1。MQRACPB證明：先證必要性：設(shè)AP、BQ、CR相交于點M，則BPPC=SABPSACP=SBMPSCMP=SABMSACM，同理CQQA=SBCMSABM，ARRB=SACMSBCM，以上三式相乘，得：BPPCCQQAARRB=1，再證充分性：若BPPCCQQAARRB=1，

9、設(shè)AP與BQ相交于M，且直線CM交AB于R，由塞瓦定理有：BPPCCQQAARRB=1，約翰斯：ARRB=ARRB，因為R和R都在線段AB上，所以R必與R重合，故AP、BQ、CR相交于一點M。CBA例7 證明：三角形的中線交于一點。【解析】記ABC的中線AA1，BB1，CC1，我們只須證明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1，而顯然有：AC1=C1B，BA1=A1C，CB1= B1A，即AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1成立，所以，ABC交于一點，例8 在銳角ABC中，C的角平分線交AB于L，從L做邊AC和BC的垂線，垂足分別是M和N，設(shè)AN和BM的交點是P，證明：CPAB。KLNM

10、CBA【解析】作CKAB，下證CK、BM、AN三線共點，且為P點，要證CK、BM、AN三線共點，根據(jù)塞瓦定理即要證：AMMCCNNBBKAK=1，又因為MC=CN，即要證明：AMAKBKNB=1，因為AMLAKCAMAK=ALAC，BNLBKCBKNB=BCBL，即要證ALACBCBL=1，根據(jù)三角形的角平分線定理可知：ALACBCBL=1，所以CK、BM、AN三線共點，且為P點，所以CPAB。例9 設(shè)AD是ABC的高，且D在BC邊上，若P是AD上任一點，BP、CP分別與AC、AB交于E和F，則EDA=FDA?！窘馕觥窟^A作AD的垂線，與DE、DF的延長線分別交于M、N。欲證EDA=FDA，可以轉(zhuǎn)化為證明AM=AN，因為ADBC，故MNBC，可得AMECDE，ANFBDF，所以AMCD=AECE，ANBD=AFBF，于是AM=AECDCE，AN=AFBDBF，因為AD、BE、CF共點與P，根據(jù)塞瓦定理可得：BDDCCEEAAFFB=1，所以AECDCE=AFBDBF，所以AM=AN，所以EDA=FDA例10 在ABC的邊BC、CA、AB上取點A1、B1、C1，證明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=sinACC1sinC1CBsinBAA1sinA1ACsinCBB1sinB1BA【解析】如圖對ACC1和BCC1應(yīng)用正弦定理，可得AC1C1C=sinACC1sinA，CC1C