信號與系統(tǒng)：第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示

1、第第3章章周期周期信號的傅里葉級數(shù)信號的傅里葉級數(shù)表示表示內(nèi)容提要3.1 歷史回顧3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)3.3 連續(xù)時間周期信號的傅立葉級數(shù)表示3.4 傅立葉級數(shù)的收斂3.5 連續(xù)時間傅立葉級數(shù)性質(zhì)3.6 離散時間周期信號的傅立葉級數(shù)表示3.7 離散時間傅立葉級數(shù)性質(zhì)3.8 傅立葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)基本要求 掌握復(fù)指數(shù)信號是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)的概念，及以特征函數(shù)為基底對信號進行分解的基本思想方法 周期信號分解為付里葉級數(shù)的方法，付里葉級數(shù)系數(shù)的確定，信號在頻域的描述方法頻譜的概念 周期性矩形脈沖信號頻譜的特征及周期信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)http:/ 傅里葉變換在物理學(xué)、電子

2、類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用只要努力，彎的都能掰直！只要努力，彎的都能掰直！ 時域分析方法的基礎(chǔ)：時域分析方法的基礎(chǔ)：(1)(1)信號在時域的分解信號在時域的分解(2)LTI(2)LTI系統(tǒng)滿足線性、時不變性系統(tǒng)滿足線性、時不變性(2)(2)具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號。具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號。 (1)(1)本身簡單，且本身簡單，且LTILTI系統(tǒng)對它的響

3、應(yīng)能簡便得到。系統(tǒng)對它的響應(yīng)能簡便得到。 從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足兩個要求：兩個要求：對頻域分對頻域分析同樣實析同樣實用用頻譜分析的特點和優(yōu)點頻譜分析的特點和優(yōu)點 、分析信號的頻域特點：如信號的帶寬，信號、分析信號的頻域特點：如信號的帶寬，信號的譜含量等等。的譜含量等等。 、信號頻譜函數(shù)和系統(tǒng)的頻域傳輸函數(shù)也包含、信號頻譜函數(shù)和系統(tǒng)的頻域傳輸函數(shù)也包含了信號和系統(tǒng)的全部信息。了信號和系統(tǒng)的全部信息。 、系統(tǒng)頻域分析方法：線性時不變系統(tǒng)對給定、系統(tǒng)頻域分析方法：線性時不變系統(tǒng)對給定頻率的正弦信號的零狀態(tài)響應(yīng)是同樣頻率的正弦頻率的正弦信號

4、的零狀態(tài)響應(yīng)是同樣頻率的正弦信號，系統(tǒng)的作用只體現(xiàn)在振幅和相位上。信號，系統(tǒng)的作用只體現(xiàn)在振幅和相位上。傅立葉分析信號處理中最基本的、最核心的內(nèi)容信號處理中最基本的、最核心的內(nèi)容之一，得名于法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)之一，得名于法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家家Fourier(1768-1830)。傅立葉分析傅立葉分析任何連續(xù)測量的信號，都可以表示為任何連續(xù)測量的信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。不同頻率的正弦波信號的無限疊加。傅立葉原理傅立葉原理 傅立葉分析不僅可以用于信號的頻譜表示，而傅立葉分析不僅可以用于信號的頻譜表示，而且是頻域描述系統(tǒng)類型和特性所必需的工具。且是頻域描述系統(tǒng)類型和特性所必

5、需的工具。周期周期信號信號非周期非周期信號信號傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)離散時間傅立葉級數(shù)離散時間傅立葉級數(shù)DTFSDTFS連續(xù)時間傅立葉級數(shù)連續(xù)時間傅立葉級數(shù)FSFS傅立葉變換傅立葉變換離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換DTFTDTFT連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換FTFT為什么要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？為什么要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？1 1、正弦曲線保真度：、正弦曲線保真度： 一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。一樣的

6、。 210 tijtg t gt dtij2 2、正交性：、正交性： ,211Tw wp p在區(qū)間內(nèi)滿足在區(qū)間內(nèi)滿足其中其中+ +),(100Ttt函數(shù)集。函數(shù)集。內(nèi)是完備正交內(nèi)是完備正交三角函數(shù)集在區(qū)間三角函數(shù)集在區(qū)間1111111,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttntntwwwwww01011cossin0tTtntmtdtww+010111 0sinsin20 tTtTmnntmtdtmnww+0101111 02coscos0 0tTtTmnntmtdtmnTmnww+,2),(,.)2, 1, 0(111100TTttnetjn + + w ww wp p

7、在區(qū)間內(nèi)滿足在區(qū)間內(nèi)滿足其中其中內(nèi)是完備正交函數(shù)內(nèi)是完備正交函數(shù)集，集，在區(qū)間在區(qū)間復(fù)指數(shù)函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集任意函數(shù)任意函數(shù)f(t)在區(qū)間在區(qū)間(t0, t0+T)內(nèi)可用此函數(shù)集表示：內(nèi)可用此函數(shù)集表示： 111112201212jtjtjtjtjntnnf taa ea ea ea ea ewwwww+( ) 011101 0 tTjmtjnttTmneedtmnww+特征函數(shù)與特征值特征函數(shù)與特征值 如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不過是該信號乘以如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不過是該信號乘以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的特征函數(shù)特征函數(shù)。 系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱

8、為系統(tǒng)與特征函數(shù)相系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對應(yīng)的對應(yīng)的特征值特征值。3.2 LTI3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)由時域分析方法有，由時域分析方法有，()( )( )( )( )s tstssty tehdehedH s e()( )( )( )( )nknknkky nzh kzh k zH z z()htste( )y t( )h nnz( )y nstenz考查考查LTILTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號 和和 的響應(yīng)的響應(yīng)( )( )stH sh t edt( )( )nkH zh n z特征函數(shù)特征函數(shù)特征值特征值同理同理：nkkkZa

9、nx)(nkkkkZZHany)()(tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：312112233( )( )( )()( )s ts ts tx ty ta H s ea H s ea H s e +利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性:111( )s ts teH s e222()s ts teH s e333( )s ts teH s e對時域的任何一個信號對時域的任何一個信號 或者或者 , ,若能將若能將其表示為下列形式：其表示為下列形式：( )x t( )x ntststseaeaeatx321321)(+3.3 3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表

10、示連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，一、連續(xù)時間傅里葉級數(shù)一、連續(xù)時間傅里葉級數(shù)0( )jktktew0, 1, 2,k 0( ),0, 1, 2jktkkx ta ekw有有成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集：成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集： 這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，即號，即: : 連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)個復(fù)連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)個復(fù)指數(shù)諧波分量。指數(shù)諧波分量。傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)FSFS0jtew0( ),0, 1, 2jktkkx ta ekw02Tp

11、w0 1 N kkkN常數(shù)基波分量，一次諧波分量第 次諧波分量傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)FSFS：傅立葉級數(shù)的系數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)正弦信號的頻率函數(shù)正弦信號的頻率函數(shù)正弦信號的頻率序數(shù)正弦信號的頻率序數(shù)例例1 1：0( )cosx ttw112a0( )cosx ttw001122jtjteeww+例例2 2：00( )cos2cos3x tttww+0000331( )2jtjtjtjtx teeeewwww+13,k 112a31a二、傅里葉級數(shù)的其它形式傅里葉級數(shù)的其它形式 00*( )jktjktkkkkx ta ea ewwkkaa或或*kkaa 是實信號是實信號( )( )x txt(

12、)x t0jktkka ew0jktkka ewkkjjkkA eA e即即：kkAAkk 表明表明 的模關(guān)于的模關(guān)于 偶對稱，幅角關(guān)于偶對稱，幅角關(guān)于 奇對稱。奇對稱。kakk令令kjkkaA e0001kkjktjjktjkkkaA eeA eeww+0001()()01( )kkkjjktj ktj ktkkkkkkx tA eeaA eA ewww+0012cos()kkkaAktw+ 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式kkkaBjC+ 若令若令則則00101( )()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC eww+0001()()jktjktkkkkk

13、aBjCeBjCeww+*kkaaQkkkkBjCBjC+kkBBkkCC即即 的實部關(guān)于的實部關(guān)于 偶對稱，虛部關(guān)于偶對稱，虛部關(guān)于 奇對稱。奇對稱。kakk0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCeww+00012cossinkkkaBktCktww+傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式三、頻譜（三、頻譜（SpectrumSpectrum）的概念）的概念 在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量）在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量） 間的區(qū)別間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一

14、根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應(yīng)一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應(yīng)的頻率。的頻率。 信號集信號集 中的每一個信號，除了成諧波關(guān)系外，每個中的每一個信號，除了成諧波關(guān)系外，每個信號隨時間信號隨時間 的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。同。( )ktt0( )jktktew0( )jktkkx ta ew0w1w分量分量 可表示為可表示為0jtew1212w0w0w00001cos()2jtjtteewww+表示為表示為0( )jktkkx ta ew0w0w0a1a2a3a3a2a1awgggggggg頻譜圖頻譜圖kaw

15、 信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法頻域表示法。四、連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定四、連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定00()( )jntj k ntkkx t ea eww0000()00( )TTjntj kntkkx t edtaedtww0( ),jktkkx ta ew002Tpw00()0Tj kntedtw00 ,Tknkn0000( )Tjntnx t edta Tw00001( )Tjntnax t edtTw0001( )jktkTa

16、x t edtTw0001( )Tax t dtT信號在一個周期的信號在一個周期的平均值，直流分量。平均值，直流分量。0211( )( )jktjktTkTTax t edtx t edtTTpw02( )jktjktTkkkkx ta ea epw周期連續(xù)時間信號的傅立葉級數(shù)：周期連續(xù)時間信號的傅立葉級數(shù)：綜合公式綜合公式逆變換逆變換分析公式分析公式頻域表示頻域表示正變換正變換kjkkaa e( )( )kkax tx tww與 的關(guān)系曲線的幅度譜與 的關(guān)系曲線的相位譜傅立葉級數(shù)系數(shù)傅立葉級數(shù)系數(shù)頻譜系數(shù)頻譜系數(shù)例例3.3 3.3 求信號的傅立葉級數(shù)表示：求信號的傅立葉級數(shù)表示：0( )si

17、nx ttw（1 1）直接應(yīng)用分析公式：）直接應(yīng)用分析公式：0001( )jktkTax t edtTw（2 2）觀察法：）觀察法：00011sin22jtjtteejjwww1111,220,kaajjakothers 例例3.4 3.4 求信號的傅立葉級數(shù)表示：求信號的傅立葉級數(shù)表示： 0001 sin2coscos 24x ttttpwww + 0000224411111112222jjjtjtjtjtx teeeeeejjppwwww +01144221,111,1,2211,220,jjkaaajjaeaeakotherspp+例例3.5 3.5 周期性矩形脈沖信號的頻譜周期性矩形脈

18、沖信號的頻譜1001110 10 1002sinsin11Tjktjkt TkTTkTkTaedteTjkTkTkwwwwwwp 110110112sin2sin22kTTkTTTTkTTkTTpwpw1TTt( )x t111, ( )0, 2tTx tTtT0pp( )Sa x1px0121sin ( )c x1x1sinSa( )xxxsinsinc( )xxxpp抽樣信號：辛格信號抽樣信號：辛格信號歸一化形式歸一化形式1110 1222Sa()sinc()kTTTakTkTTTwsinsin ( )cpp整數(shù)整數(shù)幅度按幅度按 衰減衰減1主瓣主瓣旁瓣旁瓣最大值最大值1212TT1214T

19、T1218TT不變不變 時時T1T 根據(jù)根據(jù) 可繪出可繪出 的頻譜圖，的頻譜圖， 稱為占空比稱為占空比ka( )x t12TT隨占空比減小隨占空比減小譜線間隔不變譜線間隔不變幅度下降幅度下降頻譜的包絡(luò)改變頻譜的包絡(luò)改變包絡(luò)主瓣變寬包絡(luò)主瓣變寬主瓣包含的諧波主瓣包含的諧波數(shù)量也增加數(shù)量也增加1212TT1214TT1218TT1T不變不變 時時T 隨占空比減小，譜線間隔變小，幅隨占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡(luò)的形狀不變，度下降。但頻譜包絡(luò)的形狀不變，包絡(luò)主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。包絡(luò)主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。(1)離散性、諧波性：離散性、諧波性：譜線沿頻率軸離散分布，譜譜線沿

20、頻率軸離散分布，譜線僅在線僅在0、0、20、基波的倍頻（離散的）頻基波的倍頻（離散的）頻率點上出現(xiàn)。率點上出現(xiàn)。(2)唯一性：唯一性：周期信號的譜線唯一周期信號的譜線唯一(3)收斂性：收斂性： 隨著隨著n，頻譜幅度趨于零，頻譜幅度趨于零 周期連續(xù)時間信號的頻譜特征：周期連續(xù)時間信號的頻譜特征：3.4 3.4 連續(xù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂時間傅里葉級數(shù)的收斂若若 為周期為周期0( )j k tkkx ta ew 0T用有限個諧波分量近似用有限個諧波分量近似 時，有時，有( )x t0( )NjktNkkNxta ew，誤差，誤差為為( )( )( )NNetx txt以以均方誤差作為衡量誤差的準(zhǔn)

21、則，其均方誤差為均方誤差作為衡量誤差的準(zhǔn)則，其均方誤差為00220011( )( )( )( )NNNTTEtetdtx txtdtTT 在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，可以證明，此時在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，可以證明，此時應(yīng)滿足：應(yīng)滿足：0001( )jktkTax t edtTw傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)是對周期信號的最佳近似是對周期信號的最佳近似傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義： 是否是否存在存在? ? 級數(shù)是否收斂于級數(shù)是否收斂于 ? ?( )x tka 兩組條件：兩組條件： 1、平方可積條件：平方可積條件：02( )Tx tdt ka( )x tQ在一

22、個周期內(nèi)能量有限，在一個周期內(nèi)能量有限， 一定存在。一定存在。 2、 Dirichlet條件：條件：0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTTw （2）在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，）在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值為有限值。且極值為有限值。（3）在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類）在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。間斷點。0( )Tx tdt （1）幾個不滿足幾個不滿足DirichletDirichlet條件的信號條件的信號3.5 3.5 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)1 1、線性：、線性：若若 和和 都是以都是以 為周期

23、的信號，且為周期的信號，且( )Fkx ta 02( ), Fky tbTpw ( )x t( )y tT( )( )FkkAx tBy tAaBb+ +則則02( )jktjktTkkkkx ta ea epw0211( )( )jktjktTkTTax t edtx t edtTTpw0001()()jktkTCFS x ttx tt edtTw+Tttjkt detxT)(00)(1w0Let tttktjkae00w2 2、時移、時移: :0 00()jktFkx t ta ew ()Fkxta 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT，則，則證明3 3、反轉(zhuǎn)、反

24、轉(zhuǎn): : 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 則則()Fkxta ( )()kkx txtaa( )()kkx txtaa 0( )jktkkx ta ew0()jktkkxta ewmkLet 0()jmtmmxtaew證明若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 則則 以以 為周期為周期()x at/T a4 4、尺度變換、尺度變換: :令令 ，當(dāng)，當(dāng) 在在 變化時，變化時， 從從 變化，變化，att0 /T a0T于是有：于是有：01( )jkkkTbxedaTw ()Fkkx atba 0()jkat

25、kkx ata ew+0/()jkatFkT aabx at edtTw 5、相乘、相乘: 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT001( )jltjktklTlCa ey t edtTww0()1( )j k ltllk lTllay t edtabTw( ) ( )Flk lkklx t y ta bab 01( )( )( ) ( )jktFkTx ty tCx t y t edtTw ( )( )?Fkx ty tC 證明6 6、共軛對稱性、共軛對稱性: : 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信

26、號，且( )x tT( )Fkx ta ，則，則katx)(對實信號有對實信號有： 或或kkaakkaakjkkaA e有有：kkkkAA 當(dāng)當(dāng) 時：時：( )()x txtkkaa（實偶函數(shù)）（實偶函數(shù)）當(dāng)當(dāng) 時：時：( )()x txt kkaa （虛奇函數(shù)）（虛奇函數(shù)）kkkaBjC+有有：kkkkBBCC 7 7、帕斯瓦爾（、帕斯瓦爾（Parseval ）定理：）定理：221( )kTkx tdtaT+*1( )( )Tx t x t dtT00*1jktjktkkTkka a eedtTww 21kTkadtT 2kka+21( )Tx tdtT00*1jktjktkkTkka ea

27、 edtTww證明022211jktkkkTTa edtadtaTTw第第k次諧波的平均功率：次諧波的平均功率：表明表明：一個周期信號的平均功率就等于它：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和。所有諧波分量的平均功率之和。1( )(1)2g tx t例例3.63.60 1sinkkTakwp1TTt( )x t14,1TT0, 01, 02kkck20, 01, 02jkkka ekdakp2sin(2), 00, 0jkkkekgkkppp例例3.7( )Fkx te ( )Fkg tg ( )( )g tx t2kkgjkep2222sin(2),0()jkkkgkeek

28、jkj kpppp012e 例例3.8+kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211( )TjktkTat edtTTw01( )jktkx teTw02Tpw一、離散時間傅里葉級數(shù)一、離散時間傅里葉級數(shù)（DFS）3.6 3.6 離散離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示 02jknjknNkneepw kk rNnn+ 考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: : 2j k NnNk Nknenp+ 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)系數(shù)，周系數(shù)，周期期信號信號 的的頻譜頻譜 x n02 jknjknNkkkkkNkNkNx nana ea epw 將這將

29、這 個獨立的信號線性組合起來，一定能表個獨立的信號線性組合起來，一定能表 示一個以示一個以 為周期的序列。即：為周期的序列。即：NN其中其中 為為 個相連的整數(shù)個相連的整數(shù)NkN為奇數(shù)：為奇數(shù)：1122NNk 為偶數(shù)：為偶數(shù)：N122NNk +離散時間傅離散時間傅里葉級數(shù)里葉級數(shù)22()( )jrnjk r nNNkkNx n ea epp 222jrnjk r njk r nNNNkknNnN kNkNnNx n ea eaeppp 2( )jrnNrnNx n eNap0,krN kr顯然顯然 仍是仍是以以 為周期的，對兩邊求和為周期的，對兩邊求和2( )jrnNx n epN二、傅里葉級

30、數(shù)系數(shù)的確定二、傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定給給 兩邊兩邊同乘以同乘以 ，得：，得：2( )jknNkkNx na ep2jrnNep21( )jrnNrnNax n eNp21( )jknNknNax n eNp即即或或?qū)嵭盘枌嵭盘枺簁kaakkaakkaa RRReRekkaaImImkkaa k Nkaa+ DFSDFS是惟一一種能在計算機上進行數(shù)值求解是惟一一種能在計算機上進行數(shù)值求解和運算的傅立葉表示。和運算的傅立葉表示。離散時間周期信號的傅立葉離散時間周期信號的傅立葉級數(shù)級數(shù) 0211jknjknNknNnNax n ex n eNNpw02 jknjknNkkkNkNx na ea

31、epw 綜合公式綜合公式 分析公式分析公式例例3.10 0 sinx nnw(2 /)(2 /)11 22jN njN nx neejjpp1111,22aajj 例例3.11224 1 sin()3cos()cos()2x nnnnNNNpppp +222()()2()222()231311 1222221 2jnjnjnjNNNjnjNx neeeejjeepppppp +011223131111,222222aaaaj ajjj+ 例例3.12 周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜1121NjknNknNaeNp1sin(21)1sinkNNNkNpp+0, 2 ,kNN的包絡(luò)具有的

32、包絡(luò)具有 的形狀。的形狀。kasinsinxx121kNaN+krN1220NN1110NN1210NN周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜三、三、DFS的收斂的收斂 DFS 是一個有限項的級數(shù)，確定是一個有限項的級數(shù)，確定 的的關(guān)系式關(guān)系式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題也是有限項的和式，因而不存在收斂問題。ka 周期序列的頻譜也具有周期序列的頻譜也具有離散性離散性、諧波性諧波性，當(dāng)在，當(dāng)在 區(qū)間區(qū)間 考查考查時時，也具有也具有收斂性收斂性。不同的是，。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有離散時間周期信號的頻譜具有周期性周期性。 pp1、相乘：相乘： 2、差分：差分：3.7 3.7

33、DFS DFS的性質(zhì)的性質(zhì) DFSkx na DFSky nb DFSklk llNx n y ncab DFSkx na 0 00(1)jnDFSkx nx nneaw 周期卷積周期卷積 01(1)jDFSkx nx neaw ( ) ( )Flk llx t y tab 3、 Paseval定理定理 這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。221| ( ) |knNkNx naN DFSkx na +kkTadttxT22)(13.8 3.8 傅里葉級數(shù)與傅里