九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)新定義問(wèn)題含答案

1、新定義問(wèn)題1 .(大興18期末28)一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則單位圓與x軸的交點(diǎn)分別為(1,0),(-1,0),與y軸的交點(diǎn)分別為(0,1),(0,-1).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)銳角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，口的一邊與x軸的正半軸重合，另一邊與單位圓交于點(diǎn)P(x1，y1),且點(diǎn)P在第一象限.(1) X=(用含a的式子表示)；y1=(用含3的式子表示);(2)將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90口后與單位圓交于點(diǎn)Q(x2,y2).判斷與x2的數(shù)量關(guān)系，并證明；y+y2的取值范圍是：.28.(1)cosa.分.1s

2、ina；分2(2)y1與x2的數(shù)量關(guān)系是：y1=一x2.分證明：過(guò)點(diǎn)P作PF±x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)Q作QE,x軸于點(diǎn)E分5/PFOZQEO=90/POFZOPF=90；PO_OQ/POF,/QOE=90.QOE=/OPFPPO=OQ=1.QOEOPFPF=OE.'P(xi,w),Q(x2,y2)，yj=,.Q在第二象限，P在第一象限1Vi>0,x2<0y=x2分611<y1+y2£42.分82.滿足條件的式、®P戰(zhàn)心方融皖工于耗為力相心'-tr=OBE試.丸.門(mén)品t.3g哦j5-isi老占1占MID瞄麗3骨E3.tt(東城18期末28

3、)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M和圖形G,若在圖形G上存在一點(diǎn)N,使M,N兩點(diǎn)間的距離等于1,則稱M為圖形G的和睦點(diǎn).(1)當(dāng)。的半徑為3時(shí)，在點(diǎn)Pi(1,0),P2(V3,),P3(，,0),P4(5,0)中，。O的和睦點(diǎn)是;(2)若點(diǎn)P(4,3)為。的和睦點(diǎn)，求。O的半徑r的取值范圍；(3)點(diǎn)A在直線y=-1上，將點(diǎn)A向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B,以AB為邊構(gòu)造正方形ABCD,且C,D兩點(diǎn)都在AB右側(cè).已知點(diǎn)E(夜,夜)，若線段OE上的所有點(diǎn)都是正方形ABCD的和睦點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)Xa的取值范圍.【解析】(V分別以司.力.用a以為用心1為羋啪圃.耳與。匕交生，則P屁日。的和痛點(diǎn).

4、所以巧.丹漉址.3】迷接0總門(mén)佇苦.3.(昌平18期末28)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P,給出如下定義：記點(diǎn)P至Ux軸的距離為di,到y(tǒng)軸的距離為d2,若diAd2,則稱&為點(diǎn)P的最大距離；若di<d2,則稱d2為點(diǎn)P的最大距離.例如：點(diǎn)P(-3,4)到到x軸的距離為4,到y(tǒng)軸的距離為3,因?yàn)?<4,所以點(diǎn)P的最大距離為4.(1)點(diǎn)A(2,-5)的最大距離為若點(diǎn)B(a,2)的最大距離為5,則a的值為(2)若點(diǎn)C在直線y=x2上，且點(diǎn)C的最大距離為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)若。O上存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M的最大距離為5,直接寫(xiě)出。O的半徑r的取值范圍.54-IIII、12345r2

5、8.解：（1）5(2)二點(diǎn)C的最大距離為5,x<5時(shí)，y=±5,或者當(dāng)y<5時(shí)，x=±5.第3頁(yè)分別把x=土5,y=±5代入得:當(dāng)x=5時(shí)，y=_7,當(dāng)x=-5時(shí)，y=3,當(dāng)y=5時(shí)，x=7,當(dāng)y=_5時(shí)，x=3,.點(diǎn)C(-5,3)或(3,C)5分(3)5<r<5.7分4.(朝陽(yáng)18期末28)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B在x軸的正半軸上.若點(diǎn)P,Q在線段AB上，且PQ為某個(gè)一邊與x軸平行的矩形的對(duì)角線，則稱這個(gè)矩形為點(diǎn)P,Q的“X矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q的“X矩形”的示意圖.(1)若點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,則點(diǎn)B,

6、C的“X矩形”的面積為.(2)點(diǎn)M,N的“X矩形”是正方形，當(dāng)此正方形面積為4,且點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為3時(shí)，寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)N的坐標(biāo)及經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的反比例函數(shù)的表達(dá)式；當(dāng)此正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為3,且半徑為r的。與它沒(méi)有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出r的取值范圍.fA”7-7備用圖(2ti.ti(6,02分Ar(L5)喊Nm一，分'2,0<T<1Nl£Et.R療225.(海淀18期末27)對(duì)于。C與。C上的一點(diǎn)A,若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：卅"AP與。C交PA于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合)，且1工<2,則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于。C的生長(zhǎng)點(diǎn)QA已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OO的半徑為1,點(diǎn)A(

7、-1,0).(1)若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于。的生長(zhǎng)點(diǎn)”，且點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);1(2)若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于。O的生長(zhǎng)點(diǎn)”，且滿足tan/BAO=-,求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取2值范圍；(3)直線y=J3x+b與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于。O的生長(zhǎng)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出b的取值范圍是27.解:(1)(2,0)(答案不唯一).1分1(2)如圖，在x軸上萬(wàn)作射線AM,與。0交于M,且使得tanZQAM=,并在AM上取點(diǎn)N,2使AM=MN,并由對(duì)稱性，將MN關(guān)于x軸對(duì)稱，得MN',則由題意，線段MN和MN'上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B.作MH，x軸于H,連接MC,

8、：/MHA=90°,即/OAM+/AMH=90°.vAC是。0的直徑，：/AMC=90°,即/AMH+/HMC=90°.：/OAM=/HMC.1tanHMC=tanQAM=.2MHHC1=.HAMH21設(shè)MH=y，則AH=2y,CH=3y,5.一44.AC=AH+CH=y=2,解得y=,即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為一.255又由AN=2AM,八為(-1,0),可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為8,548八故在線段MN上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足：WtW.3分5584.由對(duì)稱性，在線段MN上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足：-MtM-4分558.44.8:點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值也圍是一WtE-或一EtM

9、一.5555(3)-4-<b<-11<b<4-5/3.6.(石景山18期末28)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xi,yj,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(乂2,丫2),且xi#X2,yi#y2,若PQ為某個(gè)等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點(diǎn)P,Q的相關(guān)等腰三角形下圖為點(diǎn)P,Q的相關(guān)等腰三角形”的不意耳.(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-J3,0),則點(diǎn)A,B的相關(guān)等腰三角形”的頂角為:;(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,73),點(diǎn)D在直線y=473上，且C,D的相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達(dá)式；(3)。的半徑為右，點(diǎn)N在

10、雙曲線y=-3上.若在。O上存在一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M、xN的相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xn的取值范圍.28.(本小題滿分8分)解：(1)120o；2分(2) C,D的相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，底角為60°,底邊與x軸平行，直線CD與x軸成60°角，與y軸成30°角，通過(guò)解直角三角形可得D的坐標(biāo)為(3,4、萬(wàn))或(-3,4V3),進(jìn)一步得直線CD的表達(dá)式為y=V3x+d3或y=3x+V3.5分(3) TXnE1或1Wxn<3.8分7.(西城18期末28)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(2,-2).對(duì)于給

11、定的線段AB及點(diǎn)P,Q,給出如下定義：若點(diǎn)Q關(guān)于AB所在直線白對(duì)稱點(diǎn)Q'落在ABP的內(nèi)部(不含邊界)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn).(1)已知點(diǎn)P(4,-1).在Qi(1,-1),Q2(1,1)兩點(diǎn)中，是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)的是若點(diǎn)M在直線y=x-1上，且點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)Xm的取值范圍；(2)已知點(diǎn)C(3,3),OC的半徑為r,點(diǎn)D(4,0),若點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)，且滿足直線DE與。C相切，求半徑r的取值范圍.28.解“1>Qi.（見(jiàn)圖8）*I分如圖九點(diǎn)/4,-1）關(guān)于/日所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為P'S,-1），2分此時(shí)點(diǎn)產(chǎn)恰

12、好在直線，二釐-1上V點(diǎn)”懸點(diǎn)尸關(guān)于線段A3的內(nèi)稱點(diǎn)，二點(diǎn)M關(guān)于熊所在直線的對(duì)稱點(diǎn)M落在ARP的內(nèi)部（不含邊界3又丫點(diǎn)M在直線,F三£一1上，二點(diǎn)出應(yīng)在線段產(chǎn)G上（點(diǎn)G為線段46與直線y=1的交點(diǎn)），且不與兩個(gè)端點(diǎn)F,G重合.7.0<irw<2.（2）如圖10.二點(diǎn)E是點(diǎn)。關(guān)于線段4日的內(nèi)稱點(diǎn)，點(diǎn)區(qū)關(guān)于A8所在宜線的對(duì)稱點(diǎn)/應(yīng)在AHED的內(nèi)部（不含邊界）.；點(diǎn)關(guān)于A8所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)明A點(diǎn)E應(yīng)在乂的內(nèi)部（不告邊界.4分1/4（2,2）,C（3.3）/（4,O）,可得AC=&.AD=2/2.CD=71Q.AC1+3=C況LCAD=90”.3AC1AD.此時(shí)直線

13、m1與以4c為半徑的0c相切，半徑AC=匹.5分當(dāng)直線DE與以&>為半徑的3C相切為切點(diǎn)時(shí),C的半徑最大.最大值為做/.符合題意的CC的半徑的取值范圍是立c/M網(wǎng)*7分8.(豐臺(tái)18期末28)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和。C,給出如下定義：如果。C的半徑為r,OC外一點(diǎn)P到。C的切線長(zhǎng)小于或等于2r,那么點(diǎn)P叫做。C的離心點(diǎn)”.(1)當(dāng)。的半徑為1時(shí)，在點(diǎn)Pi(1,Y3),P2(0,2),P3(J5,0)中，。的離心點(diǎn)”是；22點(diǎn)P(m,n)在直線y=x+3上，且點(diǎn)P是。O的離心點(diǎn)”，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)m的取值范圍；(2)OC的圓心C在y軸上，半徑為2,直線y=x+1與x軸、y軸

14、分別交于點(diǎn)A,B.2如果線段AB上的所有點(diǎn)都是。C的離心點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心C縱坐標(biāo)的取值范圍.28.解：(1)P2,P3；2分22_設(shè)P(m,m+3),則m+(m+3)=5.3分解得m1=1,m2=2.4分故1用W26分圓心C縱坐標(biāo)yC的取值范圍為：1一2450/0<1-45或3丫0<4.8分9.(懷柔18期末28)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,縱坐標(biāo)為2x,滿足這樣條件的點(diǎn)稱為關(guān)系點(diǎn)”.(1)在點(diǎn)A(1,2)、B(2,1)、M(；1)、N(1,)中，是關(guān)系點(diǎn)”的;(2)。的半徑為1,若在。O上存在關(guān)系點(diǎn)”P(pán),求點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),若在。C上有且

15、只有一個(gè)關(guān)系點(diǎn)”P(pán),且關(guān)系點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)滿足-2&xW2|直接寫(xiě)出。C的半徑r的取值范圍.28.解：A、M.(2)過(guò)點(diǎn)P作PGJ±x軸于點(diǎn)G設(shè)P(x,2x)OG2+PG2=OP2x2+4x2=15x2=1，分.x2=5片名色或x-17<r<J415分P分7I-13八T/1-4分2亞T2第10頁(yè)10.（平谷18期末28）在平面直角坐標(biāo)系中，將某點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這個(gè)點(diǎn)的互換點(diǎn)”，如（-3,5）與（5,-3）是一對(duì)互換點(diǎn)”.（1）以O(shè)為圓心，半徑為5的圓上有無(wú)數(shù)對(duì)互換點(diǎn)”，請(qǐng)寫(xiě)出一對(duì)符合條件的互換點(diǎn)”;（2）點(diǎn)M,N是一對(duì)互換點(diǎn)

16、”，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,n）,且（m>n）,。P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,0）,求圓心P所在直線的表達(dá)式；。P的半徑為5,求mn的取值范圍.28.解：（1）答案不唯一，如：（4,3）,（3,4）;2（2）連結(jié)MN,.OM=ON=4,RtAOMN是等腰直角三角形.過(guò)O作OALMN于點(diǎn)A,點(diǎn)M,N關(guān)于直線OA對(duì)稱.3由圓的對(duì)稱性可知，圓心P在直線OA上.4圓心P所在直線的表達(dá)式為y=x.5當(dāng)MN為。P直徑時(shí)，由等腰直角三角形性質(zhì)，可知m-n=5/2;6當(dāng)點(diǎn)M,N重合時(shí)，即點(diǎn)M,N橫縱坐標(biāo)相等，所以mn=0;7，mn的取值范圍是0vmn<5/2.8第11頁(yè)11.(密云18期末28)已

17、知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形G,給出如下的定義：若在圖形G上存在一點(diǎn)Q，使彳導(dǎo)P、Q之間的距離等于1,則稱P為圖形G的關(guān)聯(lián)點(diǎn).(1)當(dāng)|_0的半徑為1時(shí)，1點(diǎn)P1(2,0),P2(1,73),B(0,3)中，L0的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有.直線經(jīng)過(guò)(0,1)點(diǎn)，且與y軸垂直，點(diǎn)P在直線上.若P是10的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,中心為原點(diǎn)，正方形各邊都與坐標(biāo)軸垂直.若正方形各邊上的點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求圓的半徑r的取值范圍.分28.(1)P、P2(2)如圖，以O(shè)為圓心，2為半徑的圓與直線y=1交于P,巳兩點(diǎn).線段PP2上的動(dòng)點(diǎn)P(含端點(diǎn))都是以o為圓心，

18、1為半徑的圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn).故此-J3wxwJ3.第12頁(yè)(3)由已知，若P為圖形G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，圖形G必與以P為圓心1為半徑的圓有交點(diǎn)丫正方形ABCD邊界上的點(diǎn)都是某圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),該圓與以正方形邊界上的各點(diǎn)為圓心1為半徑的圓都有交點(diǎn)故此，符合題意的半徑最大的圓是以O(shè)為圓心，3為半徑的圓；符合題意的半徑最小的圓是以O(shè)為圓心，2四1為半徑的圓.綜上所述，2夜lErE3分.812.(門(mén)頭溝18期末28)以點(diǎn)P為端點(diǎn)豎直向下的一條射線PN,以它為對(duì)稱軸向左右對(duì)稱擺動(dòng)形成了射線PN-PN2,我們規(guī)定：/N1PN2為點(diǎn)P的搖擺角”，射線PN搖擺掃過(guò)的區(qū)域叫作點(diǎn)P的搖擺區(qū)域”(含PN1,PN2).在平面直角坐標(biāo)系xO

19、y中，點(diǎn)P(2,3).(1)當(dāng)點(diǎn)P的搖擺角為60。時(shí)，請(qǐng)判斷0(。，。)、A。2)、B(2,1)、C(2+73,0)屬于點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是(填寫(xiě)字母即可)；(2)如果過(guò)點(diǎn)D。,。)，點(diǎn)E(5,0)的線段完全在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點(diǎn)P的搖擺角至少為°；(3)©W的圓心坐標(biāo)為(a,0),半徑為，如果。W上的所有點(diǎn)都在點(diǎn)P的搖擺角為604時(shí)的搖擺區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍.28.(本小題滿分8分)解：(1)點(diǎn)B,點(diǎn)C;2分(2) 90°3分(3)當(dāng)。W運(yùn)動(dòng)到搖擺角的內(nèi)部，與PF左邊的射線相切時(shí)如圖28-1點(diǎn)P(2,3)的搖擺角為60。ZKPF=30°,PF=

20、3第13頁(yè)，_.KF在RtPFK中，tan/KPF=tan/30©=在PF可求得KF二心3/KPF=30，.PKF=60在RtAPFK中，sin/QKF=sin/60o=QW，KW可求得KW=2百3一OW=OF-KF+KW=2-73+2石=2-17333當(dāng)。W運(yùn)動(dòng)到搖擺角的內(nèi)部，與PF右邊的射線相切時(shí)如圖28-2同理可求得OW=2+133、21點(diǎn)<aW2+1點(diǎn)33說(shuō)明：若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評(píng)分參考相應(yīng)給分。13.(通州18期末25)點(diǎn)P的d值”定義如下：若點(diǎn)Q為圓上任意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最大值與最小值之差即為點(diǎn)P的d值”，記為dP.特別的，當(dāng)點(diǎn)P,Q重合

21、時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度為0.當(dāng)。O的半徑為2時(shí)：一r1)(1)若點(diǎn)C,0I,D3,4,則d°=,dD=;<2J(2)若在直線y=2x+2上存在點(diǎn)P,使得dP=2,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；3(3)直線y=-3x+b(b>0)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B.若線段AB上存在點(diǎn)P,使3得2WdP父3,請(qǐng)你直接寫(xiě)出b的取值范圍.備用圖備用圖第14頁(yè)占注若無(wú)過(guò)程.宜按百出獷*=-1局1分出拉出門(mén)=一1或一!斷2»口23.解：f1)J.'H】*/力=42-分(對(duì)一力給1分,根據(jù)題盛.常足以三2的點(diǎn)位于以點(diǎn)。為國(guó)心.本怪為1的副周匕3分J/丁點(diǎn)尸在直統(tǒng)丫一。+之上，二注PQ2+2

22、k*7F+f2/=【.即力(>+】>=。解髀M=-l,7T'.V14.(燕山18期末28)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)。C上一點(diǎn)P作。C的切線1.當(dāng)入射光線照射在點(diǎn)P處時(shí)，產(chǎn)生反射，且滿足：反射光線與切線1的夾角和入射光線與切線1的夾角相等，點(diǎn)P稱為反射點(diǎn).規(guī)定：光線不能穿過(guò)”。C,即當(dāng)入射光線在。C外時(shí),只在圓外進(jìn)行反射；當(dāng)入射光線在。C內(nèi)時(shí)，只在圓內(nèi)進(jìn)行反射.特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線。光線在。C外反射的示意圖如圖1所示，其中/1=/2.(1)自。C內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)。C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P1是第1個(gè)反射點(diǎn).請(qǐng)?jiān)趫D2中作出光線經(jīng)。C第二次反射后的反射光線和反射點(diǎn)P3；(2)當(dāng)。的半徑為1時(shí)，如圖3,第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于y軸，且自。的外部照射在圓上點(diǎn)P處，此光線經(jīng)。O反射后，反射光線與x軸平行，則反射光線與切線1的夾角為。；自點(diǎn)M(0,1)出發(fā)的入射光線，在。O內(nèi)順時(shí)針?lè)较虿粩嗟胤瓷?若第1個(gè)反射點(diǎn)是P1,第二個(gè)反射點(diǎn)是P2,以此類推，第8個(gè)反射點(diǎn)是P8恰好與點(diǎn)M重合，則第1個(gè)反射點(diǎn)P1的坐標(biāo)為;(3