二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

1、二階線性常微分方程的號(hào)級(jí)數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用哥級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)。因此，自然想到，能否用哥級(jí)數(shù)來(lái)表示微分方程的解呢？丁、一”一一、一一例1、求萬(wàn)程y-xy=0的通解解：設(shè)y=a0+ax+a2x2+anxn+為方程的解，這里a"i=0,12,n,)是待定常系數(shù)，將它對(duì)x微分兩次，有將y,y的表達(dá)式代入方程，并比較的同次哥的系數(shù)，得到但<x<s21a2=0,32a3a0=0,43a44=0,5.435-82=0,|或一般的可推得33k23561M(3k-1)3k'30a3k4=-，3467川3k(3k1)其中a1,a2是任意的，因而代入設(shè)

2、的解中可得:這個(gè)哥級(jí)數(shù)的收斂半徑是無(wú)限大的，因而級(jí)數(shù)的和(其中包括兩個(gè)任意常數(shù)a°及a.便是所要求的通解。例6求方程y''-2xy'-4y=0的滿足初值條件y(0)=0及y'(°)=1的解。解設(shè)級(jí)數(shù)y=a0+ax+a2x2+anxn+為方程的解。首先，利用初值條件,可以得到因而將y,y,y'的表達(dá)式帶入原方程，合并x的各同次哥的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到因而最后得1k!11a2k1-k(k-1)!對(duì)一切正整數(shù)k成立。將a(i=o,1,2J|)的值代回y=a。+a1x+a2x2+anXn+就得到這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所

3、有方程都能按以上方式求出其哥級(jí)數(shù)解？或者說(shuō)究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用哥級(jí)數(shù)來(lái)表示呢？級(jí)數(shù)的形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何？這些問(wèn)題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時(shí)需要涉及解析函數(shù)等較專門的知識(shí)，在此我們僅敘述有關(guān)結(jié)果而不加證明，若要了解定理的證明過(guò)程，可參考有關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程''及初值條件y(xo)=y。及y(X。)=y。的情況。不失一般性，可設(shè)=0,否則，我們引進(jìn)新變量t=x-x0,經(jīng)此變換，方程的形狀不變，在這時(shí)對(duì)應(yīng)于x=%的就是t0=0了，因此，今后我們總認(rèn)為x0=0。定理10若方程Jy+p(x)-dyq(x)y由系數(shù)p(x)和q

4、(x)都能展成x的dxdx哥級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為|x|<R,則方程p(x«yq(x)y將形如dxdx的特解，也以|x|<R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件，系數(shù)-x,-2x和-4可看作是在全數(shù)軸上收斂的哥級(jí)數(shù)，故方程的解也在全數(shù)軸上收斂。但有些方程，例如n階貝賽爾方程這里n為非負(fù)常數(shù)，不一定是正整數(shù)，(在+p(x)包+q(x)y=0)在此dxdx1n2p(x)=-,q(x)=1，顯然它不滿足定理10的條件，因而不能肯定有形如xxcd_ny二乙anx的特解。但它滿足下述定理11的條件，從而具有別種形狀的n=0哥級(jí)數(shù)解。d2ydy7E理11右萬(wàn)程一t+p(x)

5、4q(x)y電系數(shù)p(x),q(x)具有這樣的dxdx性質(zhì)，即xp(x)和x2q(x)均能展成x的哥級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為|x|<R,若a0¥0,.2dy,dy,八一n則方程。+p(x):十q(x)y神如y=經(jīng)axdxdxndD即oOn丁的特解，a是一個(gè)特定的常數(shù)，級(jí)數(shù)丫=乙anx也以|x|<R為收斂n=0區(qū)間。若a。=0,或更一般的，%=0(i=0,1,2|,m-1),但am。0,則引入記號(hào)P=&+m,bk=am«,則COQOQO:、n:：Lmkky二x乙anx二x乙amx=x乙bkxn=mk=0k=0這里b°=am#0,而仍為待定常數(shù)。例7求解

6、n階貝賽爾方程x2*+xdy+(x2-n2)y=0。dxdx解將方程改寫成d2y1dyx2-n27十j+y=0,dxxdxx易見(jiàn)，它滿足定理11的條件(xp(x)和x2q(x)均能展成X的哥級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為|XgR),且xp(x)=1,x2q(x)=x2n2,按展成的哥級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為-°o<x<m,由定理11,方程有形如的解，這里a。#0,而ak和"是待定常數(shù)，將y=oOak乙akx代入:k=0X2需十x/(x2-n2)y=0中，得O0z22、.ak+(x-n)Eakx=0,k=0把x同哥次項(xiàng)歸在一起，上式變?yōu)榱罡黜?xiàng)的系數(shù)等于0,得一系列的代數(shù)方程因?yàn)閍0#0

7、,故從a°a2-n2=0解得a的兩個(gè)值2dydy,22、一先考慮a=n時(shí)方程xxj+(x-n)y=0的一個(gè)特解，這時(shí)dxdx我們總可以從以上方程組中逐個(gè)地確定所有的系數(shù)ak。把口=n代入以上方程組，得到ak-2k(2nk)或按下標(biāo)為奇數(shù)或偶數(shù)，我們分別有從而求得般地將ak各代入8=aky-乙akx得到方程k=0X2*"著"2)尸0的一個(gè)2dvdv,22、一既然是求X-4+x-+（x-n）v=。的特解我們不妨令dxdx其中函數(shù)r（s）定義如下：s-1-X,當(dāng)S>0時(shí)，r（s）T0xedx;當(dāng)s<0且非整數(shù)時(shí)，由遞推公式，、1,F（s）=Js+1）定義。s

8、1s）具有性質(zhì)s1=ss；n1=n!n為正整數(shù)k_n._1a2kn而v1a°x；=122kk!（n+1）（n+2）|（n+k）x變?yōu)樽⒁獾胶瘮?shù)的性質(zhì)，即有,2d2vdv,22、一Jn（x）是由貝塞爾方程x/+xj+（x-n）v=0定義的特殊函數(shù)，稱dxdx為n階貝賽爾函數(shù)。a=一n時(shí)方程n時(shí)的求解過(guò)因此，對(duì)于n階貝塞爾方程，它總有一個(gè)特解Jn（x）。為了求得另一個(gè)與Jn（x）線性無(wú)關(guān)的特解，我們自然想到，求,22dvdv22xT+x-y-+（x-n）v=0的形如dxdx的解，我們注意到只要n不為非負(fù)整數(shù)，像以上對(duì)于程一樣，我們總可以求得a02-n2=03(:1)2-n2=022使之滿

9、足ak(ak)nak.20中的一系列方程，因而*=2,3,|一2d2ydy,22、是xwx瓦（x-n）y=O的一個(gè)特解。此時(shí),若令Q0nv貝uV2:a0x、kRk-1a。22kk!-n1-n2UI-n2k-n變?yōu)榉QJ_n（x）為階貝賽爾函數(shù)。利用達(dá)朗貝爾判別法不難COn-a°x'k=11a02knx22kk!n1n2IIInk-nV2a°x十JL1)ka°k=122kk!-n1-n2HI-nk2knx-nV2a°xoO十Ek=1k-1a。22kk!-n1-n2HI-nk2k-nx中x#o)者B是收斂的，因此，當(dāng)n不為非負(fù)整數(shù)時(shí)，Jn（x）和J_n

10、（x）都是方程x2*+x-dy（）（-n）y=0勺解，而且是線性無(wú)關(guān)的，因?yàn)樗鼈兛烧篂橛蒬xdxx的不同哥次開始的級(jí)數(shù)，從而它們的比不可能是常數(shù)。于是方程x2d-iyx-dy（I一©y=0勺通解可寫為y=c1Jnx-GJxdxdx這里G,c2是任意常數(shù)。此情形的Jn(x)和J_n(X)稱為第一類貝塞爾函數(shù)。，、一2'''L29"八一一例8求萬(wàn)程xy+xy+4xy=0的通解。<251解引入新變量t=2x,我們有22dyd仁dydt,dy7:2I=4-2"dxdt<dt1dxdt，將上述關(guān)系代入院方程，得到2d2ydy229)t2&

11、lt;+t+t2y=0dt2dt<251'3這是，n二£的貝塞爾方程由例7可知，方程52d2ydy'29、t菽加t_五/=0的通解可表為y=c1J3tc2J3t)55代回原來(lái)變量，就得到原方程的通解其中g(shù),C2是任意常數(shù)。第二宇宙速度計(jì)算作為這一節(jié)的應(yīng)用，我們計(jì)算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個(gè)速度你下，物體將擺脫地球的引力，向地球一樣繞著太陽(yáng)運(yùn)行，成為人造衛(wèi)星.讓我們首先建立物體垂直上拋運(yùn)動(dòng)的微分方程.以M和m分別表示地球和物體的質(zhì)量.按牛頓萬(wàn)有引力定律，作用于物體的引力F(空氣阻力忽略不計(jì))為這里r表示地球的中心和物理體重心之間的距離，k為萬(wàn)有引力常數(shù)。因?yàn)?，物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)滿足下面的微分方程或這里的負(fù)號(hào)表示物體的加速度是負(fù)的。設(shè)地球半徑為R(R=63>d05m),物理發(fā)射速度為V。，因此，當(dāng)物體剛剛離開地球表面時(shí)，我們有r=R,dr=V0,即應(yīng)取初值條件為dt方程"一k”不顯含自變量tdt2r2解得注意到這時(shí)初值條件為因而2因?yàn)槲矬w運(yùn)動(dòng)速度必須始終保持是正的，即匕>0,而隨著r的不斷增大，量2222kM變得任意