洛倫茲變換的推導(dǎo)

1、洛倫茲變換的推導(dǎo)： 不妨假設(shè)自然界一切物理規(guī)律都是平權(quán)的，也就是在不同的參考系，所有的物理規(guī)律都是一樣的 現(xiàn)在我們 設(shè)（x，y，z，t）所在坐標(biāo)系（A系）靜止，（X，Y，Z，T）所在坐標(biāo)系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的坐標(biāo)為X=-uT，即X+uT=0?？闪睿?）.又因在慣性系內(nèi)的各點位置是等價的，因此k是與u有關(guān)的常數(shù)（廣義相對論中，由于時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數(shù)。）同理，B系中的原點處有，由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應(yīng)取相同的形式，即k=K。故有（2）.對于y，z，Y，Z皆與速度無關(guān)，可得（3）.（4）.將（2）代入（

2、1）可得：，即（5）.（1）（2）（3）（4）（5）滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當(dāng)兩系的原點重合時，由重合點發(fā)出一光信號，則對兩系分別有，。代入（1）（2）式得：，。兩式相乘消去t和T得：.將反代入（2）（5）式得坐標(biāo)變換：3速度變換：同理可得V（y），V（z）的表達(dá)式。4尺縮效應(yīng)：B系中有一與x軸平行長l的細(xì)桿，則由得：，又t=0（要同時測量兩端的坐標(biāo)），則，即：，。5鐘慢效應(yīng)：由坐標(biāo)變換的逆變換可知，故，又，（要在同地測量），故。（注：與坐標(biāo)系相對靜止的物體的長度、質(zhì)量和時間間隔稱固有長度、靜止質(zhì)量和固有時，是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量。）6光的多普勒效應(yīng)：（注：聲音的多普勒效

3、應(yīng)是：）B系原點處一光源發(fā)出光信號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鐘，當(dāng)兩系原點重合時，校準(zhǔn)時鐘開始計時。B系中光源頻率為（b），波數(shù)為N，B系的鐘測得的時間是t（b），由鐘慢效應(yīng)可知，A系中的鐘測得的時間為（1）.探測器開始接收時刻為，最終時刻為，則（2）.相對運(yùn)動不影響光信號的波數(shù)，故光源發(fā)出的波數(shù)與探測器接收的波數(shù)相同，即（3）.由以上三式可得：.7動量表達(dá)式：（注：，此時，因為對于動力學(xué)質(zhì)點可選自身為參考系，）牛頓第二定律在伽利略變換下，保持形式不變，即無論在那個慣性系內(nèi)，牛頓第二定律都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進(jìn)行修正，要求是在坐標(biāo)

4、變換下仍保持原有的簡潔形式。牛頓力學(xué)中，r在坐標(biāo)變換下形式不變，（舊坐標(biāo)系中為（x，y，z）新坐標(biāo)系中為（X，Y，Z）只要將分母替換為一個不變量（當(dāng)然非固有時莫屬）就可以修正速度的概念了。即令為相對論速度。牛頓動量為，將v替換為V，可修正動量，即。定義（相對論質(zhì)量）則.這就是相對論力學(xué)的基本量：相對論動量。（注：人們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）8相對論力學(xué)基本方程：由相對論動量表達(dá)式可知：，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內(nèi)涵不一樣。（相對論中質(zhì)量是變量）9質(zhì)能方程：即10能量動量關(guān)系：，四維證明1公理，無法證明。2坐標(biāo)變換：由光速不變原理：dl=cdt，即d

5、x2+dy2+dz2+（icdt）2=0在任意慣性系內(nèi)都成立。定義dS為四維間隔，dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2（1）.則對光信號dS恒等于0，而對于任意兩時空點的dS一般不為0。dS20稱類空間隔，dS20稱類時間隔，dS2=0稱類光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標(biāo)變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量，dS2dS2光速不變原理要求光信號在坐標(biāo)變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結(jié)論：dS是坐標(biāo)變換下的不變量。由數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換公式有：（保持y，z軸不動，旋轉(zhuǎn)x和ict軸）X=xcos+（ict）sin得：tan=iu/c，則co

6、s=，sin=iu/c反代入上式得：X=（x-ut）Y=yZ=zT=（t-ux/c2）3456略。7動量表達(dá)式及四維矢量：（注：=1/sqr（1-v2/c2），下式中dt=d）令r=（x，y，z，ict）則將v=dr/dt中的dt替換為d，V=dr/d稱四維速度。則V=（v，ic）v為三維分量，v為三維速度，ic為第四維分量。（以下同理）四維動量：P=mV=（mv，icm）=（Mv，icM）四維力：f=dP/d=dP/dt=（F，icdM/dt）（F為三維力）四維加速度：=/d=（4a，4iva/c）則f=mdV/d=m8略。9質(zhì)能方程：fV=mV=m（5va+i25va）=0故四維力與四維速度永遠(yuǎn)“垂直”，（類似于洛倫茲磁場力）由fV=0得：2m