第1次課第81向量及線性運(yùn)算ppt課件

1、第八章第一節(jié)第八章第一節(jié)課堂練習(xí)：指導(dǎo)書課堂練習(xí)：指導(dǎo)書 P149-150 (三三) 3，7，10，18向量及其線性運(yùn)算 數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數(shù) 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、

2、投影 向量及其線性運(yùn)算 第八章 教 學(xué) 目 的教 學(xué) 目 的：使學(xué)生理解向量的有關(guān)概念及空間直角坐標(biāo)系的概念，使學(xué)生理解向量的有關(guān)概念及空間直角坐標(biāo)系的概念，掌握掌握( (單位單位) )向量、向量的方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式，向量、向量的方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行線性運(yùn)算會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行線性運(yùn)算. .一、向量的概念一、向量的概念.a或或表示法表示法:向量的模向量的模 :即向量的大小即向量的大小,21MM記作1、向量、向量:(又稱矢量又稱矢量). 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量2、自由向量、自由向量: 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.

3、單位向量單位向量:模為模為 1 的向量的向量.零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,0.0記作， 或記作記作 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或或數(shù)學(xué)上常用有向線段來(lái)表示向量，數(shù)學(xué)上常用有向線段來(lái)表示向量，12MM以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量，3 3、兩個(gè)特殊向量：、兩個(gè)特殊向量：設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn)任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ,a b的夾角.),(ab或記作記作),(ba4.4.兩向量夾角的定義：兩向量夾角的定義：注記：注記：假假設(shè)設(shè),ab中有一個(gè)為零向量，中有一個(gè)為零向量，規(guī)定它們的夾角可在規(guī)定它們的夾角可

4、在0,中任意取值中任意取值.5.5.向量間的幾種特殊關(guān)系：向量間的幾種特殊關(guān)系：ab假設(shè)與大小相等且方向相同假設(shè)與大小相等且方向相同. .abab：（1 1相等相等（2 2平行平行：ba/假設(shè)與方向相同或相反假設(shè)與方向相同或相反. .ab（兩向量平行也稱兩向量共線）（兩向量平行也稱兩向量共線）（3垂直垂直(3)kk k當(dāng)把個(gè)向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，或或 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上.ab若與的夾角為的夾角為0.或或或ab：( , ).2a b若（4）個(gè)向量共面：個(gè)向量共面：k若個(gè)終點(diǎn)與起點(diǎn)在同一個(gè)平面上在同一個(gè)平面上.二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1

5、. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .babbacba)()(cbacbaacba cb )(cbacba)(aaba ba bbs3a4a5a2a1a54321aaaaas向量的減法向量的減法三角不等式三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa)( aababaab abab a0babaaa負(fù)向量向量 的記作：abbaa即與的模相等但方向相反的向量.2.2.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法(1)a是一個(gè)向量；(2) | |aa0000 (3)a

6、aaa 時(shí)時(shí)與與反反向向時(shí)時(shí)與與同同向向時(shí)時(shí)與與的的方方向向a向量aa2a21 , a與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù) 的乘積，的乘積， 記作記作規(guī)定如下：規(guī)定如下：1.1.定義：定義：0(2)0aa設(shè)為與 （）同方向的單位向量，0|aa a 運(yùn)算律運(yùn)算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba.aaea有些書用或表示與同方向的單位向量01|aaa從而則0/.ababa設(shè)，則存在唯一的實(shí)數(shù) ，使定理定理1.（3 3兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系( (書上書上P5)P5)證明：證明：(略略)定理定理1 1是建立數(shù)軸的理論依據(jù)。是建立數(shù)軸的理論依據(jù)。 給定一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向及單位長(zhǎng)度，一條數(shù)軸就確定

7、了；給定一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向及單位長(zhǎng)度，一條數(shù)軸就確定了；給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量易見：易見： OP xi xP實(shí)數(shù)向量點(diǎn)iPxxO1 Px即軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，ixOPxP 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為軸軸上上點(diǎn)點(diǎn) （它既確定了一個(gè)方向，（它既確定了一個(gè)方向，又確定了長(zhǎng)度單位），又確定了長(zhǎng)度單位）， 就確定了一條數(shù)軸。就確定了一條數(shù)軸。注記：注記： xP據(jù)此定義 為軸上點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn),ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用 ba ab1()2MAab 1()2MBba 1(

8、)2MCab 1()2MDba 例例1. 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)過(guò)空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面坐標(biāo)面 卦限卦限(八個(gè)八個(gè))面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下, ,xyzo向徑向徑 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , CA ,

9、 B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : :有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz(稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo))原點(diǎn)原點(diǎn) O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;rrM向徑向徑 (矢徑矢徑): 起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.坐標(biāo)面及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有何特征？坐標(biāo)面及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有何特征？坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)

10、系下在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM那那么么沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.rxiy jz kxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為此式稱為向量此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOCM點(diǎn), , rOxxyzy z向量在坐有序數(shù)標(biāo)系中稱為的坐標(biāo), (, )rx y z記作，( ) rx,y,z有些教材記為向量的坐標(biāo)表達(dá)式向量的坐標(biāo)表達(dá)式據(jù)此定義： rOMxiyjzk ( ,

11、, )x y z四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么ab(,)xxyyzzabababa(,)xyzaaaab,0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)例例3.在在AB直線上求一點(diǎn)直線上求一點(diǎn) M , 使使設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為, ),(zyx如下圖如下圖ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù),1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MB

12、OMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(解解:說(shuō)明說(shuō)明:得定比分點(diǎn)公式得定比分點(diǎn)公式:,121xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn) M 為為 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) , 于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:由由五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得, rOM作OMr OROQOP),(zyx QRKHNoMxyz r向量的模

13、的坐標(biāo)表達(dá)式P),(111zyxA因因AB得兩點(diǎn)間的距離公式得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx222212121()()()xxyyzz對(duì)兩點(diǎn)對(duì)兩點(diǎn)與與, ),(222zyxBBABAOAOBBA已知向量的起點(diǎn)和已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，寫出向終點(diǎn)坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)公式量的坐標(biāo)公式222111(,)(,)xyzxyz空間任意一點(diǎn)空間任意一點(diǎn) M(x,y,z)M(x,y,z)22:yydxz到軸的距離為OyxzM22:zzdyx到軸的距離為22:xxdyz到軸的距離為注記：注記：例例4. ,2,mijnjkm n 設(shè)求以向量為邊的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.解：311.故該平行四

14、邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度各為，11mn3mn，(1,3,1)mn(1,1,1)mn，,mnmn由向量加法知，平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為，在 z 軸上求與兩點(diǎn)例例5.5.)7,1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得14,9z 故所求點(diǎn)為及)2,5,3(B14(0,0,) .9M離的點(diǎn) . 考慮考慮: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?提示提示:(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814yx(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, )

15、,(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)例例6.6.)5,0,4(A和和, )3,1 ,7(B解解:141)2,1,3(142,141,143.BABABAAB 求與同方向的單位向量AB (74,1 0,35)(3,1,2),AB 22231( 2) 14因因那那么么于是于是1|AB 2 2、向量的方向角與方向余弦、向量的方向角與方向余弦oyzx,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸與三坐標(biāo)軸rr稱的夾角的夾角 , , 為其方向?yàn)槠浞较蚪墙?方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦. cos,xrcos,yrcosrz222coscoscos1方向余弦的性質(zhì)方

16、向余弦的性質(zhì):r與向量同方向的單位向量1rerr)cos,cos,(cos設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A A 位于第一卦限位于第一卦限, ,例例7.7.解解: 知知角依次為角依次為,34求點(diǎn)求點(diǎn) A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . ,34那么那么222coscos1cos41因點(diǎn)因點(diǎn) A 在第一卦限在第一卦限 ,故故1cos,2于是于是(61,22,21)2)3,23,3(故點(diǎn)故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAOAAO3.3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影,uM軸垂直的平面作與過(guò)點(diǎn) uM交軸于點(diǎn)， Oeu設(shè)點(diǎn)及單位向量決定軸，OMM u,OMe 設(shè) OMru稱為在軸上的分向量. MMu 稱為點(diǎn)在點(diǎn)軸上的投影， Pr j ( )uurr記作或