概率電子教案5(07)

1、125.1 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律1|lim aYPnn-|aYnP),()(baggnnPY,X設(shè)設(shè), aXnPbYnP則稱(chēng)隨機(jī)變量序列則稱(chēng)隨機(jī)變量序列Y1, Y2 ,Yn ,.依概率收斂于依概率收斂于a ，記為記為: :若對(duì)任意正數(shù)若對(duì)任意正數(shù) ，有，有 設(shè)設(shè)Y1, Y2 ,Yn ,.為一隨機(jī)變量序列，為一隨機(jī)變量序列，a是常數(shù)，是常數(shù)，, g(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(a,b)連續(xù)連續(xù),則則3 （切比雪夫定理的特殊情況切比雪夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量序）設(shè)隨機(jī)變量序列列 X1,X2,Xn,.相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：和方差： PniinX1X1E(X

2、k)= ，D(Xk)= 2 (k=1,2,.) ,則則此定理表明此定理表明, 當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)很大時(shí), n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn的算術(shù)平均的算術(shù)平均 接近于數(shù)學(xué)期望接近于數(shù)學(xué)期望E(Xk)= . niiXnX11111 niinPXlimn即即 對(duì)任意的對(duì)任意的 0,有有4 niiniin)D(XnXnD)XD(122111 niinii)E(XnXnE)XE(11112211|-1| nXnPnii 1|-lim XP|n由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式21)()XD(XEXP 即即5 （貝努力大數(shù)定律貝努力大數(shù)定律）設(shè)）設(shè)nA是是n 次獨(dú)立重復(fù)試次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)

3、生的次數(shù). p是事件是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率概率, 則對(duì)任意則對(duì)任意 0,有有11lim1 pXnPnkkn-1lim pnnAn-P0lim pnnAn-PnAXXXn 21其中其中Xk相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且都服從以參數(shù)為且都服從以參數(shù)為p的的(0-1)分布分布因而因而 E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p), (k=1,2,.),由定理由定理1, 因?yàn)橐驗(yàn)?,(pnbnA有有1lim pnnPAn-即即 此定理表明此定理表明, 事件事件A發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率 依概率收斂依概率收斂于事件的概率于事件的概率 p . 這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)

4、了達(dá)了頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性.6貝努力大數(shù)定律就是頻率穩(wěn)定性的理論依據(jù)貝努力大數(shù)定律就是頻率穩(wěn)定性的理論依據(jù)因而在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，往往因而在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，往往用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率1X1Plim1 niinn（辛欽定理辛欽定理）設(shè)隨機(jī)變量序列）設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn,.相互獨(dú)立且同分布，數(shù)學(xué)期望：相互獨(dú)立且同分布，數(shù)學(xué)期望：E(Xk)= ，則對(duì)任，則對(duì)任意正數(shù)意正數(shù) ，有，有(證明略證明略)7 在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量, ,它們是由大它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的量

5、的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的, ,而其中每一個(gè)因素在總的影響中起到的作用都而其中每一個(gè)因素在總的影響中起到的作用都是微小的是微小的. .這種隨機(jī)變量往往近似的服從正態(tài)分這種隨機(jī)變量往往近似的服從正態(tài)分布布. .這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景. . 本節(jié)只介紹三個(gè)常用的中心極限定理本節(jié)只介紹三個(gè)常用的中心極限定理. .5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理8獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn, 相互獨(dú)立，服從同相互獨(dú)立，服從同一分布一分布, 且具有相的數(shù)學(xué)期望和方差：且具有相的數(shù)學(xué)期望和方差：E

6、(Xk)= ，D(Xk)= 2 0 (k=1,2,.) ,則隨機(jī)變量之和則隨機(jī)變量之和 的標(biāo)的標(biāo) 準(zhǔn)化變量準(zhǔn)化變量: nnniin 1XY).(2122xdtetx 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x)滿(mǎn)足滿(mǎn)足:對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，有 nii1X(證明略證明略) xnniniXnxnn 1Plim)(Flim9)1 , 0(XY1Nnnniin近似近似 p定理表明定理表明,當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí),Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.10q此定理表明，當(dāng)此定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，Zn的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.).(2122xdtext 的分布函數(shù)的分

7、布函數(shù)Fn(x) 對(duì)任意對(duì)任意x，有，有 (李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且具有數(shù)學(xué)期望和方差：且具有數(shù)學(xué)期望和方差： E(Xk)= k，D(Xk)= 2k 0 (k=1,2,.) , nnkknkknkknkknkknBDE 11111)()( XXXXZ nkknB122 nkkknXEB122, 01 記記,若存在若存在 0,使得使得則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量)( n xBXxnniiniinnn11lim)(lim PF(證明略證明略)11 由由4.2例知例知, n可以看成可以看成n個(gè)相互獨(dú)立的服從同一個(gè)相互獨(dú)立的服從同一(0-1)分分布的隨機(jī)變量布的隨機(jī)變量X1,.,Xn之和，即之和，即 ).(21)1(lim22xdtexpnpnptxnn PnnXXX21nipppii, 2