2014級(jí)線代課件：陳建利向量組及其線性組合(沖突時(shí)的文件備份2014-09-26 11-32-07)

1、3.2 向量組及其線性組合向量組及其線性組合 一、一、n 維向量維向量二、向量組與矩陣二、向量組與矩陣三、向量組的線性組合三、向量組的線性組合四、等價(jià)向量組四、等價(jià)向量組線性方程組線性方程組 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn), 2 , 1(),(21njaaaTmjjjj 設(shè)設(shè),),(21Tmbbbb bxxxnn 2211 線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示一、一、n 維向量維向量1. 定義定義3.1 n 個(gè)有次序的數(shù)個(gè)有次序的數(shù) a1,a2, ,an 所組成的數(shù)組所組成的數(shù)組稱為稱為 n 維向量維向量 , 第

2、第 i 個(gè)數(shù)稱為第個(gè)數(shù)稱為第 i 個(gè)分量個(gè)分量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量,分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. .2. n 維向量的表示方法維向量的表示方法n 維向量寫成一維向量寫成一列列, 稱為稱為列向量列向量. naaa21 通常用通常用 , , , 或或 a a,b b,c c, 等表示等表示.n 維向量寫成一維向量寫成一行行, 稱為稱為行向量行向量. ),(21naaa T 通常用通常用 T, T, T, 或或 a aT,b bT,c cT, 等表示等表示.列向量可通過轉(zhuǎn)置變?yōu)樾邢蛄苛邢蛄靠赏ㄟ^轉(zhuǎn)置變?yōu)樾邢蛄?列向量可寫為列向量可寫為:

3、.),(21Tnaaa 元素全為零的元素全為零的向量向量稱為稱為零零向量向量. . 記作記作)0 , 0 , 0(0 .)0 , 0 , 0(0T 或或 說明說明1. 行向量和列向行向量和列向量總被看作是量總被看作是兩個(gè)不同的向量?jī)蓚€(gè)不同的向量.當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí), 所指向所指向量都當(dāng)作量都當(dāng)作列向量列向量.2. 行、列向量都按照行、列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；進(jìn)行運(yùn)算；向量向量加加與數(shù)乘與數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為向量向量的的線性運(yùn)算線性運(yùn)算. .TnTnbbbaaa.),(,),( 32121 設(shè)設(shè))., 2 , 1(

4、,nibaii 則則1. 若干個(gè)同維數(shù)的若干個(gè)同維數(shù)的列列 向量組成的集合叫做向量組成的集合叫做列列 向量組向量組二、向量組與矩陣二、向量組與矩陣(行行)(行行) 2. 一個(gè)一個(gè)m n矩陣矩陣A=(aij)的每一列都可看成一個(gè)的每一列都可看成一個(gè)m維列向維列向量量, ),( 21mA 記記向量組向量組 1, 2, , m 稱為矩陣稱為矩陣A的列向量組的列向量組. 3.一個(gè)一個(gè)m n矩陣矩陣A=(aij)的每一行都可看成一個(gè)的每一行都可看成一個(gè)n維行向量維行向量, , 21 TmTTA 記記向量組向量組 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組TmTT ,21 矩陣的列向量組和行向量組都是只含有有

5、限個(gè)矩陣的列向量組和行向量組都是只含有有限個(gè)向量的向量組；向量的向量組； 反之反之, 一個(gè)含有限多個(gè)向量的向一個(gè)含有限多個(gè)向量的向量組總可以構(gòu)成矩陣量組總可以構(gòu)成矩陣.如如: 由由n個(gè)個(gè)m維列向量可以構(gòu)成一個(gè)維列向量可以構(gòu)成一個(gè)m n矩陣矩陣.由由m個(gè)個(gè)n維行向量也可以構(gòu)成一個(gè)維行向量也可以構(gòu)成一個(gè)m n矩陣矩陣. 4. 線性方程組線性方程組 A m n x =0 的全體解的全體解, 當(dāng)當(dāng)R(A) n 時(shí)時(shí)是一個(gè)含無限多個(gè)是一個(gè)含無限多個(gè)n維列向量的向量組維列向量的向量組 本章我們先討論只含有有限個(gè)向量的向量組的本章我們先討論只含有有限個(gè)向量的向量組的有關(guān)知識(shí)有關(guān)知識(shí), 然后再把討論的結(jié)果推廣

6、到含無限多個(gè)然后再把討論的結(jié)果推廣到含無限多個(gè)向量的向量組向量的向量組三、向量組的線性組合與線性表示三、向量組的線性組合與線性表示, , , , , , ,: 2121mmkkkA組實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)一一對(duì)于任何對(duì)于任何給定向量組給定向量組 1. 定義定義3.2 向量向量mmkkk 2211 線性組合線性組合, ,21的一個(gè)的一個(gè)稱為向量組稱為向量組m . , , , 21合系數(shù)合系數(shù)稱為這個(gè)線性組合的組稱為這個(gè)線性組合的組mkkk , , , ,: 21bAm和向量和向量給定向量組給定向量組 mmb 2211使使若存在一組數(shù)若存在一組數(shù),21m 則稱則稱向量向量 b 能由向量組能由向量組 A 線性表

7、示線性表示例如例如: ,210 131, 321 : 21 bA和向量和向量給定向量組給定向量組 ,21 b: :則有則有., :21線性表示線性表示可以向由量組可以向由量組向量向量即即 b2. 定理定理3.5 向量向量 b 能由向量組能由向量組 1, 2, , m 線性線性表示的充分必要條件是表示的充分必要條件是 矩陣矩陣 A=( 1, 2, , m ) 的的秩等于矩陣秩等于矩陣 B=( 1, 2, , m,b ) 的秩的秩. ), ( , ), ( 2121bBA : :如上例若記如上例若記, 2),()( bARAR: :則有則有例例1 1 ,1301, 0411,3121, 2211

8、321 b 設(shè)設(shè) ? , :321線線性性表表示示能能否否由由向向量量組組向向量量 問問 b 若能若能, 求出表示式求出表示式.解解 ) , ( 321 A記記 1032341201211111),( bAB 0000000012102301 r, 2),()( bARAR.,:321線性表示線性表示可以向由量組可以向由量組向量向量即即 b由上可求得方程組由上可求得方程組Ax=b的通解的通解:).(, 12, 23321Rccxcxcx ).( ,)12()23(321Rccccb : :表示式為表示式為四、等價(jià)向量組四、等價(jià)向量組1. 定義定義3.3 設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組 ,:,:2

9、121smBA 及及若向量組若向量組B中的每個(gè)向量都能由向量組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示線性表示,就稱向就稱向向量組向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示.若向量組若向量組A與向量組與向量組B能相互線性表示能相互線性表示, 則稱則稱向量向量組組 A 與與B 等價(jià)等價(jià).,:,: 2121smBA 及及 設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組向量組向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示,2211mmjjjjkkk 即有即有, ),(21mA 記矩陣記矩陣, ),(21sB ,)(212222111211 msmmsssmijkkkkkkkkkkK,AKB 則有則有矩陣

10、矩陣K 稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣.若有矩陣若有矩陣C = AB,則則: 1)矩陣矩陣 C 的的列列向量組能由矩陣向量組能由矩陣A的的列列向量組向量組線性表示線性表示, 且矩陣且矩陣B 稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣. 2) 矩陣矩陣 C 的的行行向量組能由矩陣向量組能由矩陣B的的行行向量組向量組線性表示線性表示, 且矩陣且矩陣A 稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣.2. 若矩陣若矩陣A與與B 行等價(jià)行等價(jià), 則則 A與與B的行向量組等價(jià)的行向量組等價(jià).若矩陣若矩陣 A與與B 列等價(jià)列等價(jià), 則則 A與與B的列向量組等價(jià)的列向量

11、組等價(jià).3. 幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論定理定理3.6 向量組向量組B: 1, 2, , s 能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是 矩陣矩陣 A=( 1, 2, , m ) 的秩等于矩陣的秩等于矩陣 (A, B)=( 1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩的秩,即即 R(A)=R(A,B).推論推論 向量組向量組A: 1, 2, , m 與與向量組向量組B: 1, 2, , s 等價(jià)的充要條件是等價(jià)的充要條件是 R(A)=R(B)=R(A,B), 其中其中A和和B 是是向量組向量組A和和B 所構(gòu)成的矩陣所構(gòu)成的矩陣. 定理定理3.7 向量組向量組B: 1, 2, , s 能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m 線性表示線性表示, 則則 R( 1, 2, , s) R( 1, 2, , m ).例例2 2 ,1223, 1001,4112, 1111 2121 設(shè)設(shè)證明向量組證明向量組 1, 2 與與向量組向量組 1, 2 等價(jià)等價(jià). 證明證明 記記 A=(