數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)量及其分布學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)(tngj)量及其分布量及其分布第一頁，共85頁。 從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作 . 但是(dnsh)當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對有關(guān)事實(shí)的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷. 到了十九(sh ji)世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.第1頁/共85頁第二頁，共85頁。6.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡介(jin ji)一 什么(shn me)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 研究隨機(jī)研究隨機(jī)(su j)(su j)現(xiàn)象規(guī)律性的一門學(xué)科現(xiàn)象規(guī)律性的一門學(xué)科, ,以以概率論

2、概率論問題作出推斷、預(yù)測和決策.資料,對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析(統(tǒng)計(jì)分析)從而對所研究的為基礎(chǔ),研究如何用有效的方法收集和利用數(shù)據(jù)第2頁/共85頁第三頁，共85頁。 具體地說具體地說, ,就是研究從一定就是研究從一定(ydng)(ydng)總體中總體中隨機(jī)抽出一部分隨機(jī)抽出一部分( (樣本樣本),),對樣本的性質(zhì)進(jìn)行研對樣本的性質(zhì)進(jìn)行研究究, ,以對總體的性質(zhì)作出推測性判斷的科學(xué)以對總體的性質(zhì)作出推測性判斷的科學(xué)( (例例如如, ,產(chǎn)品質(zhì)量產(chǎn)品質(zhì)量, ,人均收入人均收入).).為什么要用樣本去推測和判斷總體的性質(zhì),主要(zhyo)有以下幾個(gè)原因: 破壞性 數(shù)量巨大第3頁/共85頁第四頁，共85頁。因?yàn)槭?/p>

3、用部分去推斷總體的性質(zhì),所以得出的結(jié)論就不一定完全正確,分析方法的關(guān)鍵是使可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤越小越好,以對所提問題(wnt)作出盡可能正確的結(jié)論. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)和概率論有著密切的聯(lián)系,概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)的基礎(chǔ),數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)是概率論的應(yīng)用. 概率論是將事件出現(xiàn)的頻率抽象為概率的概念(ginin)進(jìn)行研究,并由此建立了隨機(jī)變量的概率分布的基本理論.數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是直接從隨機(jī)現(xiàn)象的觀測值去研究其客觀規(guī)律性.第4頁/共85頁第五頁，共85頁。二 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本(jbn)內(nèi)容 統(tǒng)計(jì)(tngj)推斷根據(jù)實(shí)際問題的不同(b tn)要求,產(chǎn)生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的眾多

4、研究分支.本課程側(cè)重于概括起來分為兩大類:試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和研究第5頁/共85頁第六頁，共85頁。例1 某鋼筋(gngjn)廠日產(chǎn)鋼筋(gngjn)10000根,質(zhì)量檢查員每天抽查其中50根的強(qiáng)度. (1)如何從這50根鋼筋(gngjn)的強(qiáng)度數(shù)據(jù)去估計(jì)整批10000根的強(qiáng)度平均值,如何估計(jì)整批鋼筋(gngjn)強(qiáng)度偏離平均值的離散程度?(2)如果規(guī)定了這種鋼筋的標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度,如何(rh)由抽查的50個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)判斷整批鋼筋的平均強(qiáng)度與標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度有無差異?(于是可提出很多問題)此問題為參數(shù)估計(jì).此問題為假設(shè)檢驗(yàn).第6頁/共85頁第七頁，共85頁。(3)抽查的50個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)有大有小,如果(rgu)當(dāng)天生產(chǎn)的鋼

5、筋是采取不同工藝生產(chǎn)的,那么強(qiáng)度呈現(xiàn)的差異是由于工藝不同造成的,還是僅僅由隨機(jī)因素造成的?(4)如果鋼筋強(qiáng)度與某種原料的成分含量有關(guān),那么從抽查(chuch)的50個(gè)強(qiáng)度與該原料含量的50組對應(yīng)數(shù)據(jù),如何去表達(dá)整批鋼筋強(qiáng)度與該原料含量的關(guān)系?此問題為方差分析,即分析造成(zo chn)強(qiáng)度差異的原因.此問題為回歸分析.第7頁/共85頁第八頁，共85頁。以上(yshng)四個(gè)問題都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基本內(nèi)容,此外還有正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),多元統(tǒng)計(jì)分析,時(shí)間序列(xli)分析, 抽樣理論, 質(zhì)量(zhling)控制, 可靠性理論和統(tǒng)計(jì)決策理論等.第8頁/共85頁第九頁，共85頁。6.2 總體(zngt)和

6、樣本一 總體 個(gè)體(gt) 樣本總體總體：就是研究對象的全體.個(gè)體個(gè)體：是組成總體的每個(gè)元素.無限的，分別稱為有限總體有限總體和無限總體無限總體.從總體中隨機(jī)抽取 n 個(gè)個(gè)體,稱為容量為n的樣本(子樣).第9頁/共85頁第十頁，共85頁。任何(rnh)一個(gè)總體，都可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X 來表示.例如,從一批日光燈中隨機(jī)抽取一個(gè)，其壽命(shumng) X 顯然是為相同(xin tn)值的日光燈在這批日光燈中所占的比例.因此,一個(gè)隨機(jī)變量,它取各種可能值的概率恰好就是壽命如果知道X的分布,則這批日光燈的壽命情況就完全清楚了.即可以用 X 及其分布來描述這批日光燈這一總體.再例如,從某大學(xué)全體學(xué)生

7、中隨機(jī)抽取一個(gè)，其學(xué)習(xí)成績 X 顯然是一個(gè)隨機(jī)變量,它取各種可能值的概率恰好就是成績?yōu)橄嗤档膶W(xué)生在全校所占的比例.因此,可以用 X 及其分布來描述該校全體學(xué)生這一總體.第10頁/共85頁第十一頁，共85頁。在統(tǒng)計(jì)(tngj)研究中，人們關(guān)心的僅僅是代表總體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)以及(yj)數(shù)量指標(biāo)的分布情況. 總體(zngt)就是指某個(gè)隨機(jī)變量X可能取值的全體。X的分布稱為總體的分布.常用 “總體 X 服從.分布”這一說法.從總體 X 中隨機(jī)抽取容量為 n的樣本 ,用12,nXXX表示.不難理解, X 及12,nXXX 都是隨機(jī)變量.12(,)nXXX 是n維隨機(jī)變量.第11頁/共85頁第

8、十二頁，共85頁。 簡單簡單(jindn)隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本 簡單簡單(jindn)隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后 若取自總體 X的樣本(yngbn) X1, X2 , Xn 相互獨(dú)立且與 X 有相同的分布，則稱 X1, X2, Xn為取自總體 X 的簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本. 簡稱為樣本樣本.當(dāng)說到“X1, X2 , Xn 是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，均指簡單隨機(jī)樣本.第12頁/共85頁第十三頁，共85頁。12,nXXX(x1, x2, xn)，稱為(chn wi)樣本的一組觀測值，簡稱(jinchng)樣本值 .一旦(ydn)取定一組樣本，得到

9、的是n個(gè)具體的數(shù) 一般來說,不同次的抽取(每次取n個(gè)),將得到不同的樣本觀測值.樣本所有可能取值的全體稱為樣本空間, 它是n維空間或其中的一個(gè)子集.一組樣本觀測值(x1, x2, xn)就是樣本空間中的一個(gè)點(diǎn).第13頁/共85頁第十四頁，共85頁。 定理定理(dngl)1若(X1, X2 , Xn) 是取自總體(zngt) X的樣本,而 X的概率密度為f(x)( 或分布(fnb)函數(shù)為F(x) ),則(X1, X2 , Xn) 的聯(lián)合密度函數(shù)為(或聯(lián)合分布函數(shù)為) 1niiF x 1niif x第14頁/共85頁第十五頁，共85頁。1212 ,nXUXXX 是取自12211,( )(1,2,

10、)0,iixf xin其它12211,( )0,xf x其它總體X的一個(gè)(y )樣本，求樣本的聯(lián)合(linh)密度.例1 設(shè)總體(zngt)解：因?yàn)閄U1, 2, 其密度為Xi的密度第15頁/共85頁第十六頁，共85頁。121( , ,)( )nniif x xxf x121211(1,2,., )0niiin x其它12211()(1,2,., )0inxin其它樣本(yngbn)的聯(lián)合密度為第16頁/共85頁第十七頁，共85頁。二 理論分布(fnb)和經(jīng)驗(yàn)分布(fnb) 作出經(jīng)驗(yàn)分布用以觀察(gunch)理論分布的概況. 若總體是隨機(jī)變量(su j bin lin) X, 則 X 的分布就

11、是總體的分布(稱為理論分布). 樣本是總體的代表和反映,簡單隨機(jī)樣本能很好地反映總體的情況.通常的方法是第17頁/共85頁第十八頁，共85頁。若x1, x2 , xn 為總體 X 的n個(gè)獨(dú)立(dl)觀測值, 稱Fn*(x)為總體(zngt)X作n次獨(dú)立觀察的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).并作函數(shù)(hnsh) *1*1*01,2,.11nkknxxkF xxxxknnxx 定義將這些值按從小到大的順序排列為x1*x2* . xn* 第18頁/共85頁第十九頁，共85頁。從圖中可以看到, Fn*(x)是F(x)的一個(gè)(y )近似. 關(guān)于Fn*(x)與理論分布(fnb)F(x)的關(guān)系,有如下定理:對于樣本的不同取值

12、, 將得到不同的經(jīng)驗(yàn)(jngyn)分布函數(shù)Fn*(x), 所以對于x 的每一個(gè)數(shù)值, Fn*(x)是一個(gè)隨機(jī)變量.第19頁/共85頁第二十頁，共85頁。當(dāng)n時(shí), Fn*(x)以概率(gil)1關(guān)于x一致收斂于F(x),這個(gè)定理是用樣本推斷(tudun)總體的基本理論依據(jù). *lim sup01nnxPF xF x 定理(dngl)2(格列汶科)即Fn*(x)的圖形是一條階梯形曲線, 若樣本觀測值不重復(fù), 則每一躍度為 ; 1n若有重復(fù), 則按 的倍數(shù)為躍度.1n第20頁/共85頁第二十一頁，共85頁。顯然經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn*(x)具有(jyu)以下性質(zhì): 0 Fn*(x) 1 Fn*(x)單調(diào)(

13、dndio)上升 Fn*(x) 右連續(xù)(linx)第21頁/共85頁第二十二頁，共85頁。三 分布(fnb)密度的近似求法(略) 如果 X 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量, 可以用樣本(yngbn)觀測值作出的頻率直方圖來近似代替分布密度曲線.第22頁/共85頁第二十三頁，共85頁。 由樣本去推斷總體情況(qngkung)，需要對樣本進(jìn)行“加工”和“提煉”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.一 統(tǒng)計(jì)(tngj)量6.3 統(tǒng)計(jì)量和抽樣(chu yn)分布定義設(shè)(X1, X2,. , Xn)為取自總體X的一個(gè)樣本,T=T(X1, X2,. , Xn)為樣本(X1, X2,

14、. , Xn)一個(gè)實(shí)值連續(xù)函數(shù),且T中不含任何未知參數(shù), 則稱T(X1,X2,. , Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. .第23頁/共85頁第二十四頁，共85頁。注:1. 統(tǒng)計(jì)(tngj)量是不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù),2. 統(tǒng)計(jì)(tngj)量T=T(X1, X2, . , Xn)是隨機(jī)變量, 它應(yīng)該有確定它是完全由樣本(yngbn)決定的量.的概率分布.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布.第24頁/共85頁第二十五頁，共85頁。21311niiXXXn與12,XX12,nXXX例11X而都不是(b shi)統(tǒng)計(jì)量.都是統(tǒng)計(jì)(tngj)量,是取自總體 X 的一個(gè)(y )樣本，則設(shè)總體XN( , 2)

15、, 其中, 2未知第25頁/共85頁第二十六頁，共85頁。 幾個(gè)幾個(gè)(j )(j )常見的常見的統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量：樣本均值樣本均值：樣本樣本(yngbn)方差：方差：11niiXXn2211()1niiSXXn 設(shè)X1, X2,. ,Xn 是取自總體X的一個(gè)(y )樣本，2211()1niiXnXn第26頁/共85頁第二十七頁，共85頁。211()1niiXXn2211(2)1niiiXX XXn221111(2)1nnniiiiiXXXXn2211(2)1niiXX nXnXn2211()1niiXnXn因?yàn)?yn wi)第27頁/共85頁第二十八頁，共85頁。樣本(yngbn)k 階原點(diǎn)矩:

16、樣本(yngbn)k階中心矩:11nkkiiAXn11()nkkiiBXXn k=1, 2,樣本(yngbn)標(biāo)準(zhǔn)差：2211()1niiSSXXn k=1, 2,顯然1AX221nBSn第28頁/共85頁第二十九頁，共85頁。 樣本樣本(yngbn)(X1, X2,. ,Xn)的的觀察值為觀察值為(x1, x2 , xn )2XS和 的觀察的觀察(gunch)值分別記為值分別記為11niixxn2211()1niisxxn 通常通常(tngchng),大寫字母表示統(tǒng)大寫字母表示統(tǒng)計(jì)量計(jì)量, 如如 小寫字母表示觀察值, 如2,XSS2,x ss第29頁/共85頁第三十頁，共85頁。順序(shn

17、x)統(tǒng)計(jì)量定 義(dngy)設(shè)(X1, X2,. , Xn)為取自總體(zngt)X的一個(gè)樣本,現(xiàn)由樣本建立n個(gè)函數(shù):(X1, X2,. , Xn) k=1, 2, ., nkkXX x1* x2* . xn*后的第k個(gè)數(shù)值.則稱X1*, X2*, .Xn*為順序統(tǒng)計(jì)量.顯然X1* X2* . Xn*其中Xk*為這樣的統(tǒng)計(jì)量,它的觀察值為xk*. xk*為樣本X1, X2,. , Xn的觀察值x1, x2,. , xn中按大小排列第30頁/共85頁第三十一頁，共85頁。X1*=minX1, X2, ., Xn Xn* =max X1, X2, ., Xn 稱X1*為最小項(xiàng)統(tǒng)計(jì)(tngj)量,

18、Xn*為最大項(xiàng)統(tǒng)計(jì)(tngj)量稱Dn*= Xn*X1*為樣本(yngbn)的極差若n是奇數(shù), 則稱 為樣本的中值12nX若n是偶數(shù), 則稱 為樣本的中值12nX第31頁/共85頁第三十二頁，共85頁。設(shè)(X1, X2,. , X5)為總體X的樣本, 今對這個(gè)(zh ge)樣本進(jìn)行了三次觀察, 其值如下表:例2X1X2X3X4X5第一次311056第二次26728第三次839105求 , S2及Dn*的觀察值X第32頁/共85頁第三十三頁，共85頁。解78.57109853第三次6 8587622第二次911.55106531第一次Dn* S2X5*X4*X3*X2*X1*X第33頁/共85頁

19、第三十四頁，共85頁。二 抽樣(chu yn)分布(常用(chn yn)統(tǒng)計(jì)量的分布)1 2分布(fnb)2分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.定義 設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,. , Xn相互獨(dú)立且均服從N(0 , 1),則稱隨機(jī)變量221niiX 所服從的分布為自由度是n的 2 2分布.2 (n)2記為第34頁/共85頁第三十五頁，共85頁。21222102( )( )2xnnexxnfx00 x 定理(dngl)3 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 2 的分布密度的分布密度(md)函數(shù)為函數(shù)為第35頁/共85頁第三十六頁，共85頁。n取不同(b tn)值時(shí)的2 分布的圖形2( )fx第36頁/共85頁第三十

20、七頁，共85頁。*例3 相互獨(dú)立(dl), 都服從12,nX XX若正態(tài)分布2( ,),N 則2211()niiX2( )n 證:令()iiXYi=1, 2,., n222111()nniiiiXY則又因?yàn)?yn wi) Xi 2( ,),N 所以(suy) Yi N(0, 1)且Y1,Y2,.,Yn相互獨(dú)立所以21niiY2( )n第37頁/共85頁第三十八頁，共85頁。212()XYnn2(),En2212( )()XnYn，2()2Dn2 分布(fnb)具有下列性質(zhì)：性質(zhì)(xngzh)1性質(zhì)(xngzh)2(2 分布的可加性)若且X, Y 相互獨(dú)立則第38頁/共85頁第三十九頁，共85頁

21、。2 t 分布(fnb) ( student 分布(fnb)2( ) n定義(dngy)設(shè) X N(0, 1) , Y 且X與Y相互(xingh)獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量XTY n所服從的分布為自由度是n的t分布,記為T t(n)1221()2( )(1)()( )2nTnxfxxnnn 定理4t分布的密度函數(shù)為第39頁/共85頁第四十頁，共85頁。( t 分布的密度函數(shù)(hnsh)fT(x)的圖像參見教材 )(1) fT(x)是偶函數(shù), 圖像(t xin)關(guān)于y 軸對稱. 注注：(2) t分布曲線(qxin)很接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(qxin).且當(dāng)n充分大時(shí)，t分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. li

22、m0Txfx21222lim(1)nxnxen112lim22nnnn221lim( )2xTnfxe所以第40頁/共85頁第四十一頁，共85頁。( )01E Tn (3) 對于較小的n ，t 分布(fnb)與N (0, 1)分布(fnb)相差很大.當(dāng)n30時(shí)，它們(t men)的差別已很小.可以證明, t 分布的期望(qwng)和方差分別為( )22nD Tnn第41頁/共85頁第四十二頁，共85頁。3 F分布分布(fnb)22( ),( ),XmYnX mFY n若 隨機(jī)變量X與Y相互(xingh)獨(dú)立，且則稱隨機(jī)變量(su j bin lin) ( , )FF m n所服從的分布為F分布

23、,記為其中m稱為第一自由度, n稱為第二自由度.第42頁/共85頁第四十三頁，共85頁。定理(dngl)5F分布的密度(md)函數(shù)為1222222()( ) ( )10( )( )( )0 0mmm nm nmmnnmnFxxxfxx 推論推論(tuln)：若：若 FF(m , n) ,1( ,)F n mF則(, )FF m n/X mFY n1/YnFXm( ,)F n m證證:因?yàn)榱畹?3頁/共85頁第四十四頁，共85頁。( F分布的密度fF(x)圖像參見(cnjin)教材 )可以證明, F分布的期望(qwng)和方差分別為 2222( )424nmnD Fnm nn( )22nE Fn

24、n第44頁/共85頁第四十五頁，共85頁。4. 概率分布的分位數(shù)分位數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin) X 的分布函數(shù)為F(x), 0p1若實(shí)數(shù)(shsh)滿足PX =F()=p則稱實(shí)數(shù)(shsh)為X的概率分布的p分位數(shù).例如,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)的p分位數(shù)即是滿足的實(shí)數(shù)也就是說, N(0, 1)的密度曲線下, 的左邊的面積恰好等于p.2212xedxp第45頁/共85頁第四十六頁，共85頁。上側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù):PX =滿足(mnz)的實(shí)數(shù)稱為(chn wi)隨機(jī)變量X 的上側(cè)分位數(shù).N(0, 1), t分布(fnb), 2分布(fnb), F分布(fnb)的上側(cè)分位數(shù)通

25、常記為u , t , 2 , F ,這些數(shù)值可以查表.第46頁/共85頁第四十七頁，共85頁。上側(cè)分位數(shù)與分位數(shù)的關(guān)系上側(cè)分位數(shù)與分位數(shù)的關(guān)系(gun x):即也是X 的1 分位數(shù). 則有若X的上側(cè) 分位數(shù)為 ,PX =PX =1 PX = 1 雙側(cè)雙側(cè)分位數(shù)分位數(shù)1 ,2 ,是指滿足(mnz)PX 1=2和PX 2=2的實(shí)數(shù)(shsh)1 ,2顯然, 1是 X 的2是 X 的上側(cè)2分位數(shù),2分位數(shù)第47頁/共85頁第四十八頁，共85頁。注意注意(zh y):(1)若XN(a, 2), 要求(yoqi)X的下側(cè)分位數(shù) ,可化為求(2)N(0, 1)的分位數(shù) P XaXaP此時(shí)(c sh),0,

26、 1XaN所以au即ua(2) 若Tt(n), t (n)表示下側(cè)分位數(shù), 根據(jù)t分布的對稱性PT t (n) = 1PT t (n) =1所以t (n)=t1 (n)第48頁/共85頁第四十九頁，共85頁。(3) 若 F(m,n)表示(biosh)上側(cè)分位數(shù),則有F(m,n)11,Fn m證明(zhngmng):若 F F (m,n), 則有1( ,)F n mF所以(suy)11( ,)P FFn m11( ,)PFn mF111( ,)PFn mF 11 ( , )P FF m n第49頁/共85頁第五十頁，共85頁。例4 當(dāng) n =25 , =0.1 時(shí)，查表求上側(cè)分位數(shù)例5 若隨機(jī)變

27、量(su j bin lin)22(14) ,211)0.95P222)0.95P=34.4220.1( )(25)n2( )n求1 ,2的值使之滿足(mnz)：第50頁/共85頁第五十一頁，共85頁。14 ,0.95n( )n211)0.95P222)0.95P= 6.572=23.7)14(2220.95(14)解:解:第51頁/共85頁第五十二頁，共85頁。三 正態(tài)總體(zngt)場合定理(dngl)6設(shè)總體(zngt)X 2( ,),N 2XS和 分別為樣本均值和樣本方差,則有X1, X2, Xn為其樣本22(1)nS2211()niiXX21)n（相互獨(dú)立211( ,)niiXXNn

28、n(1)(1)(0,1)/XNn或(2)(2)2XS和(3)(3)第52頁/共85頁第五十三頁，共85頁。證證: :(1)(1)2( ,)1,2,.,Nin ，iX12,.,nXXX11()()niiE XEXn因?yàn)?yn wi)且相互(xingh)獨(dú)立11()niiE Xn1nn=11( )()niiD XDXn211()niiD Xn2211nin221nn2n所以(suy)2( ,)XNn第53頁/共85頁第五十四頁，共85頁。(2)(2) 作一個(gè)(y )n階正交矩陣A=(aij),使其最后一行的1n即元素(yun s)均為A=111211,11,21,111nnnnnaaaaaannn

29、且AAT =ATA=In In是n階單位矩陣作正交變換1122nnYXYXAYX則有Yi= 1nillla X(i=1,2,.,n-1)Yn= 1niiX1nn X第54頁/共85頁第五十五頁，共85頁。21niiX21niiY1212nnYYYYYY1212TnnXXXXXA AX1212nnXXXXXX221niiXXnX221niniXXY即121niiY21niiXX21nS第55頁/共85頁第五十六頁，共85頁。因?yàn)?yn wi)A是正交陣,所以10niljlla a,1,2,.1iji jn110nillan211nilla1,2,.1in于是(ysh)Yi N(0, 2) i=1

30、, 2, ., n1 2,nYNna第56頁/共85頁第五十七頁，共85頁。且Cov (Yi, Yj)=E(YiEYi)(YjEYj)11nnilljsslsEaXaaXa11nniljslslsa a E XaXa21niljllla a E Xa210niljlla aij i, j=1, 2, ., n1 同理有Cov (Yi, Yn)=110nillan i=1, 2, ., n1 第57頁/共85頁第五十八頁，共85頁。因此(ync)Y1, Y2 ,. ,Yn 相互(xingh)獨(dú)立(正態(tài)分布的獨(dú)立從而(cng r)與兩兩不相關(guān)是等價(jià)的)Y1, Y2 ,. ,Yn1與Yn相互獨(dú)立,

31、由此得122111niiSYn與1nXYn獨(dú)立第58頁/共85頁第五十九頁，共85頁。(3)(3)22(1)nS212niiXXYi N(0, 2) i=1, 2, ., n1 211niiY21)n（由(2)可知(k zh)iY1)N （0,第59頁/共85頁第六十頁，共85頁。定理(dngl)7設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體(zngt)2( ,)N 的樣本(yngbn),2XS和 分別為樣本均值和樣本方差,則有 (1)Xt nSn證:(定理7是定理6的推論)由定理6可知(0,1)XNn22(1)nS2(1)n且,獨(dú)立,所以1XSnn XSn (1)t n第60頁/共85頁第六十一頁，共8

32、5頁。定理(dngl)8211(,),XN 設(shè)總體設(shè)總體(zngt)222(,)YN 總體(zngt) X 和 Y 的樣本, 且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立X1, X2,. Xn,和 Y1, Y2,. Ym分別是取自11,niiXXn11miiYYm記22111()1niiSXXn22211()1miiSYYm第61頁/共85頁第六十二頁，共85頁。122212() (2)(1)(1)112XYt nmnSmSnmnm2222112122222212(1,1)SSF nmSS則有(1)(2)當(dāng)12 = 22 =2時(shí),122212()(2) (2)(1)(1)XYnm nmt nmnmnSmS或第62頁/共

33、85頁第六十三頁，共85頁。證:(1)22111()1niiSXXn22211()1miiSYYm由定理(dngl)6可知2121(1)nS2(1)n2222(1)mS2(1)m因?yàn)閮蓚€(gè)(lin )樣本相互獨(dú)立,2212,SS獨(dú)立(dl)所以再由F分布的定義可知21212222(1)(1)(1)(1)nSnmSm2222112122222212(1,1)SSF nmSS第63頁/共85頁第六十四頁，共85頁。21(,),XNn22(,)YNm,X YXY()E XY()( )E XE Y12()( )D XD Y()D XY22nm2212(,)XYNnm由假設(shè)(jish)可知因?yàn)?yn wi

34、)兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,所以(suy)獨(dú)立所以服從正態(tài)分布所以(2)當(dāng)12 = 22 =2時(shí),第64頁/共85頁第六十五頁，共85頁。即12()(0,1)11XYUNnm再根據(jù)(gnj)定理6212(1)nS21)n（222(1)mS21)m（再根據(jù)(gnj)2分布的可加性, 可知221222(1)(1)nSmSV22)nm（第65頁/共85頁第六十六頁，共85頁。于是(ysh)按t分布的定義, 有2UVnm122212() (2)(1)(1)112XYt nmnSmSnmnm第66頁/共85頁第六十七頁，共85頁。四 非正態(tài)總體(zngt)場合(大樣本)定理(dngl)9若X1, X2, . ,

35、 Xn獨(dú)立(dl)同分布, 且E(Xi)=aD(Xi)=2記則1nniiYX limnnnnYE YPxxD Y此處 2212txxedt即只要n足夠大(通常n30), 隨機(jī)變量 0, 1nnnYE YND Y第67頁/共85頁第六十八頁，共85頁。(10,20)XF110.01P X）110.01P X）由22) P X20.995(10,20)F10.005 10.01(10,20)F0.0051(20,10)F15.27220.005P X）3.3721P X 0.18980.995),(1),(12211nnFnnF求 1 , 2 使之滿足(mnz)解:第68頁/共85頁第六十九頁，共

36、85頁。例7.設(shè)總體XN(72, 102), 為使樣本均值 大于70的X概率不小于0.9, 則樣本容量 n 至少(zhsho)應(yīng)取多少?解:設(shè)樣本容量為 n, 則70P X 727072XPnn722110XnPn 1()5n 11()5n ()5n 0.9查表可得1.295n解出 n41.6, 即n =42第69頁/共85頁第七十頁，共85頁。例8.設(shè)總體XN(1, 0.32) , 為使樣本均值 滿足X0.91.10.9,PX則樣本容量 n 至少(zhsho)應(yīng)取多少?解:2110.3(1,),niiXXNnn因?yàn)?yn wi)XN(1, 0.09), 0.91.1PX0.9 111.1 1

37、0.30.30.3XPnnn10.333nXnPn第70頁/共85頁第七十一頁，共85頁。查表得 0.91.10.90PX10, 10.3XNn且有故由得0.9033nn1.900.9532n1.645,3n24.235,n 故應(yīng)取n=25.第71頁/共85頁第七十二頁，共85頁。例9.解:設(shè)總體(zngt)XN(40, 52) (1)抽取容量(rngling)為36的樣本, 求3843PX(2) 抽取(chu q)容量為64的樣本, 求(3) 樣本容量n為多大時(shí), 才能使401P X 4010.95P X 總體XN(40, 52), 所以統(tǒng)計(jì)量 400, 15XNn第72頁/共85頁第七十三

38、頁，共85頁。400, 1536XN(1) n=36, 故即400, 156XN4038432.43.656XPXP3.62.4 (查表)0.99984 (1 0.9918) 0.9916第73頁/共85頁第七十四頁，共85頁。(2) n=64, 則統(tǒng)計(jì)(tngj)量400, 158XN404011.61.658XPXP1.61.6(查表)0.9452 (1 0.9452) 0.8904第74頁/共85頁第七十五頁，共85頁。(3) =215n查表, 得40401555nXnPXPn1.965n0.95解出 n 96第75頁/共85頁第七十六頁，共85頁。例10.設(shè)在總體XN(, 2) 中抽取

39、容量為16的樣本(yngbn),其中, 2均未知,222.041SP(1)求(2)求D(S2)解: (1)因?yàn)榭傮wXN(, 2), 根據(jù)(gnj)定理6, 有222(1)(1)nSn, S2為樣本均值和方差X即22215(15)S222.041SP2215152.041SP2215130.615SP21(15)30.615P 10.01 0.99(查表)第76頁/共85頁第七十七頁，共85頁。例11.設(shè)X1, X2, . , X9是來自總體(zngt)XN(0, 22)的樣本. 解:Y=a(X1+ X2)2+b(X3+ X4+ X5)2 + c(X6+ X7 + X8 + X9)2服從(fcng) 2分布(fnb), 求系數(shù)a, b, c .因X1, X2, . , X9獨(dú)立同分