一章節(jié)函數(shù)與極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1一章節(jié)函數(shù)與極限一章節(jié)函數(shù)與極限第七節(jié)第七節(jié) 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第1頁(yè)/共55頁(yè)第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)一、一、 集合集合二、二、 映射映射三、三、 函數(shù)函數(shù)返回返回第2頁(yè)/共55頁(yè) 一、集合一、集合 集合與元素之間的關(guān)系集合與元素之間的關(guān)系aM：若：若x是集合的元素；是集合的元素；1.1.集合概念集合概念(1)(1)集合：集合：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，具有某種特定性質(zhì)的事物的

2、總體， 集合的元素通常用集合的元素通常用A，B，S，T 等表示等表示. .元素元素: : 組成這個(gè)集合的事物組成這個(gè)集合的事物 集合的元素通常用集合的元素通常用a，b，x，y等表示等表示. .集合分為有限集和無(wú)限集集合分為有限集和無(wú)限集. .a M: : 若若x不是集合的元素不是集合的元素. . (2)集合的表示法集合的表示法列舉法列舉法: :將集合的元素一一列舉出來(lái)將集合的元素一一列舉出來(lái), ,1,2,3, N,dcbaA 描述法描述法: :|PxxM具有性質(zhì)具有性質(zhì) 01|2 xxB如如: :第3頁(yè)/共55頁(yè)N=全體自然數(shù)全體自然數(shù) ，Z=全體整數(shù)全體整數(shù) ，Q=全體有理數(shù)全體有理數(shù) ，R

3、=全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù).(3)常用的集合記號(hào)常用的集合記號(hào) 如果如果 ，必有，必有 , ,則稱則稱A是是B的子集，記為的子集，記為Ax Bx .BA 不含任何元素的集合，不含任何元素的集合，則稱為則稱為空集空集記為記為. 是任何集合的是任何集合的 子集子集. (4) 集合的關(guān)系集合的關(guān)系 A集合集合:集合集合A內(nèi)排除內(nèi)排除0的集的集. A集合集合:集合集合B內(nèi)排除內(nèi)排除0與負(fù)數(shù)的集與負(fù)數(shù)的集. 若若 ，且，且 , ,則稱則稱A是是B的真子集的真子集, ,記為記為 . .BA BA A B 若若 ，且，且 , ,則稱則稱A與與B相等相等, ,記為記為 . .BA AB BA 第4頁(yè)/共55頁(yè)2、集合

4、的運(yùn)算、集合的運(yùn)算是二個(gè)集合，定義是二個(gè)集合，定義設(shè)設(shè)A、BBxAxxBA 或或(A與與B的的并集并集)BxAxxBA 且且(A與與B的的交集交集)BxAxxBA 且且(A與與B的的差集差集)設(shè)設(shè)I表示我們研究某個(gè)問(wèn)題的全體表示我們研究某個(gè)問(wèn)題的全體, 則其他集合則其他集合A都是都是I的子集的子集,稱稱I為全集或基本集為全集或基本集.CAAI A的余集或補(bǔ)集記為的余集或補(bǔ)集記為:例如例如: 在實(shí)數(shù)集在實(shí)數(shù)集R中中10 xxA10 xxxAC或或則有則有第5頁(yè)/共55頁(yè)設(shè)設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則有下列法則成立：為任意三個(gè)集合，則有下列法則成立：（1）交換律）交換律ABBAABBA ,（2）

5、結(jié)合律）結(jié)合律)()(CBACBA )()(CBACBA )()()(CBCACBA （3）分配律）分配律)()()(CBCACBA CCCBABA )(（4）對(duì)偶律）對(duì)偶律CCCBABA )(以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗(yàn)證以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗(yàn)證.第6頁(yè)/共55頁(yè)證明證明:兩個(gè)集合的并集的余集等于它們的余集的交集兩個(gè)集合的并集的余集等于它們的余集的交集.證明證明:CBAx)( BAx Ax 且且Bx cAx 且且cBx ,ccBAx ;)(cccBABA 反之反之,ccBAx Ax 且且Bx BAx ,)(cBAx .)(cCCBABA 注注:在以后的證明中在以后的

6、證明中,“ ”表示表示“推出推出”(或或“蘊(yùn)含蘊(yùn)含”), “ ”表示表示“等價(jià)等價(jià)”.cAx 且且cBx 于是于是.)(cCCBABA 第7頁(yè)/共55頁(yè),ByAxyxBA 且且直積或笛卡兒乘積直積或笛卡兒乘積例如：例如： RyRxyxRR ,),(為為xOy面上全體點(diǎn)的集合，記為面上全體點(diǎn)的集合，記為.2R第8頁(yè)/共55頁(yè)3 3、區(qū)間和鄰域、區(qū)間和鄰域Oab,ba設(shè)設(shè)a, ,bR, ,且且a b, ,|),(bxaxba 開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間|,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間半開(kāi)區(qū)間半開(kāi)區(qū)間|,(bxaxba |),bxaxba 和和稱稱a, ,b為區(qū)間的端點(diǎn)，為區(qū)間的端點(diǎn)，稱稱ba為這些區(qū)間的長(zhǎng)度為這些

7、區(qū)間的長(zhǎng)度. .以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間. .),(baOab第9頁(yè)/共55頁(yè)無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間|),axxa |),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb 用數(shù)軸可以表示區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間, 區(qū)間常用區(qū)間常用I表示表示.Oa,a引進(jìn)記號(hào)：引進(jìn)記號(hào)： + + （讀作（讀作正無(wú)窮大正無(wú)窮大）( (讀作讀作負(fù)無(wú)窮大負(fù)無(wú)窮大）（讀作（讀作無(wú)窮大無(wú)窮大）b),(bO第10頁(yè)/共55頁(yè) (2) (2) 點(diǎn)點(diǎn)a的去心鄰域：的去心鄰域：| 0 |),( axxaU。注注 若不強(qiáng)調(diào)若不強(qiáng)調(diào)的大小，點(diǎn)的大小，點(diǎn)a的去心鄰域記為的去心鄰域記為U( (a) )鄰域

8、鄰域x a a 點(diǎn)點(diǎn)a的左的左鄰域鄰域: :開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間( (a-,-,a) )點(diǎn)點(diǎn)a的右的右鄰域鄰域: :開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間( (a, ,a+)+)(1) (1) 設(shè)設(shè)是任一正數(shù)，稱開(kāi)區(qū)間是任一正數(shù)，稱開(kāi)區(qū)間( (a-,-,a+)+)為點(diǎn)為點(diǎn)a的的鄰域鄰域，記為，記為U( (a,),)，即，即| |),( axxaxaxaU點(diǎn)點(diǎn)a稱為該鄰域的稱為該鄰域的中心中心，稱，稱為該鄰域的為該鄰域的半徑半徑. .a返回返回第11頁(yè)/共55頁(yè)二、映射二、映射1、映射的概念、映射的概念定義定義 設(shè)設(shè)X、Y是二個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則是二個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則 , 使得對(duì)使得對(duì)X中每個(gè)元素中每個(gè)元素x,

9、 按法則按法則 , 在在Y中有唯一確定的元素中有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 則稱則稱 為從為從X到到Y(jié)的映射的映射,記為記為 fff,:YXf其中其中y稱為元素稱為元素x(在映射在映射 下下)的像的像,記作記作 ,即即 ,f)(xf)(xfy 元素元素x稱為元素稱為元素y(在映射在映射 下下)的一個(gè)原像的一個(gè)原像;f集合集合X稱為映射稱為映射 的定義域的定義域, 記作記作 , 即即ffD;XDf .)()(XxxfXfRf X中所有元素的像所組成的集合稱為映射中所有元素的像所組成的集合稱為映射 的值域的值域, 記作記作 或或 ,即即f)(XffR第12頁(yè)/共55頁(yè)注意注意:(1) 一

10、個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素:集合集合X, 即定義域即定義域;XDf 集合集合Y, 即值域的范圍即值域的范圍:;YRf 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則,f使對(duì)每個(gè)使對(duì)每個(gè),Xx 有唯一確定的有唯一確定的)(xfy 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng).(2) 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,元素元素x的像的像y是唯一的是唯一的;Xx 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,元素元素y的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的;fRy 映射映射 的值域的值域 是是Y的一個(gè)子集的一個(gè)子集,即即 ,不一定不一定 .fYRf fRYRf 第13頁(yè)/共55頁(yè)例例1 設(shè)設(shè) , 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) , . RRf:Rx 2)(xxf 顯然顯然, 是一個(gè)映射是一個(gè)

11、映射, 的定義域的定義域 ,值域值域 ffRDf ,0 yyRf它是它是R的一個(gè)真子集的一個(gè)真子集.對(duì)于對(duì)于 中的元素中的元素y, 除除y=0外外,它的原它的原fR像不是唯一的像不是唯一的.如如y=4的原像就有的原像就有x=2和和x=-2兩個(gè)兩個(gè).例例2 設(shè)設(shè) ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY,:YXf對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,有唯一確定的有唯一確定的 Xyx ),(Yx )0 ,(與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng).顯然顯然, 是一個(gè)映射是一個(gè)映射, 的定義域的定義域 ,值域值域ffXDf .YRf Oxy-11這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)

12、的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間軸的區(qū)間-1,1上上.第14頁(yè)/共55頁(yè)例例3 設(shè)設(shè),1 , 12,2 : f對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,2,2 x.sin)(xxf f這這 是一個(gè)映射是一個(gè)映射,其定義域其定義域 ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR 為為X到到Y(jié)上的映射（或上的映射（或滿射滿射）：）：f 為為X到到Y(jié)上的上的單射單射：f是從集合是從集合X到集合到集合Y的映射，的映射，f若若,YRf 都是都是X中某元素的像中某元素的像.即即Y中任一元素中任一元素y若對(duì)若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素中任意兩個(gè)不同元素,21xx 它們的像它們的像).()(21xfxf f為一一映射（或?yàn)橐灰挥成洌ɑ螂p射雙射）

13、：）：若映射若映射 既是單射，又是滿射既是單射，又是滿射.f如如:例例1 既非單射既非單射, 又非滿射又非滿射;例例2 不是單射不是單射,是滿射是滿射;例例3 既是單射既是單射,又是滿射又是滿射,因此是一一映射因此是一一映射.第15頁(yè)/共55頁(yè)映射又稱為映射又稱為算子算子.根據(jù)集合根據(jù)集合X、Y的不同情形的不同情形,在不同的數(shù)學(xué)分支中在不同的數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同的慣用名稱映射又有不同的慣用名稱.如如: 從非空集合從非空集合X到數(shù)集到數(shù)集Y的映射又稱為的映射又稱為X上的上的泛函泛函.從非空集合從非空集合X到它自身的映射又稱為到它自身的映射又稱為X上的上的變換變換.從實(shí)數(shù)集從實(shí)數(shù)集(或其子集或

14、其子集)X到實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集Y的映射稱為定義在的映射稱為定義在X上的上的函數(shù)函數(shù).第16頁(yè)/共55頁(yè)2. 逆映射與復(fù)合映射逆映射與復(fù)合映射f是是X到到Y(jié)上的單射上的單射,設(shè)設(shè)即即于是于是, 可以定義一個(gè)從可以定義一個(gè)從fR到到X的新映射的新映射g, ,:XRgf對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè),fRy 規(guī)定規(guī)定,)(xyg 這這x滿足滿足.)(yxf 這個(gè)映射這個(gè)映射g稱為稱為f 的逆映射的逆映射,記作記作,1 f其定義域其定義域,1ffRD 值域值域.1XRf 注意注意:只有單射才存在逆映射只有單射才存在逆映射.例例1,2,3中中,只有例只有例3有逆映射有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf.2,2

15、,1 , 111 ffRD第17頁(yè)/共55頁(yè)設(shè)有兩個(gè)映射設(shè)有兩個(gè)映射,:,:21ZYfYXg其中其中.21YY 則可以確定一個(gè)從則可以確定一個(gè)從X 到到Z 的映射的映射, 稱為復(fù)合映射稱為復(fù)合映射,記作記作, gf 即即,:ZXgf .,)()(Xxxgfxgf 注意注意:映射映射g 和和f 構(gòu)成復(fù)合映射的條件構(gòu)成復(fù)合映射的條件:.fgDR fggf 兩者也不同時(shí)有意義兩者也不同時(shí)有意義.第18頁(yè)/共55頁(yè)例例4 設(shè)有映射設(shè)有映射,1 , 1: Rg對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè),sin)(,xxgRx 映射映射,1 , 0 1 , 1 : f對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè).1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf )

16、(sin)()( ,xfxgfxgfRx .cossin12xx 返回返回第19頁(yè)/共55頁(yè)三、函數(shù)三、函數(shù)1.1.函數(shù)概念函數(shù)概念因變量因變量自變量自變量)(xfy 定義定義 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集 ，則稱映射，則稱映射 為定義為定義D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為 D稱為定義域稱為定義域, 記作記作 , 即即 . RD RDf:fDDDf 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,按對(duì)應(yīng)法則按對(duì)應(yīng)法則 f ,總有唯一確定的值總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 這個(gè)值稱為函數(shù)這個(gè)值稱為函數(shù)f 在在x處的函數(shù)值處的函數(shù)值,記作記作f (x),即即y= f (x).Dx fR函數(shù)值函數(shù)值f (x)的全體所構(gòu)成的集合稱為

17、函數(shù)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f 的值域的值域, 記作記作或或 f (D) , 即即.),()(DxxfyyDfRf 第20頁(yè)/共55頁(yè)函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,其值域總在其值域總在R內(nèi)內(nèi).函數(shù)的函數(shù)的兩要素兩要素: :定義域定義域 與對(duì)應(yīng)法則與對(duì)應(yīng)法則f . .fD如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同對(duì)應(yīng)法則也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的否則就是不同的.約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有定義域是自變量所能取的使算式有( (實(shí)際實(shí)際) )意義的一切實(shí)數(shù)值意義的一切實(shí)數(shù)值. .21x

18、y 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)單值函數(shù)，否則叫與，否則叫與多值函數(shù)多值函數(shù)222ayx 例如例如:第21頁(yè)/共55頁(yè)對(duì)于多值函數(shù)對(duì)于多值函數(shù), 往往只要附加一些條件往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù)就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如例如,在由方程在由方程222ayx 給出的對(duì)應(yīng)法則中給出的對(duì)應(yīng)法則中,附加附

19、加“ ”的條件的條件,0 y就可得到一個(gè)單值分支就可得到一個(gè)單值分支.221xayy 表示函數(shù)的主要方法有三種表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義定義: :點(diǎn)集點(diǎn)集),(),(DxxfyyxP 稱為函數(shù)稱為函數(shù)Dxxfy ),(的圖形的圖形.Doxy),(yxxyfR )(xfy 第22頁(yè)/共55頁(yè)常見(jiàn)的幾種函數(shù)常見(jiàn)的幾種函數(shù)例例5 函數(shù)函數(shù)y=2它的定義域它的定義域),( D值域值域,2 fR它的圖形是一條平行它的圖形是一條平行于于x軸的直線軸的直線.Oxyy=2例例6 函數(shù)函數(shù) 0 , , 0 ,|xxxxxy定義域定義域 D=(

20、=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR這個(gè)函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù)這個(gè)函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù).Oxyxy 第23頁(yè)/共55頁(yè)1-1xyo 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)xxx sgn例例7 函數(shù)函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù), ,定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =1,0,=1,0,1.1.fR第24頁(yè)/共55頁(yè) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)的最大整數(shù)x例例8 取整函數(shù)取整函數(shù) y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定義域定義

21、域 D=(=(,+),+),值域值域 = =Z Z. .fR第25頁(yè)/共55頁(yè)例例9 函數(shù)函數(shù) 1,110 ,2)(xxxxxfy是一個(gè)分段函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù).它的定義域它的定義域 D=0,+).=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy 1xy2 yxO1第26頁(yè)/共55頁(yè)2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性(1) 函數(shù)的函數(shù)的有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無(wú)界無(wú)界則稱函數(shù)則稱函數(shù), 0,XxMDX 若若Mxf )(有有 成立，成立，f (x)在在X上有界上有界.否則稱為無(wú)界否則稱為無(wú)界.(2)(2)有界與

22、否是和有界與否是和X有關(guān)的有關(guān)的. .(1)(1)當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的. .注意注意: :Xx 1Mxf )(1使使(3)證明無(wú)界的方法證明無(wú)界的方法: 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù) M ,總存在總存在第27頁(yè)/共55頁(yè)(2) 函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:)(xfy )(1xf)(2xfxyoI及及設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈, 區(qū)間區(qū)間,DI ),()(21xfxf 1x如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn),2x當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),恒有恒有21xx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的;第28頁(yè)/共5

23、5頁(yè))(xfy )(1xf)(2xfxyoI及及設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈, 區(qū)間區(qū)間,DI ),()(21xfxf 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的;如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)1x,2x21xx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),恒有恒有第29頁(yè)/共55頁(yè)(3) 函數(shù)的函數(shù)的奇偶性奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于對(duì)于有有f (-x)= f (x)恒成立恒成立,則稱則稱f (x)為偶函數(shù)為偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形關(guān)于偶函數(shù)的圖形關(guān)于y

24、軸對(duì)稱軸對(duì)稱.函數(shù)函數(shù) y=cosx是偶函數(shù)是偶函數(shù).第30頁(yè)/共55頁(yè)奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于對(duì)于,Dx 有有f (-x)= -f (x)恒成立恒成立,則稱則稱f (x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)函數(shù) y=sinx是偶函數(shù)是偶函數(shù).函數(shù)函數(shù) y=sinx+cosx既非奇函數(shù)既非奇函數(shù),又非偶函數(shù)又非偶函數(shù).第31頁(yè)/共55頁(yè)(4) 函數(shù)的函數(shù)的周期性周期性:2l 2l23l 23l函數(shù)函數(shù)sinx, cosx的周期是的周期是.2 函數(shù)函數(shù)ta

25、nx的周期是的周期是. （通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.則稱則稱f (x)為周期函數(shù)為周期函數(shù), l 稱為稱為f (x)的周期的周期.)()(xflxf 一一Dx 有有,)(Dlx 且且恒成立恒成立,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,如果存在一個(gè)正數(shù)如果存在一個(gè)正數(shù)l ,使得對(duì)于任使得對(duì)于任第32頁(yè)/共55頁(yè)有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例例10 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)它是一個(gè)周期函數(shù)它是一個(gè)周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒(méi)有最小正周期但它沒(méi)有最小正周期.第3

26、3頁(yè)/共55頁(yè)3. 3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)的反函數(shù)的定義定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(:DfDf是單射是單射,則它存在逆函數(shù)則它存在逆函數(shù),)(:1DDff 稱此映射稱此映射1 f為函數(shù)為函數(shù)f 的反函數(shù)的反函數(shù).如如:函數(shù)函數(shù)Rxxy ,3是單射是單射,其反函數(shù)為其反函數(shù)為.,31Rxxy 若函數(shù)若函數(shù)f (x)在在D上是單調(diào)函數(shù)上是單調(diào)函數(shù),則則1 f也是也是f (D)上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù).0 x0yxyD)(yx 反函數(shù)反函數(shù)ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數(shù)函數(shù)第34頁(yè)/共55頁(yè))(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù)

27、 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy 相對(duì)于反函數(shù)相對(duì)于反函數(shù)),(1xfy 原來(lái)的函數(shù)原來(lái)的函數(shù)y=f (x)稱為直接函數(shù)稱為直接函數(shù).第35頁(yè)/共55頁(yè)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)定義定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(ufy 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?1D函數(shù)函數(shù)u=g(x)在在D上有上有定義定義,且且,)(1DDg 則由下式確定的函數(shù)則由下式確定的函數(shù) Dxxgfy , )(稱為由函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)和函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)樗亩x域?yàn)镈,變量變量u稱為中間變量稱為中間變量.)(ufy 函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)與函數(shù)f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為

28、構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為. gf 函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)與函數(shù)f 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)gf的條件是的條件是:函數(shù)函數(shù)g在在D上的值域上的值域g(D)必須含在必須含在f 的定義域的定義域fD內(nèi)內(nèi),即即.)(fDDg 第36頁(yè)/共55頁(yè)注意注意: :1. 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;)2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:第37頁(yè)/共55頁(yè)4. 函數(shù)

29、的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x), g (x)的定義域依次為的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：和和(差差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf第38頁(yè)/共55頁(yè)例例11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?-l ,l ),證明必存在證明必存在(-l ,l )上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)g (x)和奇函數(shù)和奇函數(shù)h (x), 使得使得)()()(xhxgxf 證證 先分析如下先分析如下:假若這樣的假若這樣的g

30、 (x)、 h (x)存在存在,使得使得)()()(xhxgxf (1)且且).()(),()(xhxhxgxg 于是有于是有).()()()()(xhxgxhxgxf (2)利用利用(1)、(2)式式,就可作出就可作出g (x), h (x).作作 . )()(21)(, )()(21)(xfxfxhxfxfxg 則則),()()(xfxhxg ),()()(21)(xgxfxfxg ),()()(21)(xhxfxfxh 證畢證畢.第39頁(yè)/共55頁(yè)5. 初等函數(shù)初等函數(shù)oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1)冪函數(shù)冪函數(shù)Rxy ( 是常數(shù)是常數(shù))第40頁(yè)/共55頁(yè)xay xay)1( )1( a)1 , 0( (2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0(