絕熱近似及Berry相

1、 絕熱近似及Berry相引 言Maxwell建立電磁場理論以來，物質(zhì)的相互作用是接觸作用。由場傳遞的點(diǎn)作用，人們相信這是描述自然現(xiàn)象的唯一作用形式。與點(diǎn)相互作用密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)形式是微分形式，物質(zhì)的運(yùn)動由某一時空點(diǎn)，傳遞到鄰近的時空點(diǎn)，一直到某特定的有限遠(yuǎn)或無限遠(yuǎn)處的“邊界”。運(yùn)動的微分方程聯(lián)系著鄰近的點(diǎn)，從可能存在的解，邊界條件選出特定的、物理需要的解。這種點(diǎn)接觸的作用于和傳遞通常叫做定域的作用或定域的描述。百余年來，人們對自然現(xiàn)象的了解深深根植于這種觀念，甚至以為這是唯一的描述。1959年理論上預(yù)測的-B效應(yīng)及1986年令人信服的實(shí)驗(yàn)證明，存在一種新的物理描述整體描述或拓補(bǔ)描述。整體描述是對

2、物理世界的微分描述的必要補(bǔ)充，它們構(gòu)成了對物理世界更為完美的圖景。1983年，M·Berry發(fā)現(xiàn)了絕熱過程中量子力學(xué)波函數(shù)存在有一不可積的相位因子（與路徑有關(guān)，對歷史的記憶），它是幾何性的，不同于通常的動力學(xué)相位。所謂的幾何性是指它依賴系統(tǒng)環(huán)境的參數(shù)空間的路徑，而不依賴環(huán)境參數(shù)隨時間的變化速率和系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)。B·Simorc對這一相位做出數(shù)學(xué)解釋物理系統(tǒng)的參數(shù)空間中纖維叢上的異和樂（anholonomy）（不可積性）。因而人們發(fā)現(xiàn)原來在十分簡單的量子物理系統(tǒng)中，存在著拓補(bǔ)性質(zhì)。拓補(bǔ)性或整體性是量子力學(xué)波函數(shù)相位的一項(xiàng)根本性質(zhì)。Berry幾何相因子，在最近十五年里，已成為

3、量子力學(xué)發(fā)展最重要的方面之一，其基本觀念幾乎滲透到物理學(xué)的各個領(lǐng)域<1-2>。Berry幾何相因子的提出與量子絕熱過程的研究是密不可分的。大家知道，哈密頓量與時間無關(guān)的量子系統(tǒng)若開始處在一個定態(tài)（時間無關(guān)的哈密頓量的本征態(tài)）上，則在以后的演化中，它會始終處在這個定態(tài)上。末態(tài)與初態(tài)的唯一差別，是末態(tài)增加了一個只與能量相關(guān)的動力學(xué)相因子。如果哈密頓量依賴于時間，體系通常不會再保持在初始時刻的本征態(tài)上。哈密頓量隨時間的改變，會激發(fā)不同瞬時能級間的躍遷。然而，與系統(tǒng)內(nèi)稟演化相比，如果哈密頓量的改變足夠緩慢，或稱體系是絕熱（adiabatic）變化的，類似于定態(tài)演化的特征會得以保持，量子絕熱

4、定理對此給出了定量的描述：設(shè)H(t)是體系隨時間改變的哈密頓量。若t=0時，體系處在H(0)的本征函數(shù)n(0)>上，當(dāng)H(t)的變化足夠緩慢時，在任一時刻t，體系仍將處在瞬時哈密頓量H(t)的本征態(tài)n(t)>上。量子絕熱定理本身并未直接指出在t時刻系統(tǒng)的狀態(tài)(t)>是什么，只是說|(t)>|n(t)>。但是，在證明量子絕熱定理過程中，人們只給出了僅僅符合人們直覺的推論<3-5>： |(t)>|n(t)>=|n(t)> (1)其中是H(t)在t 時刻的瞬時本征值。這與時間無關(guān)系統(tǒng)的定態(tài)演化是一致的；當(dāng)H(t)不依賴于時間 (t)=exp

5、-in>。然而在1984年，英國Bristol大學(xué)Berry 指出<6>，方程（1）所表達(dá)的物理不盡正確。在很多情況下，方程（1）中除了動力學(xué)相因子D(t)=exp-i, (2)還應(yīng)有一個附加的相位 ， (3)這就是Berry幾何相位因子。但也有人認(rèn)為這只是普通的相位，（3）式并非是1984年Berry的發(fā)現(xiàn)。Berry相位是不可積的（non-integrable）相位，這點(diǎn)在Berry原創(chuàng)論文中已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過。這種相位是依賴路徑的，也就是說不只依賴初態(tài)和末態(tài)，也依賴于一切中間態(tài)。如果路徑是在參數(shù)空間，就依賴于參數(shù)空間參數(shù)變化的曲線，對于循環(huán)過程這曲線是閉合的路徑。呈現(xiàn)Berry

6、相位的系統(tǒng)的哈密頓依賴時間的變化是絕熱的，又是巡回的（cyclic），即經(jīng)過一段時間，H(t)從H(0)變到H(T)，而且H(0)=H(T)。Berry相位是對這一環(huán)路積分的結(jié)果： 這才是Berry相。這時 (4)事實(shí)上，早在Berry工作之前，人們已經(jīng)知道這個相因子的存在，但是人們由于對波函數(shù)的單值性尚未有深入的認(rèn)識而忽略了它的物理效應(yīng)。一個典型論證可以在席夫的教科書<3>中找到。他們認(rèn)為既然本征方程H(t)|n(t)=E(t)|n(t)> (5)確定的本征函數(shù)可以相差一個相位因子，即 (6)仍然是方程（5）的解（這里，形式上是時間的任意函數(shù)），那么適當(dāng)?shù)剡x取，會使，對應(yīng)的

7、幾何相位。從這個表面上的意義講，幾何相因子是由于本征函數(shù)相位選擇的不確定性造成的，人們完全可以重新選擇相位加以消除<3>。然而在許多情況下，我們并不能任意選擇本征函數(shù)的相位。哈密頓量H(t)=H(t)通常是通過一組參數(shù)依賴于時間的，對是單值的。因而，也是參數(shù)的單值函數(shù)，但是相位重新選擇會改變本征函數(shù)的單值性，這是量子力學(xué)所不允許的。事實(shí)上，在張成的參數(shù)空間中，可重新表達(dá)為中的路線積分：， （7）其中是中的梯度算子，因此，幾何相因子不是的單函數(shù)，而是一個依賴于路徑的（不可積）相因子。重新選擇相因子，本質(zhì)上改變了波函數(shù)的單值性，這就是Berry幾何相因子起源?？傊趨?shù)空間中，幾何相

8、位的不可積性依賴于路徑的tR(t)，而不只是路徑的末端(t)，是Berry幾何相位存在的拓補(bǔ)原因<7>。另外，從動力學(xué)角度看，沒有Berry幾何相因子，方程(1)定義的時間演化不能很好地滿足薛定諤方程。只有補(bǔ)充了Berry幾何相位因子，薛定諤方程才能被很好的滿足，這是Berry幾何相位因子存在的動力學(xué)原因<8>。仔細(xì)考察量子絕熱近似成立的條件<4>： （）可以說明，動力學(xué)原因是不可缺少的，它與幾何拓補(bǔ)起源是相輔相成的，不可相互替代。后者保證了Berry幾何相位因子不能通過重新選擇本征函數(shù)|n(t)>的相位加以消除，而前者是動力學(xué)方程所必需的。但也有人對

9、此持反對意見，認(rèn)為由“滿足Schrodinger方程定出Berry相位表達(dá)式”似乎不足以強(qiáng)調(diào)“Berry相位的根源來自動力學(xué)的要求”。因?yàn)?，這條理由并不算是新的。在最初Berry自己的文章中，本來Berry就是以“滿足Schrodinger方程定出Berry相位表達(dá)式”的，可是他仍然強(qiáng)調(diào)這個相因子的性質(zhì)是幾何的，并沒有強(qiáng)調(diào)它“根源于動力學(xué)”（更不必說數(shù)學(xué)家Simon文章對此相因子的分析）。由于沒有新的事實(shí)或新的分析，似乎還是以尊重原作者的分析和提法為宜。其實(shí)Berry相位問題正是說明了：來自Schrodinger方程的東西并不一定就是動力學(xué)的，雖然動力學(xué)的東西一定來自Schrodinger方程

10、。因此，不宜說是“根源于動力學(xué)”或“來自動力學(xué)的要求”，說它是幾何的或拓補(bǔ)的更合適一些。其實(shí)，幾何或拓補(bǔ)的提法在Berry相位性質(zhì)描述上更為準(zhǔn)確，也更為深刻和普適。Berry幾何相位因子是Berry在研究量子混沌時發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)時Berry及其合作者正在研究三角形的無窮深勢阱中粒子能級交叉點(diǎn)分步問題<9>，其宏觀的類比是三角形臺球桌中臺球的運(yùn)動。顯然，能級是三角形的兩個角的函數(shù)，能級簡并會隨著這兩個角度變化而出現(xiàn)。瞬時本征函數(shù)沿著兩個角度構(gòu)成的參數(shù)空間中一個閉合路徑變化，波函數(shù)將會伴隨著一個附加的幾何相位因子Berry幾何相因子<9>。這時雖然整體的量子態(tài)是通常變量（如位置

11、）的單值函數(shù)，但在參數(shù)空間上不一定是一個單值函數(shù)。參數(shù)空間的拓補(bǔ)和幾何特征，會決定波函數(shù)非單值性的基本特征。Berry幾何相因子顯然是在研究特殊問題發(fā)現(xiàn)的，但后來蜂擁而至的工作表明，它是量子理論中一個普遍存在的重要概念，深刻地反映了量子系統(tǒng)乃至經(jīng)典動力學(xué)過程的整體性質(zhì)。它的研究已經(jīng)涉及到原子分子物理，凝聚態(tài)理論，核物理和粒子物理，量子場論等物理領(lǐng)域。顯然，此前人們對量子過程整體特性已經(jīng)有所認(rèn)識（如表征電磁勢物理意義的Aharonov-Bohm相位的發(fā)現(xiàn)），但Berry幾何相因子的普適性是令人驚訝的。本文由于篇幅所限，不能一一介紹它的應(yīng)用，只對其基本觀念和關(guān)鍵的應(yīng)用進(jìn)行了比較系統(tǒng)的闡述。從量子絕

12、熱定理的重新證明<10-13>發(fā)現(xiàn)，Berry本人的論述不加重新論述，直接引用了量子絕熱定理。但以前證明絕熱定理的推論通常是排除Berry幾何相位的存在。為此，我們必須改進(jìn)量子絕熱定理的證明，從而要求我們會計(jì)算量子絕熱定理的高階的修正。所以，有人提出了高階量子絕熱近似方法。它不僅在零階近似條件時，自動給出包含Berry相因子的結(jié)果<10-13>，而且在偏離絕熱近似條件時會計(jì)算高階小量。后來證明，這種方法實(shí)質(zhì)上是一種“時變表象”中的微擾理論。其核心思想可以用來理解旋轉(zhuǎn)波近似、絕熱消除法和二能級等近似方法。這些近似方法在現(xiàn)代物理中有普遍的應(yīng)用。結(jié) 語本文力圖通過對量子絕熱近

13、似的基本觀念和思想的發(fā)展的闡述、以及討論由此引發(fā)的Berry幾何相位因子等量子力學(xué)的重要進(jìn)展，使人們認(rèn)識到Berry幾何相因子是一個普遍存在的重要概念，它的研究已涉及到很多領(lǐng)域。但是人們對于什么是Berry相因子以及它的根源是否來自于動學(xué)力的要求還存在分歧。參 考 文 獻(xiàn)<1> A.Shapere，F(xiàn).Wilczek(ed) Geometric Phases in Physics，Singapore：World Scientific，1989<2> 李華鐘，簡單物理學(xué)系統(tǒng)的整體性，上海科學(xué)技術(shù)出版社，上海，1998<3> 席夫，量子力學(xué)（李淑嫻，方勵之譯），

14、人民教育出版社，北京，1982<4> D·波姆，量子理論（侯德彭譯），PP602-618，商務(wù)印書館，北京，1982<5> 湯川秀樹（主編），量子力學(xué)（I），PP66-371，科學(xué)出版社，北京，1991<6> M.V.Berry·Proc，R.Lond，A392，45-57 (1984)，in Proc.In.Symp.Found.of Quantum Mechanics，Tokyo，1983，PP5-9，4415 (1995)，M.Wilkinson， A392，15-43 (1984)，1595 (1988)<11> 孫昌

15、璞，高能物理與核物理 12卷，351 (1988)，1349 (1990)，Physica.Scripta，48，393 (1993)Adiabatic approximate and Berry looksAbstract: This article introduces the improvement of the basic idea and theory of the approximation of quantum thermo-insulation, and discusses the important development of quantum mechanics such as Berry geometric phase factor caused from this. The discovery of Berry geometric