考研數學多項式長除的方法與應用

1、多項式長除法及其應用多項式長除是數學計算和證明中經常用到的一種計算方法，由于在中學和大學的課本中都沒有提到過（也許是寫書的人認為太簡單，所以略過了），所以很多人沒有聽說過這種方法。實際上在很多題型中使用這種方法都能使計算簡單、題意明朗。在這篇文章中我把這種方法和在復習中遇到的各種可以應用這種方法的題型分享給大家，算是“羊年大吉”對okhere的一點點回報吧。一、 多項式長除法簡單的說，多項式長除就是式子與式子做除法，舉一個最簡單的例子：，這個式子我們早在初中就已經熟識了。當時我們稱之為因式分解。如果把這個式子用另一種形式來表示：，這時就可以稱之為多項式的除法。那么等號右邊的式子是怎樣除得的呢。

2、請看下面的過程：(1)大家會發(fā)現(xiàn)這跟數與數的除法是很相似的。需要注意的是被除式和除式都要按一定次序排列（降冪或升冪）。這里暫不對上面的過程做太多說明。在后面的例題中，每設計到多項式的除法，都會給出過程，以便大家能夠真正的理解這種方法。二、 方法的應用多項式長除在很多題型中都能應用。例如積分、求導、求解微分方程、線形代數中的求逆等。下面針對不同的題型各舉一些例題。1、有理函數積分中的應用：舉一個例子： (此題是一位網友發(fā)的帖)解：設, 則原式=做到這里，有兩種方法可以處理：（1） 將因式分解：=這時就得到了t+1這個式子，可以同分子約去，剩余的部分乘開直接積分。（2） 多項式長除法：這種方法可以

3、直接計算多項式的除法，不需要任何的技巧，只要你會加、減、乘、除就夠了，過程如下：（a）先把分子、分母按降冪排好序；（b）以最高次冪為準，依次試商。例如分母的最高次冪是8，分子的最高次冪是1，此時就應當試商；（c）依次試商，直到余數的最高次冪小于分子的最高次冪。此題恰好能除盡。所以=。然后直接積分求得結果。計算式子雖然看起來有些長，但實際上計算起來是很簡單的。做題時可以依據個人的習慣，如果始終認為這種方法不如頭一種方法簡單，那么就用頭一種方法。我只是為大家提供一種新的解題思路。再舉一個不能除盡的例子：（此題摘自03年陳文燈輔導書P82例3.18（1）解：設， 則原式=這道題是除不盡的，根據上面的

4、過程所以原式=, 后略 。2、在求高階導數中的應用在上面的例題中大家可能會認為這種方法可會可不會。那么看完下面這道題也許你就不會這么認為了。例：，求。（此題摘自03年陳文燈輔導書P61例2.29）解：所以這個式子如果不會多項式除法，單憑想是比較困難的。那么后面的計算就比較簡單了，略。在這里需要注意的一點是：除式是按升冪排序的。那么到底什么時候升冪，什么時候降冪呢？這要具體情況具體分析。這道題如果要按降冪排列，求得的商中就都是分式，而題目中給的是求時的n階導數，很顯然這樣做是沒意義的。3、在求解微分方程中的應用：曾經有很多老師認為解微分方程在高等數學中算是比較簡單的一部分，因為只要你把公式背下來

5、，再多做些題，基本上這部分就沒有問題了。但是也許大家都注意到了，二階以上線性微分方程的公式是很煩瑣的。在論壇上也經常遇到網友訴苦，認為這部分的題解起來很繁，詢問有沒有更簡單、快捷的方法。實際上在陳文燈的書中就介紹了一種很好的方法微分算子法。這種方法很神奇，神奇到了有人懷疑它存在的真實性，說“陳文燈是在虛張聲勢”。其實面對這種方法我們曾經最大的障礙就是不會多項式的長除法，因此看不懂書上的關鍵步驟。在這里不對算子法過多的敘述，只舉一些例題說明多項式長除在解微分算子法中的應用。算子法具體怎么用，大家可以參閱陳文燈的輔導書（常微分方程部分高階線性微分方程）。算子法中D表示求導，表示積分。這樣一來所有的微分方程就可以表示成D乘y的形式例如：，就可以表示成：想求y只需要把D的多項式除到右邊計算就可以了。但此時求的y是特解，不是通解，與齊次解合并就是原方程的通解。例：（此題摘自03年陳文燈輔導書