微積分x積分與路徑無關條件學習教案

1、會計學1微積分微積分x積分與路徑無關積分與路徑無關(wgun)條件條件第一頁，共49頁。例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對對 x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 第

2、2頁/共49頁第二頁，共49頁。) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的的積積分分化化為為對對 y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3(,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變到變到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 第3頁/共49頁第三頁，共49頁。 物理學中把物理量在某個區(qū)域內的分布稱為場，物理學中把物理量在某個區(qū)域內的分布稱為場， 如：如： 溫度場、速度溫度場、速度(

3、sd)場、電磁場等。場、電磁場等。如果量的變化與時間無關，則稱此場為穩(wěn)定場。如果量的變化與時間無關，則稱此場為穩(wěn)定場。若對平面區(qū)域若對平面區(qū)域(qy)或空間區(qū)域或空間區(qū)域(qy)內每一個點內每一個點M，都有一個數(shù)量（向量）與之對應，則稱在都有一個數(shù)量（向量）與之對應，則稱在該區(qū)域上給定了該區(qū)域上給定了一個數(shù)量場一個數(shù)量場 （ 向量場）向量場）()f M()f M 引力做功W只與質點的起點和終點有關，而與路徑無關，在物理學中稱這樣的場為保守場（位勢場）保守場（位勢場）。第4頁/共49頁第四頁，共49頁。112Lf dxf dy則稱曲線積分則稱曲線積分 12Lf dxf dy212Lf dxf d

4、y如果對于區(qū)域如果對于區(qū)域 G G 內任意指定內任意指定(zhdng)(zhdng)的兩點的兩點 A A、B B 以以及及 G G 內內從點從點 A A 到點到點 B B 的任意兩條曲線的任意兩條曲線 L1 L1，L2 L2 有有 稱向量場稱向量場 為保守場為保守場. . 12( )( , ),( , )f Pf x yfx yGyxoBA1L2L在在 G 內內與路徑無關與路徑無關, , 第5頁/共49頁第五頁，共49頁。向量場向量場 為保守場為保守場充要條件充要條件. . 12( )( , ),( , )f Pf x yfx yGyxoBA1L2L120.LLf drf dxf dy沿場內光

5、滑或逐段光滑的任意(rny)簡單閉合曲線L第6頁/共49頁第六頁，共49頁。二、位勢二、位勢(wi sh)(wi sh)函數(shù)函數(shù)設開區(qū)域設開區(qū)域G是一個單連通域是一個單連通域, , 函數(shù)函數(shù)1( , ),f x y 2( , )fx y在在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)內具有一階連續(xù)偏導數(shù), , 則則 為保守場充要條件：為保守場充要條件： 在在G內內存在存在某一某一標量標量函數(shù)函數(shù)),(yxu使使 12( , )( , )( , )du x yf x y dxfx y dy 12( )( , ),( , )f Pf x yfx y定理定理(dngl)14-(dngl)14-1 1 向量場向量場 為保守

6、場，為保守場，u (x, y)稱為保守場的（位）勢函數(shù)，根據(jù)稱為保守場的（位）勢函數(shù)，根據(jù)(gnj)這一定理，保守場也稱位勢場。這一定理，保守場也稱位勢場。12( )( , ),( , )f Pf x yfx y第7頁/共49頁第七頁，共49頁。( , )12(,)( , )( , )( , )oox yxyu x yf x y dxfx y dy設下證下證12( , ),( , )uuf x yfx yxy0(, )12(,)(, )oxx yxyu xx yf dxf dyoyy證明證明(zhngmng)12( )( ),( )f Pf PfP 為保守場),(000yxM),(yxM),(

7、yxxN 0(, )( , )limxuu xx yu x yxx 01212MNMMf dxf dyf dxf dy10( , )limxfyxx 1( , )f x y同理可證同理可證2( , )ufx yy12( , )( , )duf x y dxfx y dy第8頁/共49頁第八頁，共49頁。反之反之(fnzh)若若存在存在(cnzi)12( , )( , )duf x y dxfx y dy則對則對D內光猾或逐段光滑的任意簡單內光猾或逐段光滑的任意簡單(jindn)閉合曲線閉合曲線:( )( )( )l rr ttrr 12.LLf drf dxf dy( ( )du r tdtd

8、t( ( )( ( )0u ru r.Ldu( , )12(,)( , )( , )( , )oox yxyu x yf x y dxfx y dy第9頁/共49頁第九頁，共49頁。12( , )( , )duf x y dxfx y dy保守保守(boshu)場場 ， 勢函數(shù)勢函數(shù)u (x, y)稱為保守稱為保守(boshu)場的原函數(shù)場的原函數(shù)12( )BBBBAAAAf drf dxf dyduu P( )( )u Bu A( )( )( ),( )( )baf x dxF aF bF xf x12( )( , ),( , )f Pf x yfx y第10頁/共49頁第十頁，共49頁。設

9、開區(qū)域設開區(qū)域G是一個單連通域是一個單連通域, , 函數(shù)函數(shù)1( , ),f x y 2( , )fx y在在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)內具有一階連續(xù)偏導數(shù), , 則則 12( )( , ),( , )f Pf x yfx y為保守場充要條件：為保守場充要條件： 定理定理(dngl)14-2(dngl)14-221ffxy第11頁/共49頁第十一頁，共49頁。滿足格林公式的條件滿足格林公式的條件2112()LDfff dxf dydxdyxy0 ;LD任意閉曲線21ffxy 12( )( , ),( , )f Pf x yfx y為保守場為保守場： 充分性：因充分性：因第12頁/共49頁第十二頁，

10、共49頁。必要性：必要性：設存在設存在(cnzi)某一函數(shù)某一函數(shù)( , )u x y，使，使12( , )( , )duf x y dxfx y dy則必有則必有12( , ),( , )uuf x yfx yxy從而從而(cng r)2212,ffuuy xyx yx 由于由于(yuy)12,ff在在G內有連續(xù)的偏導數(shù)，故有內有連續(xù)的偏導數(shù)，故有21ffxy證畢證畢12( )( , ),( , )f Pf x yfx y為保守場為保守場 第13頁/共49頁第十三頁，共49頁。與與 路路 徑徑 無無 關關 的的 五五 個個 等等 價價 命命 題題條條件件(tiojin)在單連通開區(qū)域在單連通

11、開區(qū)域D上上12( , ),( , )f x yf x y 具有具有連連 12 (4)( , ) DU x yduf dxf dy在 中存在位勢函數(shù)使12(5)ffyx等等價價命命題題續(xù)的一階偏導數(shù)續(xù)的一階偏導數(shù), ,則以下則以下五五個命題個命題等等價價. . （1）在）在D內曲線內曲線(qxin)積分積分 與與路徑無關路徑無關Lf dr（2）沿）沿D內任意閉曲線內任意閉曲線(qxin)的曲線的曲線(qxin)積積分分0Lf dr 在在D內成立內成立12( )( , ),( , ),(,)drf Pdx dyf x yfx y123( )( ),( )f Pf PfP （ ）為保守場第14頁/

12、共49頁第十四頁，共49頁。12 ,ffyx若1100(,)12(,)B x yA xyf dxf dy11001021( ,)( , )xyxyf x y dxfx y dy11002011(, )( ,)yxyxfxy dyf x y dx或12 Lf dxf dyCBAC ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA xyoL ),(10yxDDBAD 與路徑與路徑(ljng)無關無關第15頁/共49頁第十五頁，共49頁。例例 1 1 計算計算 Ldyyxdxxyx)()2(422. . 其中其中 L 為由點為由點)0, 0(o到點到點)1, 1(B的曲線弧的曲線弧2sinxy

13、. . 解解因此因此(ync)，積分與路徑無，積分與路徑無關。關。122ffxyxoxy1122412 f ( , )2, f ( , ).x yxxyx yxy則則 在單連通域全平面在單連通域全平面(pngmin)上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且且12,ff 1010422)1()02(dyydxxx .1523 Ldyyxdxxyx)()2(422第16頁/共49頁第十六頁，共49頁。解解21()2,fxyxyyy2( )( ),fyxyxxx21( ,),f x yxy2( ,)( ),fx yyx故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy 10100ydydx.

14、21 OB12ffyx第17頁/共49頁第十七頁，共49頁。222222223,(,0)1( ,0)LxyxydxdyLAaxyxyxyB aab例求其中 是從點經上半橢圓周到點的弧段。22212222( , )(0,0)()ffyxyxx yxyxy解：積積分分與與路路徑徑無無關關dyQPdxIAFB 即即 daaaaaaacos)sincos(sin)sincos(102 ABF. 0,sincos到到從從 ayax第18頁/共49頁第十八頁，共49頁。( ,1)(1, )(0,0)(0,0)( , )2( , )2( , )2( , ),( , ).LttQ x yxoyxydxQ x

15、y dytxydxQ x y dyxydxQ x y dyQ x y例4 設函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，曲線積分與路徑無關，且對任意恒有求與路徑無關與路徑無關解：解： yxyxyxQ )2(),(x2 )(),(2ycxyxQ 則則 )1 ,()0 , 0(),(2tdyyxQxydx又又)1 ,(t tdyytQdxx010),(02120( )tc y dy), 1(t ), 1()0 , 0(),(2tdyyxQxydx 100), 1(02dyyQdxxt0( )ttc y dy 102)(dyyct tdyyct0)(t2即即)(1tc 12)( ttc12)(),(22 yxy

16、cxyxQ第19頁/共49頁第十九頁，共49頁。00( , )12(,)( , )( , )( , )x yxyu x yf x y dxfx y dy00102( ,)( , )xyxyf x y dxfx y dy00201(, )( , )yxyxfxy dyf x y dx位勢位勢(wi sh)函數(shù)的求法函數(shù)的求法一一.變上限變上限(shngxin)求積求積分法分法.0( ,)C x y( , )B x y),(00yxA xyoL第20頁/共49頁第二十頁，共49頁。二二. 偏積分法偏積分法1( , )ufx yx11( , )( , )( , )( ).u x yfx y dxF

17、x yC y2( , )ufx yy即即,12( )( , )FC yfx yy從而從而(cng r)可求出可求出C(y)1100(,)12(,)1100( )( )(,)(,)B x yA xyf dxf dyu Bu Au x yu xy并且并且(bngqi)第21頁/共49頁第二十一頁，共49頁。22ddyxxyyx在右半平面(pngmin) ( x 0 ) 內存在原函數(shù) , 并求出它. 證證:),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx12ffyx第22頁/共49頁第二十二頁，共

18、49頁。解解因此因此(ync)向量場是保守場向量場是保守場。1222ffxyyx2222 f( , )2, 2.x yxxyyxxyy例1 向量場f1,f2在單連通域全平面上有連續(xù)在單連通域全平面上有連續(xù)(linx)的一階的一階偏導數(shù)，且偏導數(shù)，且12 ( , ) dufDdxdyyfU x在 中存在使是不是保守(boshu)場,求U(x,y)第23頁/共49頁第二十三頁，共49頁。223221( , )(2)( )3uu x ydxxxyydxxx yxyC yx32221( )2( )3yuxx yxyC yxxyC yy2222( )2xxyC yxxyy2( )yy 31( )3yyC

19、 33221( , )33yu x yxx yxyC12 ( , ) dufDdxdyyfU x在 中存在使2222f( , )2, 2x yxxyyxxyy第24頁/共49頁第二十四頁，共49頁。oxy1121L2L解解 .272 e000( , )()(2 )xyyu x yex dxx ey dy例例 2 2 驗證驗證 Lyydyyxedxxe)2()(. .與路徑無關，與路徑無關， 并求之。并求之。L 為過為過)0, 0(o)1, 0(A)2, 1(B 的曲線弧的曲線弧. . 1yfey2fx(1,2)(1,2)22(0,0)(0,0)12yIf drxx ey22( , )2yxu

20、x yx ey第25頁/共49頁第二十五頁，共49頁。oxy1121L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 20100)21()(dyyedxxey.272 e解解 例例 2 2 驗證驗證 Lyydyyxedxxe)2()(. .與路徑無關，與路徑無關， 并求之。并求之。L 為過為過)0, 0(o)1, 0(A)2, 1(B 的圓周，由的圓周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲線弧的曲線弧. . 1yfey2fx第26頁/共49頁第二十六頁，共49頁。21( , )()( )2yyuu x ydxex dx e xxyx(

21、 )2yy 2( ) yyC 12 ( , ) dufDdxdyyfU x在 中存在使12 f ( , ), f ( , )2 .yyx yexx yxey21( )2yyue xxyy( )2yyue xye xyy221( , )2yu x ye xxyC(1,2)12(0,0)(1,2)(0,0)f dxf dyuu.272 e第27頁/共49頁第二十七頁，共49頁。判別(pnbi): P, Q 在某單連通(lintng)域D內有連續(xù)一階偏導數(shù),xQyPDyx),( 為全微分方程(wi fn fn chn) 則求解步驟:方法1 湊微分法;方法2 利用積分與路徑無關的條件.1. 求原函數(shù)

22、u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = C .使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d則稱0d),(d),(yyxQxyxP為全微分方程 ( 又叫做恰當方程 ) .第28頁/共49頁第二十八頁，共49頁。),(yxyxo0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因為因為(yn wi)yP236yyx ,xQ故這是全微分方程(wi fn fn chn). , 0, 000yx取則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為Cyyxyxx332253123

23、)0 ,(x第29頁/共49頁第二十九頁，共49頁。0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 這是一個(y )全微分方程 .用湊微分(wi fn)法求通解.將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解為021d2xyx或Cxyx221,xQ第30頁/共49頁第三十頁，共49頁。思考思考(sko): 如何如何解方程解方程?0dd)(3yxxyx這不是一個(y )全微分方程 ,12x就化成例2 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx為全微分方程,),(yx則稱在簡單情況下, 可憑觀察和經驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子

24、.但若在方程兩邊同乘0d),(d),(yyxQxyxP若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子.第31頁/共49頁第三十一頁，共49頁。)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx 積分(jfn)因子不一定唯一 .0ddyxxy例如(lr), 對可取,1yx221yx ,21y,21x第32頁/共49頁第三十二頁，共49頁。與路徑與路徑(ljng)無關的五個等價無關的五個等價命題命

25、題條件條件(tiojin)函數(shù)函數(shù)123( , , ),( , , ),( , , )f x y zfx y zfx y z在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域內具有一階連內具有一階連續(xù)偏導數(shù)續(xù)偏導數(shù)等價命題等價命題（1）曲線積分）曲線積分Lf dr在在內與路徑無關內與路徑無關（2）沿）沿內任意閉曲線的曲線積分內任意閉曲線的曲線積分0Lf dr （4）在）在內存在函數(shù)內存在函數(shù)U使使duf dr（5）332121,ffffffyzzxxy內成立內成立123(,),(,)ffffdrdx dy dz1233( )( ),( ),( )f Pf PfPf P （ ）為保守場第33頁/共49頁第三十三頁，共49

26、頁。0( , , )123(,)( , , )( , , )( , , )( , , )oox y zxy zu x y zf x y z dxf x y z dyf x y z dz01( ,)xooxf x yz dx20( , ,)oyyfx y z dy3( , , )ozzfx y z dz(,)oooA x y z為為內任取點。內任取點。空間空間(kngjin)保守場勢函數(shù)計算方法保守場勢函數(shù)計算方法一一.變上限變上限(shngxin)求積分法求積分法.O y0 y yzzz0 x0 xx( , , )B x y z(,)oooA xyz第34頁/共49頁第三十四頁，共49頁。二二

27、. 偏積分法偏積分法.1( , , )ufx y zx11( , , )( , , )( , , )( , ).u x y zfx y z dxF x y zC y z23( , , ),( , , )uufx y zfx y zyz12( , , )FCfx y zyy13,( , , )FCfx y zzz即即從而從而(cng r)可求出可求出( , ).C y z第35頁/共49頁第三十五頁，共49頁。111000(,)123(,)111001( )( )( ,)(,)B x y zA xyzf dxf dyf dzu Bu Au x y zu x y z求曲線求曲線(qxin)積分積分

28、332121,ffffffyzzxxy第36頁/共49頁第三十六頁，共49頁。1110(,)123(,)( , , )( , , )( , , )oox y zxy zf x y z dxf x y z dyf x y z dz101( ,)xooxf x yz dx1120( , ,)oyyfx y z dy1131( , )ozzfx y z dz(,)oooA x y z為為內任取點。內任取點。O y0 y1 yzz1z0 x0 x1x111( ,)B x y z(,)oooA xyz第37頁/共49頁第三十七頁，共49頁。zyxyxzxzyd)(d)(d)(與路徑(ljng)無關, 并

29、求函數(shù)zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 積分(jfn)與路徑無關,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此(ync)第38頁/共49頁第三十八頁，共49頁。(2),(2),(2 )fyzxyz zx xyz xy xyz例設向量場（1）證明它是保守場）證明它是保守場（2）求出它的位勢）求出它的位勢(wi sh)函數(shù)函數(shù)U（x,y,z)(3)計算：計算：(1,2,3)123(0,0,0)f

30、 dxf dyf dz232231221222222ffxxyyzyzffxyyyzzxffxzyzzxy為保守為保守(boshu)場。場。第39頁/共49頁第三十九頁，共49頁。123( , , )(2)( , , )(2)( , , )(2 )uf x y zyzxyzxufx y zzx xyzyufx y zxy xyzz222( , )uudxyzxy zxyz xy zx222 ( , )(2) ( , )0( , )( )yyx zyzxxzy zzx xyzy zy zz2()( , )(2)uyz xyxzxy zzx xyzy2()( , )(2)uyz xyxzxy zz

31、x xyzy第40頁/共49頁第四十頁，共49頁。222uyzxy zxyz xC22222( )2( )(2 )( )0uudxyzxy zxyz xzxuyxy xzxyzxy xyzzz( ) zC(1,2,3)123(0,0,0)(1,2,3)(0,0,0)36f dxf dyf dzUU第41頁/共49頁第四十一頁，共49頁。定義定義(dngy)設設123( , , )( , , ),( , , ),( , , )f x y zf x y zfx y zf x y z為空間為空間(kngjin)區(qū)域區(qū)域上的向量場。對上的向量場。對上每一點上每一點(y din)( , , ),M x

32、y z定義向量函數(shù)定義向量函數(shù)332121( , , ),ffffffF x y zyzzxxy稱它稱它 為向量場為向量場f中點中點M處的旋度，記作處的旋度，記作.rotf123ijkrotfxyzfff四：旋度四：旋度第42頁/共49頁第四十二頁，共49頁。定義定義(dngy)設設f為空間為空間(kngjin)內的向量場，內的向量場，L為場內任意為場內任意(rny)封閉封閉曲線，稱曲線，稱LLf dr 為為f沿場內有向閉曲線沿場內有向閉曲線L指指定方向的環(huán)流量，簡稱環(huán)量。定方向的環(huán)流量，簡稱環(huán)量。注注:Lf dr表示流速為表示流速為f的流體在單位時間沿有向的流體在單位時間沿有向閉曲線閉曲線L的流量。反映了流體沿的流量。反映了流體沿L流動的旋轉的強流動的旋轉的強弱程弱程度。度。注注:由上述定義，由上述定義，Stokes公式可以寫成如下的向量形式公式可以寫成如下的向量形式()oLLSf drrotf ndS 第43頁/共49頁第四十三頁，共49頁。()oLSLSf drrotf ndS 上式說明上式說明(shumng