發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭

1、為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型? 隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，要求人們隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，要求人們在解決各類實際問題時更加精確化和定量化，特在解決各類實際問題時更加精確化和定量化，特別是在計算機(jī)的普及和廣泛應(yīng)用的今天，數(shù)學(xué)更別是在計算機(jī)的普及和廣泛應(yīng)用的今天，數(shù)學(xué)更深入地滲透到各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。深入地滲透到各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。 數(shù)學(xué)模型正是從定性和定量的角度去分析數(shù)學(xué)模型正是從定性和定量的角度去分析和解決所遇到的實際問題，為人們解決實際問題和解決所遇到的實際問題，為人們解決實際問題提供一種數(shù)學(xué)方法，一種思維方式，因此越來越提供一種數(shù)學(xué)方法，一種思維方式，因此越來越受到人們的重視

2、。受到人們的重視。 一個重點工程，地址選擇在何處為好？一個重點工程，地址選擇在何處為好？ 在戰(zhàn)爭還沒有消滅的今天，武器的發(fā)展是在戰(zhàn)爭還沒有消滅的今天，武器的發(fā)展是大型化還是提高精度？大型化還是提高精度？ 人口眾多，已成為全球性的大問題，如何人口眾多，已成為全球性的大問題，如何制定一個國家的人口政策？制定一個國家的人口政策？ 為什么發(fā)射衛(wèi)星一般采用三級火箭？為什么發(fā)射衛(wèi)星一般采用三級火箭？ 所有這些問題都需要建立數(shù)學(xué)模型加以論所有這些問題都需要建立數(shù)學(xué)模型加以論證，為決策者提供理論依據(jù)。證，為決策者提供理論依據(jù)。 先介紹兩個生動的應(yīng)用實例，讓我們對此有先介紹兩個生動的應(yīng)用實例，讓我們對此有所體會

3、，然后介紹數(shù)學(xué)模型的一些基本概念和建所體會，然后介紹數(shù)學(xué)模型的一些基本概念和建立模型的方法。立模型的方法。發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭? 當(dāng)你坐在電視機(jī)前觀看奧運會精彩的比賽實當(dāng)你坐在電視機(jī)前觀看奧運會精彩的比賽實況時，你可曾想到是況時，你可曾想到是通過什么通過什么手段把畫面瞬間從手段把畫面瞬間從比賽現(xiàn)場傳到世界各地呢？比賽現(xiàn)場傳到世界各地呢？ 是通訊衛(wèi)星。是通訊衛(wèi)星。衛(wèi)星靠什么送入太空軌道的呢？衛(wèi)星靠什么送入太空軌道的呢？靠的是三級火箭?？康氖侨壔鸺?。 那么為什么要用三級火箭，而不用一級、那么為什么要用三級火箭，而不用一級、二級或四級火箭呢？二級或四級火箭呢？ 下面通過

4、運載火箭的數(shù)學(xué)模型來論證三級下面通過運載火箭的數(shù)學(xué)模型來論證三級火箭的設(shè)計是最優(yōu)的?；鸺脑O(shè)計是最優(yōu)的。 建立數(shù)學(xué)模型很關(guān)鍵的一步是確定什么是主建立數(shù)學(xué)模型很關(guān)鍵的一步是確定什么是主要因素，什么是次要因素。要因素，什么是次要因素。 火箭是一個非常復(fù)雜的系統(tǒng)，它必須具有高火箭是一個非常復(fù)雜的系統(tǒng)，它必須具有高效能的發(fā)動機(jī)，牢固的結(jié)構(gòu)，低的空氣阻力等等。效能的發(fā)動機(jī)，牢固的結(jié)構(gòu)，低的空氣阻力等等。 對火箭發(fā)動機(jī)的主要要求是必須具有強(qiáng)大的對火箭發(fā)動機(jī)的主要要求是必須具有強(qiáng)大的推力使火箭加速到足夠大的速度。推力使火箭加速到足夠大的速度。 因為如果火箭最末一級燃料用完時速度太低因為如果火箭最末一級燃料用

5、完時速度太低的話，衛(wèi)星就會從空中掉回地面。的話，衛(wèi)星就會從空中掉回地面。 下面從衛(wèi)星的速度因素著手，看看為了使衛(wèi)下面從衛(wèi)星的速度因素著手，看看為了使衛(wèi)星在預(yù)定的軌道上圍繞地球飛行，火箭的最終速星在預(yù)定的軌道上圍繞地球飛行，火箭的最終速度應(yīng)該是多少？度應(yīng)該是多少？一、火箭速度一、火箭速度 把問題理想化：假設(shè)地球為密度均勻分布的把問題理想化：假設(shè)地球為密度均勻分布的球體，衛(wèi)星以地球引力作為向心力繞地球作平面球體，衛(wèi)星以地球引力作為向心力繞地球作平面圓周運動，如圖圓周運動，如圖1.1所示。所示。 設(shè)地球半徑為設(shè)地球半徑為R，地球中心為，地球中心為O，曲線，曲線C為為地球表面，地球表面，曲線曲線 為衛(wèi)

6、星軌道，為衛(wèi)星軌道， 的半的半徑為徑為r，衛(wèi)星質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為m。CC2rmKG K為引力常數(shù)。為引力常數(shù)。 假設(shè)地球為密度均勻分布的球體，則可把地假設(shè)地球為密度均勻分布的球體，則可把地球的質(zhì)量看成集中在球心。由牛頓第二定律，地球的質(zhì)量看成集中在球心。由牛頓第二定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為球?qū)πl(wèi)星的引力為(1.1) 為定出常數(shù)為定出常數(shù)K，把衛(wèi)星放在地球表面。，把衛(wèi)星放在地球表面。則由則由(1.1)式得式得2RmKmg 2gRK 2222rRmgrmgRrmKG (1.3) (1.2)其中其中g(shù)為地球表面的重力加速度。為地球表面的重力加速度。 將將(1.2)式代入式代入(1.1)式得地球?qū)πl(wèi)星的

7、引力式得地球?qū)πl(wèi)星的引力rvan2222rRmgrvmmanrRgv22kmRsmg6400,/81.92衛(wèi)星以地球引力作為向心力繞地球作圓周運動，衛(wèi)星以地球引力作為向心力繞地球作圓周運動，其向心加速度為其向心加速度為向心力為向心力為得得(1.4)取取所以所以skmrgRv/6 .721(1.5)即是要把衛(wèi)星送入離地面即是要把衛(wèi)星送入離地面600km高的軌道，火高的軌道，火箭的末速度至少要箭的末速度至少要7.6km/s。又取衛(wèi)星離地面高度為又取衛(wèi)星離地面高度為600km，則，則kmkmr7000)6006400( 應(yīng)注意到，在把問題理想化時，所作假應(yīng)注意到，在把問題理想化時，所作假設(shè)與實際有較

8、大差別，但這并不會影響所計設(shè)與實際有較大差別，但這并不會影響所計算的結(jié)果，因為并不是要精確計算衛(wèi)星的速算的結(jié)果，因為并不是要精確計算衛(wèi)星的速度是多少，而是要推出火箭的末速度至少要度是多少，而是要推出火箭的末速度至少要多少？多少？ 下面的工作就是計算火箭的速度，看它下面的工作就是計算火箭的速度，看它的末速度能否達(dá)到的末速度能否達(dá)到7.6km/s。 二、火箭速度的計算二、火箭速度的計算 要計算火箭的速度，必須懂得火箭的基要計算火箭的速度，必須懂得火箭的基本結(jié)構(gòu)和工作的基本原理?；鸺暮唵文Ｐ褪潜窘Y(jié)構(gòu)和工作的基本原理。火箭的簡單模型是由一臺火箭發(fā)動機(jī)和一個燃料倉組成，燃料在由一臺火箭發(fā)動機(jī)和一個燃料

9、倉組成，燃料在發(fā)動機(jī)中燃燒，產(chǎn)生大量的氣體從火箭的末端發(fā)動機(jī)中燃燒，產(chǎn)生大量的氣體從火箭的末端噴出。這種向后噴出的氣體產(chǎn)生一個使火箭向噴出。這種向后噴出的氣體產(chǎn)生一個使火箭向前運動的推力。為了在一定的時間內(nèi)使火箭的前運動的推力。為了在一定的時間內(nèi)使火箭的最后速度達(dá)到最后速度達(dá)到7.6km/s，那末推動火箭向前的，那末推動火箭向前的力應(yīng)該是多少？這個力又依賴哪些因素呢？力應(yīng)該是多少？這個力又依賴哪些因素呢？ 火箭飛行時要受到重力和空氣阻力的影響，由火箭飛行時要受到重力和空氣阻力的影響，由于地球的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，火箭升空后作曲線運動。這于地球的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，火箭升空后作曲線運動。這樣考慮問題就復(fù)雜了，這

10、里仍然把問題理想化。樣考慮問題就復(fù)雜了，這里仍然把問題理想化。 假設(shè)火箭在噴氣推進(jìn)下作直線運動，不考慮重假設(shè)火箭在噴氣推進(jìn)下作直線運動，不考慮重力和空氣阻力的影響。力和空氣阻力的影響。 tt)(ttm時刻火箭質(zhì)量為時刻火箭質(zhì)量為設(shè)設(shè) t 時刻火箭質(zhì)量為時刻火箭質(zhì)量為 m(t) , 速度為速度為 v(t)，)()()(2tOtdtdmtmttm(1.6)由由Taylor展開式，展開式，在在t 這段時間內(nèi)火箭質(zhì)量減少這段時間內(nèi)火箭質(zhì)量減少在不需要余項的精確表達(dá)式時在不需要余項的精確表達(dá)式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式可寫為 )(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxx

11、nxf)(!)(00)()(0nxx 這個減少的質(zhì)量實際上是火箭燃料燃燒噴出的這個減少的質(zhì)量實際上是火箭燃料燃燒噴出的氣體的質(zhì)量。氣體的質(zhì)量。 設(shè)噴出的氣體相對于火箭運動的速度為設(shè)噴出的氣體相對于火箭運動的速度為u（u為為常數(shù)），則氣體相對于地球運動的速度為常數(shù)），則氣體相對于地球運動的速度為utv)()()()()()()(2tOutvtdtdmttvttmtvtm即即t時刻火箭動量等于時刻火箭動量等于)(tt時刻火箭動量加上時刻火箭動量加上)(tt時刻轉(zhuǎn)換到氣體時刻轉(zhuǎn)換到氣體上去的動量。如圖上去的動量。如圖1.2所示。所示。 由動量守恒定律，有由動量守恒定律，有(1.7)用用Taylor展

12、開式展開展開式展開)(ttmt，并令，并令0tudtdmdtdvm代入代入(1.7)式兩端同除以式兩端同除以取極限得取極限得(1.8)這是一個具有指導(dǎo)意義的式子。這是一個具有指導(dǎo)意義的式子。(1.8)式左端表示火箭所受的推力式左端表示火箭所受的推力T。請現(xiàn)在推導(dǎo)請現(xiàn)在推導(dǎo)(1.8)式式dtdvmT udtdmT即是說，推力等于燃料消耗的速度與氣體相即是說，推力等于燃料消耗的速度與氣體相對于火箭運動速度的乘積。對于火箭運動速度的乘積。 令令得得將將(1.8)式改寫為式改寫為dtmdudtdv)(lnu為常數(shù)，積分上式得為常數(shù)，積分上式得)(ln)(00tmmuvtv0m是火箭初始質(zhì)量，是火箭初始

13、質(zhì)量，0v(1.9)是是 t = 0 時的速度，時的速度，(1.9)式的結(jié)果表明火箭速度變化僅依賴于兩個因素：式的結(jié)果表明火箭速度變化僅依賴于兩個因素：請現(xiàn)在推導(dǎo)上式請現(xiàn)在推導(dǎo)上式請現(xiàn)在推導(dǎo)請現(xiàn)在推導(dǎo)(1.9)式式 （1）噴出的氣體相對于火箭的速度）噴出的氣體相對于火箭的速度 u（已（已假定為常數(shù)）；假定為常數(shù)）； （2）t 時刻火箭質(zhì)量時刻火箭質(zhì)量 m(t) 和和 t=0 時刻火箭時刻火箭質(zhì)量質(zhì)量 m0 之比。之比。 這就為設(shè)計火箭時提高火箭速度指出了正這就為設(shè)計火箭時提高火箭速度指出了正確的方向：確的方向： （1）盡量提高火箭燃燒時產(chǎn)生的氣體噴出）盡量提高火箭燃燒時產(chǎn)生的氣體噴出的速度的速

14、度 u，這從燃料上想辦法（如制造液體燃料、，這從燃料上想辦法（如制造液體燃料、固體燃料、改變?nèi)剂蠘?gòu)成成分等）。固體燃料、改變?nèi)剂蠘?gòu)成成分等）。（2）盡量減少在）盡量減少在 t 時刻火箭的質(zhì)量時刻火箭的質(zhì)量 m(t)，以增大，以增大)(/0tmm 采用以上兩種方法可提高火箭的速度，為此采用以上兩種方法可提高火箭的速度，為此有必要計算火箭在飛行過程中質(zhì)量的變化。有必要計算火箭在飛行過程中質(zhì)量的變化。 的比值，從結(jié)構(gòu)上想辦法。的比值，從結(jié)構(gòu)上想辦法。三、火箭系統(tǒng)質(zhì)量的計算三、火箭系統(tǒng)質(zhì)量的計算火箭系統(tǒng)質(zhì)量由下列部分組成：火箭系統(tǒng)質(zhì)量由下列部分組成：Pm（2）燃料質(zhì)量）燃料質(zhì)量Fm（3）結(jié)構(gòu)質(zhì)量）結(jié)構(gòu)

15、質(zhì)量Sm 首先考慮簡單情形：設(shè)所有燃料全部耗盡，首先考慮簡單情形：設(shè)所有燃料全部耗盡，只剩下凈載質(zhì)量和結(jié)構(gòu)質(zhì)量只剩下凈載質(zhì)量和結(jié)構(gòu)質(zhì)量SPmm 然后凈燃料倉和發(fā)動機(jī)丟棄，只剩下凈載體。然后凈燃料倉和發(fā)動機(jī)丟棄，只剩下凈載體。 （1）凈載質(zhì)量）凈載質(zhì)量 （如衛(wèi)星等）；（如衛(wèi)星等）；（發(fā)動機(jī)和燃料倉質(zhì)量）。（發(fā)動機(jī)和燃料倉質(zhì)量）。由由(1.9)式凈載體將以速度式凈載體將以速度SPmmmuv0ln運動。運動。SmFSmm )()(0PSFSmmmmm(1.10)在在中應(yīng)占有一定的比例，在現(xiàn)有技術(shù)條件下，要中應(yīng)占有一定的比例，在現(xiàn)有技術(shù)條件下，要使燃料倉與發(fā)動機(jī)的質(zhì)量和小于所載燃料的使燃料倉與發(fā)動機(jī)的

16、質(zhì)量和小于所載燃料的1/8和和1/10是很難做到的。是很難做到的。設(shè)設(shè)(為常數(shù)為常數(shù))一般來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量一般來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量 即結(jié)構(gòu)質(zhì)量為燃料與結(jié)構(gòu)質(zhì)量和的即結(jié)構(gòu)質(zhì)量為燃料與結(jié)構(gòu)質(zhì)量和的倍，倍，代入代入(1.10)式，得式，得Pmmmuv)1(ln00對于給定的對于給定的u值，當(dāng)凈載質(zhì)量值，當(dāng)凈載質(zhì)量0Pm1lnuv由此可以得出一個重要的結(jié)果：由此可以得出一個重要的結(jié)果：時時（即火箭不攜帶任何東西），火箭所能達(dá)到的（即火箭不攜帶任何東西），火箭所能達(dá)到的最大速度為最大速度為請現(xiàn)在推導(dǎo)請現(xiàn)在推導(dǎo)(1.11)式式 (1.11) (1.12)已知已知 u=3km/s，如果取，如果取=0.1，則上式中，

17、則上式中 前面前面(1.5)式推出衛(wèi)星要進(jìn)入圓形軌道，火箭式推出衛(wèi)星要進(jìn)入圓形軌道，火箭末速度為末速度為7.6km/s，而剛才推導(dǎo)的火箭速度是在假，而剛才推導(dǎo)的火箭速度是在假定忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況定忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況下，最大速度才下，最大速度才7km/s。由此得出，單級火箭是。由此得出，單級火箭是不能用于發(fā)射衛(wèi)星的。不能用于發(fā)射衛(wèi)星的。 v 7km/s 由以上分析還可以發(fā)現(xiàn)，該火箭模型的缺由以上分析還可以發(fā)現(xiàn)，該火箭模型的缺點在于發(fā)動機(jī)必須把整個沉重的火箭加速到底，點在于發(fā)動機(jī)必須把整個沉重的火箭加速到底，但是當(dāng)燃料耗盡時，發(fā)動機(jī)加速的僅僅是一個但是當(dāng)

18、燃料耗盡時，發(fā)動機(jī)加速的僅僅是一個空的燃料倉，作了許多無用功。因此，有待改空的燃料倉，作了許多無用功。因此，有待改進(jìn)火箭的設(shè)計。進(jìn)火箭的設(shè)計。 設(shè)火箭燃料燃燒的同時，不斷丟棄無用部設(shè)火箭燃料燃燒的同時，不斷丟棄無用部分，顯然效率會高一些，如圖分，顯然效率會高一些，如圖1.3所示。所示。tdtdm表示丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，表示丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，tdtdm)1 (在圖在圖1.3中中表示燃燒掉的燃料噴出的氣體質(zhì)量。表示燃燒掉的燃料噴出的氣體質(zhì)量。tt（總丟棄（總丟棄質(zhì)量等于丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量加上燃燒掉的質(zhì)量等于丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量加上燃燒掉的燃料質(zhì)量）。燃料質(zhì)量）。設(shè)在設(shè)在 t 到到時間內(nèi)，把總丟棄質(zhì)量當(dāng)作時間內(nèi)，把

19、總丟棄質(zhì)量當(dāng)作1 把丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量當(dāng)作把丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量當(dāng)作 (01) ，則燃燒掉，則燃燒掉的燃料質(zhì)量為的燃料質(zhì)量為(1-) 。 當(dāng)然，不可能制造這樣的理想火箭。即要作當(dāng)然，不可能制造這樣的理想火箭。即要作到無用部分外殼連續(xù)不斷地丟棄。到無用部分外殼連續(xù)不斷地丟棄。 但是，可把實際情況理想化以后，使得問題但是，可把實際情況理想化以后，使得問題變得比較簡單，在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。變得比較簡單，在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。從而獲得需要的信息。然后通過一些修正，就可從而獲得需要的信息。然后通過一些修正，就可以把理想過程還原到實際過程。以把理想過程還原到實際過程。由動量守恒定律由動量守恒定律)()

20、1 ()()()()()(uvtdtdmttvdtdmttvttmtvtm將將)(ttm按按(1.6)式展開代入上式，式展開代入上式，0tdtdmudtdvm)1 (積分得積分得)(ln)1 ()(0tmmutv經(jīng)過整理并令經(jīng)過整理并令，取極限得，取極限得請現(xiàn)在推導(dǎo)上式請現(xiàn)在推導(dǎo)上式請現(xiàn)在推導(dǎo)請現(xiàn)在推導(dǎo)(1.14)式式 (1.13) (1.14)(1.14)式與式與(1.10)式相似，但不同的是式相似，但不同的是(1.14)式表式表明，當(dāng)火箭燃料用完時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量均被扔掉，只明，當(dāng)火箭燃料用完時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量均被扔掉，只剩下凈載（如衛(wèi)星）。剩下凈載（如衛(wèi)星）。因此，理想火箭的最終速度為因此，理想火箭

21、的最終速度為Pmmuv0ln)1 (由上式可以看出，如果已知由上式可以看出，如果已知(1.15)pmmu,0則可計算出凈載物的速度。則可計算出凈載物的速度。skmu/3 ,1.0500Pmm即凈載體是整個系統(tǒng)初始質(zhì)量的即凈載體是整個系統(tǒng)初始質(zhì)量的1/50，就是說，就是說1t重的衛(wèi)重的衛(wèi)星送入離地星送入離地600km的軌道，需要造一個的軌道，需要造一個50t重的火箭。重的火箭。 顯然，在以上條件下，要求凈載物速度越高，顯然，在以上條件下，要求凈載物速度越高，則凈載物的質(zhì)量就必須越小。則凈載物的質(zhì)量就必須越小。 假定考慮空氣阻力、重力等因素影響，那么理假定考慮空氣阻力、重力等因素影響，那么理想火箭

22、將衛(wèi)星送入想火箭將衛(wèi)星送入600km的軌道的最終速度應(yīng)達(dá)到的軌道的最終速度應(yīng)達(dá)到10.5km/s，而不是，而不是7.6km/s。代入代入(1.15)式得式得如果取如果取 令令mi為第為第i級質(zhì)量（燃料級質(zhì)量（燃料+結(jié)構(gòu)），結(jié)構(gòu)），imim)1(為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 四、理想過程的實際化四、理想過程的實際化 前面所提的理想火箭是把火箭飛行過程中燃前面所提的理想火箭是把火箭飛行過程中燃料燃燒后結(jié)構(gòu)質(zhì)量的無用部分連續(xù)不斷地丟棄以料燃燒后結(jié)構(gòu)質(zhì)量的無用部分連續(xù)不斷地丟棄以提高效率，顯然對于實際火箭是辦不到的。是否提高效率，顯然對于實際火箭是辦不到的。是否可以把結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐級丟

23、棄而用多級火箭呢？下面可以把結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐級丟棄而用多級火箭呢？下面就來分析。就來分析。1230mmmmmP先分析三級火箭的入軌過程，初始質(zhì)量為先分析三級火箭的入軌過程，初始質(zhì)量為 為簡單起見，設(shè)所有各級火箭為簡單起見，設(shè)所有各級火箭值是一樣的，值是一樣的，噴氣相對速度噴氣相對速度 u 在各級也相同。在各級也相同。當(dāng)?shù)谝患壢剂嫌猛陼r，剩余質(zhì)量為當(dāng)?shù)谝患壢剂嫌猛陼r，剩余質(zhì)量為123mmmmP由由(1.9)式知火箭速度為式知火箭速度為12301lnmmmmmuvP(1.16)這時丟棄第一級外殼，此時火箭質(zhì)量為這時丟棄第一級外殼，此時火箭質(zhì)量為23mmmP同時第二級點火，當(dāng)?shù)诙壔鸺剂嫌猛陼r，同時第二

24、級點火，當(dāng)?shù)诙壔鸺剂嫌猛陼r，所剩質(zhì)量為所剩質(zhì)量為23mmmP火箭速度為火箭速度為232312lnmmmmmmuvvPP (1.17)丟棄無用的第二級外殼，火箭質(zhì)量為丟棄無用的第二級外殼，火箭質(zhì)量為3mmP3mmP火箭速度為火箭速度為332lnmmmmuvvPP有關(guān)參數(shù)必須滿足下列兩個條件：有關(guān)參數(shù)必須滿足下列兩個條件：33232312301230lnmmmmmmmmmmmmmmmuvmmmmmPPPPPP 同時第三級點火，當(dāng)?shù)谌壔鸺剂嫌猛陼r，同時第三級點火，當(dāng)?shù)谌壔鸺剂嫌猛陼r，(1.18)(1.19)其質(zhì)量為其質(zhì)量為 現(xiàn)在的問題是如何選擇現(xiàn)在的問題是如何選擇m1、m2、m3使使mP

25、最最大。由于大。由于(1.16)式復(fù)雜，問題棘手，但當(dāng)引入式復(fù)雜，問題棘手，但當(dāng)引入新變數(shù)以后，問題就變簡單了。新變數(shù)以后，問題就變簡單了。 2301mmmmaP3232mmmmmaPP PPmmma33(1.16)式變?yōu)槭阶優(yōu)? 1(1) 1(1) 1(1ln332211aaaaaauv令令幸運的是，上式中的幸運的是，上式中的321,aaa所以當(dāng)所以當(dāng)321aaa時，時，321aaa取最小值，取最小值，Pmmaaa/0321取最小，此時取最小，此時Pm321aaaa則有則有 3)1(1lnaauvuvaa3exp)1(1uvp3exp有有 pa1最大。最大。是對稱的，是對稱的，即即令令令令所

26、以最大凈載質(zhì)量為所以最大凈載質(zhì)量為301pmmP設(shè)設(shè)5 .10vkm/s，3ukm/s，1 . 0770Pmm 這就是說，要送這就是說，要送1t 重的衛(wèi)星上天，需要制重的衛(wèi)星上天，需要制造造77t 重的三級火箭，與理想火箭重的三級火箭，與理想火箭50t 重比較，重比較，二者相差很大。二者相差很大。可得可得 這就是說，要送這就是說，要送1t 重的衛(wèi)星上天，需要制造重的衛(wèi)星上天，需要制造77t 重的三級火箭，與理想火箭重的三級火箭，與理想火箭50t 重比較，二重比較，二者相差很大。者相差很大。 下面考慮兩級和四級火箭，由三級火箭的分下面考慮兩級和四級火箭，由三級火箭的分析可以看出析可以看出Pmm

27、/0nPpmm10nuvpexp的值推導(dǎo)過程可以適用于的值推導(dǎo)過程可以適用于設(shè)設(shè) u 和和 對任何一級火箭都相同，則對任何一級火箭都相同，則任何任何 n 級火箭，級火箭， 作為檢驗，如果令作為檢驗，如果令 n，那么它將與我們，那么它將與我們先前在第三段中討論的理想火箭結(jié)果一致（理想先前在第三段中討論的理想火箭結(jié)果一致（理想情形是假定火箭在其飛行過程中，無用部分外殼情形是假定火箭在其飛行過程中，無用部分外殼要連續(xù)不斷地丟棄）。要連續(xù)不斷地丟棄）。 uvmmP)1 (exp0 如果如果 u,v,與前相同，衛(wèi)星重與前相同，衛(wèi)星重1t，則火箭級數(shù)，則火箭級數(shù)與質(zhì)量之間的關(guān)系為與質(zhì)量之間的關(guān)系為在理想情形時在理想情形時 由此可見，用三級火箭代替二級火箭是值得的。由此可見，用三級火箭代替二級火箭是值得的。雖然多了一級，但火箭質(zhì)量幾乎減少了一半。而用四雖然多了一級，但火箭質(zhì)量幾乎減少了一半。而用四級火箭代替三級火箭時，重量減輕不大，但被四級火級火箭代替三級火箭時，重量減輕不大，但被四級火箭的復(fù)雜性及額外還要