課程四高中數(shù)學新課程中可選內(nèi)容的分析與思考

1、課程四：高中數(shù)學新課程中可選內(nèi)容的分析與思考 第一課 作者： 高中數(shù)學課程專家    評論數(shù)/瀏覽數(shù)： 480 / 1476    發(fā)表日期： 2011-07-25 12:13:49  給作者發(fā)送信息 | 推薦此文章 | 添加到收藏夾課程四：高中數(shù)學新課程中可選內(nèi)容的分析與思考第一課時    對“選擇性”的思考和認識角色姓名單    位主持人張思明北京大學附屬中學 特級教師評論嘉賓王尚志首都師范大學 教授 博導 高中課標研制組負責人評論嘉賓張怡慈首都師范大學 教授 博導 高中課標研制組

2、負責人特邀嘉賓檀晉軒北京第十九中學 高級教師特邀嘉賓邵文武北京第八中學 碩士主持人：各位老師大家好！歡迎大家參加高中數(shù)學新課程遠程研修。今天我們非常榮幸的請到了兩位嘉賓，我身邊的這一位是首都師范大學教授張飴慈教授，那邊那位是首都師范大學的教授、博士生導師王尚志。他們兩位都是參加了我們高中數(shù)學新課程標準的研制以及參加了高中新課程標準教材的編寫，都是負責人之一。那么我想他們兩個的參加，為我們研討提供了非常好的理論和實踐的保證。我們這一講的主題是對高中數(shù)學新課程可選內(nèi)容的分析和思考。在這一講里頭我們要涉及高中數(shù)學新課程增加了很多選學的內(nèi)容，如何選擇這些內(nèi)容？選擇了以后，我們要做哪些分析？怎么樣處理在

3、選擇中的一些問題？這里頭我們也會給老師們提供一些案例，也要加上一些分析，特別是我們這一部分內(nèi)容，對很多老師都有特別新或者比較生疏的感覺，怎么來處理這些矛盾？怎么來提高自己對這些選擇性內(nèi)容的認識和識別？我想這是一個很重要的問題！我們來看這樣一個采訪，看看老師們是怎樣看的：各位老師好！在我們一起座談的過程中，我們也感受到了高中新課程增加了很多新的內(nèi)容，特別是選三選四有很多新的模塊，作為一個老師，在他自己的學習生涯里頭，不可能或者說很難把這些內(nèi)容都學過。但是我們面臨進入新課程以后，每個老師都有這種選擇，要選擇一部分內(nèi)容去教，也要先去學。我想問大家，如果給了你這個機會你希望選擇哪些內(nèi)容？畢：我喜歡選數(shù)

4、學史，我覺得這個數(shù)學史很容易激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使他明白數(shù)學是怎么來的，每一個知識點，每一個過程都是怎么樣得到的，也會培養(yǎng)他一種科學的精神。李：如果我去選，我可能更會選擇一些與學生生活更為相關(guān)，或者是更能體現(xiàn)數(shù)學價值的一些內(nèi)容。比如說信息安全與密碼、象布爾代數(shù)與開關(guān)電路，這些內(nèi)容更容易去激發(fā)學生學習數(shù)學的這種興趣，也更有利于學生去認識數(shù)學在生活當中應(yīng)用價值和指導意義。郗：經(jīng)歷過多年的教學以后，大學學的內(nèi)容遺忘的也比較多。因此我在看這些個選修內(nèi)容的時候，我覺得對我來說可能都是比較新的、陌生的，但是我覺著這一輪的課程改革，對每一個年輕教師來說，都存在著一個機遇和挑戰(zhàn)的問題。這個機會我想也是促進

5、教師專業(yè)化發(fā)展的一個途徑，所以雖然他們都是新的，但是我從中還是選擇了一個。但是在學的過程當中，我發(fā)現(xiàn)其實一開始感覺難，但是后來覺得也不是特別難，只要自己能夠去鉆研，在教學過程當中不斷地去摸索，實際上還是可行的。劉：我是比較年輕的教師，我們在年輕教師隊伍當中，有一些是高學歷的教師，以前很多老師認為這樣高學歷的老師到中學來教書，是不是就沒有用武之地，我覺得這個新課程的改革恰好給了我們一個很好的一個展現(xiàn)的舞臺。在這里我們通過研究生、甚至是博士生這個階段所學的內(nèi)容，在中學當中有一些簡單的介紹。這個時候就可以利用我們專業(yè)上的一些優(yōu)勢，把這樣的課程開設(shè)起來，然后讓有這種能力的學生對咱們數(shù)學知識更高層次上的

6、內(nèi)容有所了解，這可以激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。比如說歐拉公式與閉曲線分類，這些可能很多老師在大學階段是沒有學到的，而我們在研究生階段學過這部分內(nèi)容，所以開設(shè)起來可能更容易一些，這個時候就充分發(fā)揮了年輕教師的一些優(yōu)勢。馬：當一看到選三選四這16個專題的時候，很容易望文生畏，比如說信息安全與密碼、開關(guān)電子與布爾代數(shù)，大家會提出這樣的質(zhì)疑，說這些課程有的在大學的數(shù)學系都不能開出來，我們作為中學老師怎么可能講給學生聽呢？在這里我想說一下這16個專題，并不是簡單地把大學的內(nèi)容的下放，而是利用學生初三的那個認知的基礎(chǔ)上來編寫的這些相關(guān)的教材，如果我要去中學講這個選修課的話，我想根據(jù)現(xiàn)在咱們經(jīng)濟生活的這個形勢，

7、大家比較喜歡投資，比較喜歡炒股，所以我想給學生開設(shè)風險與決策這門課，可能學生會比較感興趣。這門課學生有可能他學到的知識，并不能直接運用于咱們現(xiàn)在的經(jīng)濟生活，但是他能夠通過學這門課使學生產(chǎn)生對于數(shù)學的興趣，學生對數(shù)學感興趣了，以后的數(shù)學學習可以說就會省很多的勁，很多學生也就因此開竅了。陳：我覺得對于我來說，作為一個年輕老師，所有的選修課都應(yīng)該要開，有些課雖然說原來大學學得也不是很深甚至沒學過，但是我們有前面的大學的數(shù)學做基礎(chǔ)，可以進一步地學習，然后去解決這些問題。對于我個人的愛好來說，我偏向于開初等數(shù)論初步和三等分角及數(shù)域的擴充、初等數(shù)論。主要是原來我給學生講數(shù)學計算的時候，涉及過這里面的一些東

8、西，覺得這里面它雖然涉及的知識點不是特別多，但是它有很多想法，能夠滲透一些數(shù)學的智慧在里邊，對于三等分角及數(shù)域擴充，因為這個原來我上大學的時候這塊也挺感興趣，而且覺得這里面有很多能夠體會數(shù)學的內(nèi)容的一些東西，所以我喜歡開這兩門課。主持人：大家都看到了，在這個采訪中，老師們都有很多的想法，特別是表現(xiàn)出了一種青年教師的一種朝氣。很多老師都說我自己一定要努力，盡快適應(yīng)高中新課程，在這個過程中跟課程一起成長，我覺得這種心態(tài)和這種要求非常值得我們贊賞。我們也可以請嘉賓幫我們分析一下，在新課程中增加了這么多的內(nèi)容，是出于怎樣的考慮？王尚志：我先來說一下，就是首先談一下選擇性的問題。這次高中課程改革的一個最

9、大的一個突破，就是在選擇性上，這個選擇性包括這么幾個層面，一個就是領(lǐng)域的劃分，不同領(lǐng)域的選擇；另一個就是某一個學科里都提供了一個比較廣泛的一個選擇空間，那么這個選擇性的作用，我想大家都比較清楚，隨著時代的發(fā)展，使我們的社會對于人選擇能力提出了越來越高的要求，過去都是包分配的，現(xiàn)在是要自己找工作的。因此要選擇適合于自己的工作，能夠發(fā)揮自己優(yōu)勢的工作，那么這樣的選擇能力，不是一蹴而就的，需要我們從高中階段就開始培養(yǎng)和樹立選擇的能力和一種選擇的意識，或者我們更進一步說叫做把握人生的能力。所以我想這一件事情，是一個非常重要的一個突破。作為數(shù)學課程標準，在選擇性上也做了一些探討，關(guān)于選修一和選修二系列的

10、內(nèi)容，我們已經(jīng)做了介紹，現(xiàn)在就著重談一下選修三、選修四系列的設(shè)定的一個基本情況。當初我們都參加了課程標準的研制。我想這個選擇性內(nèi)容的選擇，經(jīng)歷了這么一個過程，首先大家都知道我們國家的著名的數(shù)學家華羅庚先生、段學富先生以及現(xiàn)在著名的數(shù)學家姜伯駒先生等等，他們都為中學生在60年代的時候?qū)懗隽艘慌浅：玫男宰樱热缯f從祖沖之的圓周率談起、對稱與群、楊輝三角、一筆劃問題等等。那么這些實際上影響了一代人的成長，我個人也是在這樣的，讀這樣一些書的過程中成長起來的。我們前后屆都是這樣一個過程，我們談?wù)撈疬@些書對于我們影響的時候，都感受到這個書對我們開闊眼界，提高素養(yǎng)起了很重要的作用。另外一個方面，我們當時

11、借鑒了俄國和歐洲一些國家為他們的學生開設(shè)的選課，應(yīng)該說他們開出來的選課是非常豐富的。我們都知道俄國有一個特殊的一些學校叫做物理學校。他們就為學生開設(shè)出了很多和近代數(shù)學、近代物理學有關(guān)的許許多多的選擇課程，以此來開拓學生的眼界，促進學生的發(fā)展。那么在歐洲，象在芬蘭和其他一些歐洲的大國也都開出了一些相應(yīng)的選擇課程，所有這些都是我們構(gòu)建選擇課程的基礎(chǔ)。我們廣泛的征求我們國家數(shù)學界的數(shù)學家、應(yīng)用數(shù)學家、還有大學數(shù)學老師的意見。張怡慈：我們現(xiàn)在這一次跟60年代華先生那一代他們還不太一樣，就是當時他們是主要針對一些對數(shù)學特別有興趣的人開設(shè)的，而我們需要對廣大的高中生開設(shè)的，比如說包括應(yīng)用數(shù)學方面的和更廣一

12、些，甚至數(shù)學史方面這些內(nèi)容。我們開了很大的一個單子，征求意見，然后再讓這些數(shù)學家們來發(fā)表意見，對每一個同意開還是不同意開，為什么同意開，做了這樣一個廣泛的調(diào)查，最后我們初步確定了是現(xiàn)在這樣的一些。然后我們就在中學不同層次的學校做了試驗。王尚志：對，我們開設(shè)了這些課程，向這些學生征求了一些意見，也有一些中學老師和我們一起去開了這個課程，并且做了調(diào)整，最后又在我們標準內(nèi)部，又報告了這些內(nèi)容，然后經(jīng)過了一個反復的討論，最后又經(jīng)過審查委員會的審查，他們也提出了他們的修改意見。所以大體上經(jīng)歷了這么一個過程。從現(xiàn)在來看，可能我們最近又聽到了新的意見，那么教育部希望采取一個分布推進的一個策略來逐步的拓展選擇

13、的空間，比如說現(xiàn)在希望在中學大概有十個選擇課程，包括幾何論證選講、不等式選講、坐標系參數(shù)方程、優(yōu)選法與實驗設(shè)計、初等數(shù)論、矩陣與變換、風險與決策、數(shù)學史選講、對稱與群、球面幾何大概這十個。對于其他的想經(jīng)過一段時間，再逐步的拓展?，F(xiàn)在也有這么一個想法，也可能會逐步的再拓展個別的也有可能做一些調(diào)換。我想這個是比較客觀的，也是很對的一個做法。而且對于一些學校來說，也不要求這些學校一下子把所有這些課程都開齊，也是有一個逐步的過程；對于一個老師來說，也不要求他一下子把所有的課都開齊，也是有一個逐步的過程。就是我想無論是教研室，無論是學校，都可以訂立一個計劃逐步的開展選修的課程。目前在實驗區(qū)陸續(xù)的在擴大選

14、修的范圍，比如說廣東他們對于選修課程采取了文科是一選一，理科是二選一；寧夏回族自治區(qū)理科是六選一等等。那么北京又提出了新的舉措，希望在示范學校能夠開出選修課程的60%，并且要求示范學校一定要帶這個頭，比如說像二中、四中、人大附中、北大附中，都在訂立自己學校開設(shè)選修課程的計劃，并且分別要落實到人，我想有一批中青年老師開設(shè)選修課程的積極性非常高，拿四中來說，這已經(jīng)成為他們學校發(fā)展的一個傳統(tǒng)，我想其他的學校也都設(shè)立了不同性質(zhì)的校本課程。我想他們會把選修課程和校本的開發(fā)有機的結(jié)合起來，不斷地拓展開設(shè)選修課的空間，另外一點就是選修課程的開設(shè)，對于教師的專業(yè)成長的確也是一個非常好的載體，我覺得開和不開還是

15、不一樣的。主持人：我們現(xiàn)在的很多老師也是這樣的，比如我們這個課程組的老師，很多老師都是通過開選修課以后，就形成自己的特色品牌，像我們一會兒來做教材分析的檀晉軒老師，他不僅開了而且參與了教材的編寫。我們還有很多青年老師，在學校里頭剛分配來一年、兩年，但是他對新的這些內(nèi)容非常熟悉，把這個選修課作為自己在學校的一個品牌創(chuàng)立起來，同時也通過這個研修形成了自己的一些教學風格，比如說像這個矩陣變換，講數(shù)學史的老師，他文理交融，能很好的發(fā)揮自己的特長，發(fā)揮自己個性的一些特長領(lǐng)域。王尚志：所以在開設(shè)選修課的過程中，我們還面臨這樣一個挑戰(zhàn)，就是不考的開不開，我想以數(shù)學史選講為例，那么很多老師確實有這樣的障礙，認

16、為這個高考不考，我們還需不需要開設(shè)。但是也有一部分老師，做了非常好的嘗試，他們通過試一試，愿意開設(shè)這門課程?，F(xiàn)在很多學校都開出數(shù)學史選講這門課程，我覺得這是一個很大的發(fā)展，我聽李文林老師說最近他們參加數(shù)學史教學研討會的人數(shù)突然的增加了非常多。很多中學老師都參加了他們的會議，并且介紹自己在開設(shè)數(shù)學史選講的一些經(jīng)驗和體會。我們在下一講希望邀請李文林老師來參與我們的活動，我想開設(shè)數(shù)學史選講雖然不會考，但它會起到非常好的作用，激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的學習本質(zhì)。張怡慈：有一些選修課，當然功利的看不是高考的問題，但是我想這些課的開設(shè)，對學生的能力培養(yǎng)還有很大的好處。比如像對稱與群

17、，福州的八中它就還沒有進入這個課程它已經(jīng)就開了，北京四中也已經(jīng)開了。他們老師和學生反映，都是非常非常好的。從培養(yǎng)一個人來說，我想這一次選擇性的設(shè)立，無論對學生還是對老師都是有非常好的一個作用。當然具體的操作的話，將來可以有修訂修改。王尚志：我覺得這是非常好的一個方向。比如說我舉一個例子，首師大附中，雖然還沒有進入這個新課程，但是他們一個剛畢業(yè)的老師就開設(shè)了矩陣與變換，效果非常好。開設(shè)課老師跟我說，她說我發(fā)現(xiàn)有些過去對數(shù)學沒有興趣的同學，通過上這樣的一個選修課，變得對數(shù)學有興趣了，學習成績也發(fā)生了一定的變化。而這個老師恰恰是畢業(yè)時間不長的一個老師，我們還會邀請她來參加我們的討論。所以我想開設(shè)選修

18、課的過程也可以看作是一個老師成長的過程。主持人：兩位老師對開設(shè)選修課的必要性和可能性、可行性都做了分析。我想很多老師都關(guān)心我們實驗區(qū)對于選修課的評價，怎么考？用什么方案去考？這方面有哪些舉措？我們想請課程中心的馬芳華老師給我們大家做一個介紹。馬芳華：請見附件：41高中新課程實驗省市數(shù)學高考方案馬芳華.ppt主持人：剛才馬芳華老師把實驗區(qū)里的一些典型省份的高考的對于選修課的這種考法，做了一個初步的介紹。當然我們想象隨著實驗區(qū)的擴大，更多的省市會拿出更積極的方案，我們也從這個方案中看到這種態(tài)勢，您說呢？王尚志：是的！我想隨著時間的推進，選擇的空間會逐步的擴大。我們也衷心的希望高考的命題者能夠和我們

19、一線的老師一起來研討，如何在高考中出好選修課專題的考試題。這樣能夠更加積極的推動選修課的開設(shè)。我想這是一個非常重要的，也是我們積極期待的一件事情。主持人：我們很多老師也都認為選修課自己上大學的時候沒有學過，所以看著這個“選“就覺得和”難“聯(lián)系在一起，其實未必是這樣。我們下面將通過一些具體的案例，也來解剖兩個具體的麻雀。我們就選了兩個選修課的重點內(nèi)容，就是選的頻率比較高的內(nèi)容，一個是矩陣和變換，還有一個是數(shù)學史。我們想聽一聽一線的老師在參與這些教學設(shè)計和教學實踐的時候，他們對這兩個選修內(nèi)容的分析和他們的體會。下面請北京的檀晉軒和邵文武兩位老師，來做的矩陣單元的整體教學分析。檀：對于矩陣與變換，邵

20、老師幫我們來分析一下矩陣與變換在高等數(shù)學中具有怎樣的地位和作用。邵：應(yīng)該說矩陣的學習在代數(shù)學習課程中占有舉足輕重的地位。因為現(xiàn)在從大學的課程安排來看，無論是工科學生還是理科學生，都要學習線性代數(shù)的知識。特別在現(xiàn)在一些高等院校中，一些文科院系也開展了高等數(shù)學，那么線性代數(shù)也是其中一個嚴重內(nèi)容之一。因此實際上所有學生如果升入大學以后很多都要接觸到線性代數(shù)。那么矩陣就是其中一個研究內(nèi)容之一。所以我們現(xiàn)在把這個課程想引入高中課程，另外一個作為抽象的數(shù)學對象之一，矩陣實際上是很抽象的，但把矩陣研究清楚之后，學生如果繼續(xù)想學習數(shù)學里邊一些知識，那矩陣又將作為一個具體的實例出現(xiàn)，所以說它具有廣泛的應(yīng)用性，還

21、有一個基礎(chǔ)性作用，是其他學科一些基礎(chǔ)知識不能替代的。檀：正因為矩陣在高等數(shù)學中具有這樣的地位和作用，因此新課程標準中，就把矩陣作為一個內(nèi)容引入到高中的課程中來，那么一方面是希望學生能夠在中學階段就極早的接觸和了解一部分高等數(shù)學的知識和內(nèi)容，是通過課程改革使學生能夠開拓數(shù)學視野。邵：既然這樣看的話，檀老師你怎么認為如果在高中開設(shè)這門課程和在大學開設(shè)這門課有哪些不同，應(yīng)該怎么去處理。檀：我想是不一樣的！在大學中矩陣主要是以抽象的代數(shù)的角度，那么把矩陣作為一個代數(shù)的運算對象從抽象一般的矩陣出發(fā)來研究矩陣的運算，以及它相關(guān)的一些運算性質(zhì)。而在高中階段，我們只限于二階方陣。對具體的二階方陣研究，主要是研

22、究它與平面向量的乘法以及二階方陣自己的乘法。那么又由于二階方陣與平面向量乘法具有非常明顯的幾何意義，因此我們在中學階段應(yīng)該突出它這幾何意義，并且從幾何意義的角度來講。希望學生能夠從幾何上更加直觀的去感受矩陣的相關(guān)運算性質(zhì)。邵：說到這里我們想對比一下，矩陣在高中有一個認識，在大學同樣有另外一個認識。但現(xiàn)在這門課程既然在高中開設(shè)的話，那我們要認識清楚到底怎么來開設(shè)？實際上這門課程設(shè)置主要目的之一還是想講矩陣，是想講矩陣的相關(guān)運算和性質(zhì)，但是因為其本身非常抽象，作為高中來講它無論在知識，還是接受能力等發(fā)面都有一些欠缺。這樣課標要求我們從線性變換角度來講矩陣，所以說實際上通過二階方陣的幾何背景來了解矩

23、陣，因此自始至終我們?nèi)绻v矩陣的話，都應(yīng)該把矩陣看成一種運算，但是把幾何變換看成一種背景。從這個角度去理解，這樣說的話就有一個問題，我們在講授這門課的時候，不能把它認為是一門幾何課程。這個和我們現(xiàn)在另外一個分支是不同的，比如說解析幾何，解析幾何是用代數(shù)的方法來研究幾何。矩陣與變換，我們是想研究代數(shù)的知識，而是通過幾何背景來介紹和學習。檀：邵老師主要提出來的是矩陣和向量在教學中的一個定位，和它在整體的教學中的一個突出的主線。實際上作為大學的一個非常抽象的內(nèi)容，它引入到高中作為一個專題來進行教學的話，對于高中的學生是有一定的困難。這個困難我想可能來自于幾個方面：一個方面首先作為一種非常新的運算對

24、象，它的運算定義的形式以及它的很多的性質(zhì)，是學生初次遇到。比方說對于乘法的不交換性，學生從未見到過，因此學生在接受這個問題的過程中，他首先有非常大的困惑；另外對于這一門課程它本身，對于在變換中的不變性。比如說在矩陣的特征向量和特征值這個問題上，從概念的理解以及它相關(guān)的運用被學生掌握起來都是非常困難的。那么邵老師對這個方面有什么樣的一些設(shè)想？邵：要想就是解決這個問題的話，因為矩陣本身具有一些自己的難點，所以我們講的時候，首先一個進行處理的方法是要分散難點。比如說應(yīng)該在多種場合對同一個知識點進行滲透，或者說先給出一些鋪墊。比如說在最開始研究幾何變換的時候，就可以給出特殊向量中一些簡單的例子，讓學生

25、從感性上加以認識，但是并不給出具體的定義，也就是說通過具體在研究反射變換、伸縮變換這樣一些具體的矩陣變換過程中，可以提出一些個相關(guān)的問題，使學生去初步通過運算去感受在這運算下的一些不變性質(zhì)，或者說把他們作為其中一些特殊的例題或者例子出現(xiàn)，讓學生先認識。這樣在你真正講這個定義的時候，學生已經(jīng)有了一個認識，然后通過一些大量的感性認識，再引導學生進行抽象概括，這樣講起來可能會更好一些。還有一個比如說我們最后講特征向量到底怎么應(yīng)用，我可以先講應(yīng)用，說這個向量如果講完以后它具有這樣的性質(zhì)。在運算過程中我可以簡化很多運算，讓學生先從它的具體的實際意義來理解，理解以后再反過來講它其他東西，比如說怎么樣求特征

26、向量，這樣可能會更清楚一點。便于學生把這個難點克服。檀：當然另外我們還可以對大量的復雜的矩陣運算，借助一些相關(guān)的運算工具，比如一些手持的計算工具，以及計算機中的Excel等等一些程序，我們都可以完成一些復雜的運算。這樣的話在學生初步掌握了運算的規(guī)律基礎(chǔ)上，他可以通過這種結(jié)果去觀察和深入研究運算中所蘊涵的一些性質(zhì)和運算的規(guī)律。邵：因為信息技術(shù)現(xiàn)在，也是課標的一個要求。我們可以把這部分加進去更加體現(xiàn)出幾何直觀性，來了解矩陣相關(guān)知識。檀：實質(zhì)上對于這個專題的內(nèi)容而言，并沒有太大的難度，初中畢業(yè)的學生就可以能夠開始掌握。所以高一開設(shè)是完全可以的，但是如果要是在高一開設(shè)的話，勢必要補充適當?shù)南蛄?、平面?/p>

27、量的相關(guān)知識，因此要拿出一定的課時在之前對學生，在平面向量中給予適當?shù)匿亯|。邵：如果這個課要是在高二開的話，可能效果會更好一點，這是我們個人認為，當然不是說非得強求。因為這個時候?qū)W生所需基本知識已經(jīng)具備了。比如說向量我已經(jīng)講過了，另外學生經(jīng)過一年的高中學習，數(shù)學能力要比高一學生強得多，這樣接受起來可能更容易一些。同時如果在高二開設(shè)這門課程的話，它實際還可以幫助學生理解另外一些概念，比如說我們在這里要求，把矩陣看成一種映射，是平面點到平面的話，這樣可以加強對什么叫映射。給出一個具體實例，還比如說在這里邊實際有一個逆矩陣，就可以和函數(shù)里邊的反函數(shù)相對，反函數(shù)雖說課標里已經(jīng)降低要求，但你給出具體實例

28、，理解起來可能更容易一些。當然還有一些其他拓展，這樣的話可能就是會更好一些，效果是不一樣的。矩陣作為一個新的課程內(nèi)容，是在以前的學習過程，或者說要求是從來沒有的。作為一種現(xiàn)代社會的研究對象，是第一次把它下放高中，而這個實際上并不是第一次，那我們現(xiàn)在已經(jīng)把微積分的一些知識，還有概率統(tǒng)計的一些知識下放到高中了。同樣那門課從現(xiàn)在講課效果來看的話，已經(jīng)取得了一定的成果，或者一定進步。而我相信如果老師能夠把這部分處理比較好的話，矩陣這門知識同樣可以講的好，而現(xiàn)在根據(jù)我們了解的信息的話，在一些省市實際上這門課開的情況確實不錯。檀：北京也有很多的學校早已經(jīng)在新課程進入之前，已經(jīng)嘗試著開設(shè)了這門課程。邵：還有

29、一個問題就是剛才跟一個老師了解的話，就是老師可能在備課過程中要遇到一些困難。因為這門課是新的，但是學生接受起來是比較容易的。這樣的話可能對學生從成功感的感覺來說，可能會更好一些。所以我們希望老師能把這門課開好。主持人：好！ 看了兩位老師做的矩陣單元分析。我想請張教授來分析一下，這個矩陣單元的內(nèi)容你覺得應(yīng)該怎么看待把握？張怡慈：我想就我們中學的矩陣的定位，把它再說一下。我想可能我們要分六個層面來理解這一部分，就它的層次來說，首先第一個層次就是我們要認識到矩陣它把平面上每一個點變到了另外一個點，另一個點當然可以跟它是一樣的，并且知道是怎么變的，然后從這就提高到，我們矩陣它把平面上每一個點變到了平面

30、上另一個點。王尚志：對于矩陣是平面到平面上的一個變換，希望老師不要一蹴而就，這是需要一個比較長時間的積累，才能幫助學生形成這樣一個意識。因為在義務(wù)教育階段，我們常常談的是圖形的運動，一個圖形變到另一個圖形。另外一個方面實際上它是一個變換下完成的這樣一個運動，所以我想老師應(yīng)該特別注意這一點，就是要強調(diào)變成整個平面的點。第二個層次的話，我們講的是幾個常見的矩陣表示的變換。這有兩個層次，第一就是加深對前面矩陣變換的理解；第二我們把過去常講的壓伸、旋轉(zhuǎn)、反射等等這些變換，通過在這一段里頭讓學生對它有一個理解。知道我們矩陣可以表示這樣一些變換，通過對這些變換的理解來掌握第一部分矩陣與變換的問題。我們在這

31、一部分，就是通過幾何的圖形平面的點來體會變換。我們希望學生、我們的老師都能夠認識到。王尚志：在講這個層次的時候，有兩個角度，一個是張老師剛才強調(diào)的幾何的角度，特別是常常有的老師愿意選擇在第一象限的一個正方形，在這個變換下變成一個什么樣的圖形。那么第二個角度，也需要從代數(shù)上來體會，第一個坐標變了沒有？第二個坐標變了沒有？第一個坐標變了多少？第二個坐標變了多少？第一個坐標的變化？是由第一個坐標產(chǎn)生的？還是由第一個和第二個坐標混合產(chǎn)生的？等等。我想這一些都是我們老師在教學的過程中應(yīng)該給予關(guān)注的。而且我們要在這一部分的最后，把我們的變換要總結(jié)起來，實際上我們希望要認識到這個矩陣是一個線性變化，要通過實

32、例對矩陣是一個線性變換進行認識，并不是所有的變換都在這表示這個，線變化是能把直線變成直線。張怡慈：第三個層次，我們要討論矩陣和矩陣之間的關(guān)系，也就是變換和變換之間的關(guān)系，也就是在數(shù)學上表示成矩陣的乘法。我們要讓學生們清楚矩陣乘矩陣還是一個矩陣，它表示的是連續(xù)實施兩次變換。面對從代數(shù)的角度來認識這樣一個變換，在這里，我們知道這個變換乘法跟我們過去學的乘法有很大的不同：第一次出現(xiàn)了沒有交換律的乘法，這一點也是對于學生認識理解運算有好處的。因為過去總覺得交換律是一個顯然的事情，一直到向量。到這第一次出現(xiàn)了乘法不適合交換律。王尚志：也可以從幾何角度來認識，這個矩陣為什么乘法會沒有交換律，也就是選轉(zhuǎn)后壓

33、縮和先壓縮后旋轉(zhuǎn)結(jié)果是不一樣的。張怡慈：第四個層次，我們要講逆變換，也就是逆矩陣，也就是這個變回來的變換是一個什么樣的變換？我們還是用我們前面第二層面講的，常見的壓伸、反射、旋轉(zhuǎn)來講逆變換，那么在逆變換里頭我們在前面鋪墊了一個投影變換，在這里頭我們用這個投影變換來說明有的矩陣沒有逆變換，為什么沒有逆變換，就是它把很多點變到了一個點，沒有一一對應(yīng)的性質(zhì)。通過這樣的例子，來認識這個逆變換，另外我們也把逆變換一些性質(zhì)，先做壓縮再旋轉(zhuǎn)，回來的時候一定是后做的要先做，先做的要后做，這是逆變換的性質(zhì)。第五個層次是線性方程組與矩陣的關(guān)系。我們可以把它梳理一下，線性方程組是一個代數(shù)的問題，最早在數(shù)學上出現(xiàn)方程

34、組，都是解決牛羊分配問題等等。那么我們在學了高中的幾何以后，我們知道從解析幾何角度，可以認識線性方程組，從直線相交平行重合的角度，還可以從向量基本定理來認識方程組，那么現(xiàn)在我們從矩陣的角度，就是說我們給了一個變換，和一個變換結(jié)果，問是有沒有一個東西，在這個變化下變到它，是誰變到了它。這一個觀點在數(shù)學上，是一個非常重要的觀點。把方程看成一個變換的這樣一個觀點，是一個非常重要的觀點。求解方程組，是不是求一個已知向量的原象，所以就變成這樣一個認識。最后我們是講特征值與特征向量。也就是我們還是通過一些具體的例子，比如說通過壓伸變換，來看到有一些向量在這個變化下基本上沒變，或者它根本就沒有動，或者它只是

35、拉伸了一下，就是它還是和原來的向量，是共線的。我們把這樣的向量，通過這樣的例子，然后把它提煉出來，把它稱為它的變換特征向量和特征值。然后我們要講一講它的作用、它的意義。在這一方面來講，我想這是我們最重要的幾個層面。也就是我們老師在給學生講的時候，要把層次描述清楚。王尚志：但是對于老師來說，我想知道這些還不夠。老師還應(yīng)該多了解一點東西，我想老師應(yīng)該有機會復習一下在大學里學習的線性代數(shù)的課程。我就想在張老師的基礎(chǔ)上，給老師簡單的介紹一下大學的線性代數(shù)課程和我們中學的矩陣與變換的課程之間的聯(lián)系和區(qū)別。我們知道在大學線性代數(shù)的內(nèi)容是主要依托于對這幾個對象的研究。一個是行列式、一個是矩陣、一個是向量空間

36、，當然還可以拓展成為一個線性空間、一個是線性變換、一個是線性方程組。那么對這五個內(nèi)容，在我們線性代數(shù)的課程中希望去發(fā)掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，就用我的老師的一句話來說，它的本質(zhì)上是一致的，這是丁時孫丁先生說過的一句話，我覺得是很有道理的。比如說我們可以用行列式去討論矩陣的秩，我們用行列式可以去討論向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)的問題，我們又可以用矩陣去表示線性變換，我們又可以用行列式去討論線性方程組的根，我們又可以用矩陣去研究線性方程組的解，我們又可以用向量去表示線性方程組的解，反回來說我們又可以用線性方程組去討論行列式的性質(zhì)、矩陣的性質(zhì)、向量空間的性質(zhì)以及線性變換的性質(zhì)，它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。而我們

37、高中的矩陣與變換的課程，是依賴于二階矩陣，把這樣一些基本的思想在我們二階矩陣的載體上做一個具體的體現(xiàn)，這是一個非常基本的一個聯(lián)系。張怡慈：另外還有一些，比方說我們現(xiàn)在講的常見的這些矩陣變換壓伸也好，切變也好，它實際上就是我們代數(shù)里講的一行乘以常數(shù)加到另一行，所以就很容易看到的話，如果你能把這個初等變換和我們常見變換聯(lián)系起來，就很容易發(fā)現(xiàn)任何一個矩陣變換都可以分解成一系列這樣的變換乘積，對于一些老師，他要復習一些大學學的東西，他能對這個東西有一定深刻的認識。為什么我們要講這幾個初等變換，它不僅僅是最常見的，而且是最基本的。王尚志：就是這個基的概念滲透在線性方程組里的每一個環(huán)節(jié)，所以這個是一個根本

38、的東西。那么中學的矩陣與變換的另外一個重要的特點是，它強調(diào)代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，把矩陣看作一個表示我們在初中所學過的最基本的變換的一個代數(shù)的表達形式，并且去發(fā)掘這種代數(shù)的表達形式它的幾何意義是什么，矩陣的乘積的幾何意義是什么，逆矩陣的幾何意義是什么等等。我們把理解矩陣的幾何意義當作貫穿我們整個矩陣與變換課程的一個基本脈絡(luò)，我想這也是一個非常重要的一點。第三點就是變換的作用，剛才張老師也強調(diào)了變換是一個映射，函數(shù)是特殊的映射，我們要通過不同的層面，加深我們對映射的認識，矩陣是一個非常好的載體，到了我們在線性代數(shù)里學的所謂線性變換，對于有限空間的線性變換，都可以用矩陣清晰的表達出來。所以這一些特點

39、，是我們在高中課程，開設(shè)矩陣與變換的基本特點。所以我們希望無論是在教學過程中還是在評價的過程中，都希望把這一些基本的東西作為我們主要的內(nèi)容，來進行處理。就是說我們這一部分內(nèi)容，要跟我們過去學的高中的一些相關(guān)的概念，老師要有意識的做一些聯(lián)系。張怡慈：比如剛才王老師講的，變換實際上就是映射，映射是我們高一就學的東西，那么現(xiàn)在我們有一個很好的載體。還有比如說矩陣的乘法，實際上是映射以后再映射，實際上相當于我們的復合函數(shù)，雖然我們現(xiàn)在高中不太強調(diào)復合函數(shù)，但是對于老師來說，他應(yīng)該知道，實際上是一個復合函數(shù)表示成一種運算。第三象逆變換的問題，實際上就是反函數(shù)的概念，一一對應(yīng)，這是反函數(shù)的基本思想，反函數(shù)

40、也是一個逆映射，象這些一樣，包括跟方程組的關(guān)系等等，就跟我們中學學的其他一些知識有一緊密的聯(lián)系。這樣的話，我們也聽到老師這樣的反映，說開完了矩陣與變換的課程，有一點對于線性代數(shù)有一個豁然開朗的感覺。我想這也是我們開設(shè)這個課程的一個出發(fā)點。主持人：剛才兩位老師對于我們矩陣做了一個初步的介紹。我們下一講還要對矩陣的具體內(nèi)容，具體的一些重點、難點，做更進一步的分析。我想老師們在第一講里頭，對于我們高中選擇性，應(yīng)該有一個新的認識。我們從剛才的分析中，看到了選擇性設(shè)立的初衷。面對選擇性，我們老師的態(tài)度。我想我們在后面，希望老師通過進一步的思考，去除畏難情緒，也把選擇性作為提升自己專業(yè)素質(zhì)的一種突破口。那

41、么我們這一講就到這里，期待下一講和大家再見。謝謝大家 ！第二課：以矩陣為代表，做功能分析和教學設(shè)計角色姓名單    位主持人張思明北京大學附屬中學 特級教師評論嘉賓王尚志首都師范大學 教授 博導 高中課標研制組負責人評論嘉賓張怡慈首都師范大學 教授 博導 高中課標研制組負責人參與教師郗玲玲首師大附中  碩士參與教師劉雪蓮知春里中學 碩士特邀嘉賓檀晉軒北京第十九中學 高級教師特邀嘉賓邵文武北京第八中學 博士參與教師何志奇江蘇省 特級教師 主持人：各位老師大家好！在上一講中我們分析了高中數(shù)學里，可供選擇的內(nèi)容的一些思考。在這一講里，我們繼續(xù)以矩陣和

42、變換為例，進行進一步的分析，那么我們在這里面想先請兩位老師，就是北京19中的檀晉軒老師和八一中學的邵文武老師，他們合作對矩陣變換中的重點和難點進行一個初步的分析。邵：現(xiàn)在我們來具體談一下這門課程中它的重點和難點是什么？我們?nèi)绾伟盐罩攸c和突破相關(guān)難點？在課標里面對矩陣的要求做了非常明確的規(guī)定，比如說要求我們首先理解矩陣和向量乘法的幾何意義，在此基礎(chǔ)之上要求學生理解矩陣是線性變換的一種。這樣的話借助于線性變換，我們再借助幾何直觀，就能夠讓學生理解矩陣乘法意義和逆矩陣的意義。此外還要求學生從幾何變換角度，理解特征向量和特征值的相關(guān)知識，并且會初步應(yīng)用。這個是課標里邊對矩陣與變換重點內(nèi)容要求。下面請?zhí)?/p>

43、老師談一下它的相關(guān)一些難點如何來進行突破。檀：矩陣這個內(nèi)容對中學生而言，首先它作為一種新的運算對象，從它的對象的表示形式以及運算的定義上來說，對學生都是非常新穎的，從運算的規(guī)律性看，學生也是首次遇到在乘法運算中不符合交換率的這樣的一種運算。因此這個在學生第一次接觸到之后，會感到一些陌生，會感到一些不適應(yīng)。那么這個就需要學生有一個慢慢的熟悉過程。另外在矩陣與變換這個專題內(nèi)容中，有一個非常大的難點，就是特征向量和特征值。這個內(nèi)容中有兩個難點，第一首先是學生對于特征向量和特征值本質(zhì)的理解，這是一個非常大的難點；那么另外一個特征向量和特征值運算求解的過程也是非常復雜的。因此在解決這兩個難點上，我個人理

44、解首先可以采取一種分散難點的辦法來處理這個專題。比方說在前面介紹一些具體的矩陣變換過程，比方對陣變換伸壓變換等等。一些個具體的矩陣過程中，可以讓學生初步通過具體的矩陣和具體的點，具體的向量來初步體會，它在運算過程中這種不變的性質(zhì)。在講到矩陣的特征值和特征向量的過程中，也可以先以矩陣特征值，特征向量的作用，用具體的向量和具體的矩陣先讓學生初步了解它的基本功能和作用，然后再涉及到如何來求特征值和特征向量?？赡苓@樣安排之后，學生會慢慢適應(yīng)到這個過程中來。這里我再補充一點，如果說老師想在教授過程中克服這些難點的話，還可以再從另外角度去看，就是現(xiàn)在社會上有幾種版本的不同教材，最好能把幾種版本的書籍放在一

45、起進行對比，看一看他寫的相對比較好的地方，這樣集中處理可能效果會更好一點。主持人：通過兩位老師的分析，我們看到了他們對矩陣和變換的重點和難點的思考，我想請兩位老師來分析或者點評一下，他們的思考是怎么得到的，應(yīng)該怎么去抓住它的重點和難點？王尚志：我想我們在做中學課程的教學設(shè)計的時候，是不是應(yīng)該注意這么幾個維度。首先老師應(yīng)該站在數(shù)學的立場上，了解一下我們數(shù)學關(guān)于矩陣與變換的一個本質(zhì)是什么？它在整個數(shù)學中的一個作用是什么？在一定層面上要對我們學過的線性代數(shù)有一個復習，有一個了解。反映在上一節(jié)課我們講到的行列式、矩陣、向量空間，包括線性空間、線性變換、線性方程組，他們之間有些什么內(nèi)在的聯(lián)系，這樣的一個

46、思考，對于我們數(shù)學從數(shù)學上抓住本質(zhì)，也就是說為我們做重難點分析，奠定了一個好的基礎(chǔ)。我想在這個基礎(chǔ)上，我們應(yīng)該對于我們中學所開設(shè)的矩陣與變換的定位做一個思考，不是說數(shù)學上的東西都要在高中階段去講，而是我們要清楚這些重要的數(shù)學東西，在高中階段我們應(yīng)該怎么樣去理解它的一個定位，怎么樣處理這件事情，它要求的是什么？重點是什么？難點是什么？再做進一步的思考，我想這是第二個維度；第三個我想在這兩個維度都有一定思考的基礎(chǔ)上，再去分析教材，因為我們知道教材是教材的編寫者對于數(shù)學理解和標準認識的一種呈現(xiàn)方式，完全可能還有其他的呈現(xiàn)方式，所以如果你有了對數(shù)學的思考，對標準的理解，你再去認識教材的呈現(xiàn)方式，才能夠

47、更好的理解教材編寫者的意圖；第四個維度，要對你的學生做一個分析，比如說矩陣與變換，我們是不是要問你的學生是高一的學生，是高二的學生，他們學過二維向量還是沒有學過二維向量？學過三維向量還是沒有學過三維向量？他們對于向量的理解到一個什么樣的程度？所有這些都是你去分析重難點的基礎(chǔ)。那么我想在這個基礎(chǔ)上，才能形成我們對于重難點的分析，才能體現(xiàn)出我們這一個單元，哪些地方是重要的，哪些地方是對于學生來說學習上是有一定困難的？我們將用什么樣的辦法去克服這些重點，去把這些困難的地方變得容易了，讓學生比較自然的順暢的去理解這些東西。我想一個單元設(shè)計要做這樣分析。在這個基礎(chǔ)上去分析它的重、難點，對于一節(jié)課來說，也

48、應(yīng)該做這樣的分析，我想具體的張老師再談一談對他的一些看法。張怡慈：我想呢關(guān)于重點和難點，他們談的都還是比較到位的。就是說，我們這個重難點一定是在結(jié)合我們這個標準來談這個問題，而不是泛泛的。比如說求一個矩陣的逆矩陣，這個問題在線性代數(shù)里是一個重要的問題，但是在我們這里，我們沒有把求一個矩陣逆矩陣，作為我們的重點來處理。我們只是要知道這個逆矩陣表示的是一個逆矩陣，特別是在寫方程組時，對一個二階的來說，它也并不是一個很簡單的一個方法，但是它的思想非常非常重要。但是求逆矩陣這種方法，在真正到了大學線性代數(shù)的時候，它又是一個很重要的一個問題。就象剛才王老師講的，數(shù)學上的重點和難點，跟我們標準里邊重點和難

49、點，這是一不太一樣的問題。對這里頭的重點的，我想就是我們前頭剛才講的六點都很清楚。王尚志：但是逆矩陣是個難點，對于我們這個中學生，就觀念上的理解是個難點，就是一一對應(yīng)，不是說知道定義就能理解，需要通過大量的實例不斷的加深對一一對應(yīng)的理解。張怡慈：所以在中學里頭，我想比如說，開始我們講矩陣是一個變換這是我們的重點，幾個常見的幾何變換，這是我們的重點，矩陣的乘法、逆矩陣，剛才說的是非常重要的難點。但是我們在這里，通過壓縮變換的逆矩陣是什么？逆時針旋轉(zhuǎn)的這個逆矩陣是什么？反射的這個逆矩陣身什么？通過具體的這些東西來理解。我們不寫一個抽象的 這樣一個矩陣來講逆矩陣，它本身的這個幾何意義已經(jīng)是很多次復合

50、，這些東西就不可能在這里作為一個重點。雖然我們講了這樣一般的矩陣的逆矩陣求法，或者就要求會求逆矩陣，但是我們沒有把這個東西作為理解起來的難點。同樣象特征根、特征向量，既是重點又是難點。這是一個不太好理解的概念。特別是對求來說，所以我們想在這里頭想如何處理，比如怎么分散難點，怎么先講它的背景它的意義，講它的應(yīng)用，而把這個求作為一個對于不同的學生可以有不同的要求等等，來處理這樣一個問題。所以象這樣的問題，我想就是說還是要一點一點的來理解，就是根據(jù)學生的程度，因為矩陣變換前邊部分有很多學生覺得很容易，嘩嘩就過去了，操作起來很容易，但是它思想上很深刻。所以還要把它的思想上理解清楚。王尚志：就是關(guān)于數(shù)學

51、上的把握呢，張老師做了一個報告，我們把它放在后面，有興趣的老師呢，可以聽一聽這個報告。主持人：我想兩位老師呢對于這個矩陣的重點和難點，做了進一步的分析和點評，特別是王老師從教學設(shè)計本身的這個過程，把這個過程的宏程序，給大家做了一個介紹。張老師呢，對這個矩陣的這個重點和難點的這個思考的角度，也做了進一步的分析。對這些重點和難點我們怎么去解決它呢，下面我們就想請兩位老師來做這一個示范。我們特別有幸的請到了我們這個第一輪教改實驗區(qū)江蘇省的一些老師來參與這個工作，我們請他們中間的一個優(yōu)秀的代表何志奇老師給我們來做這個矩陣里面的重點、難點上突破的一些思考，和他的一些教學設(shè)計。何志奇：關(guān)于變換的復合與矩陣

52、的乘法這一個專題。我想我們主要是要弄清楚兩個內(nèi)容。第一個內(nèi)容就是這一個內(nèi)容的教學目標怎么來定位；第二個，編者的編寫意圖，我們應(yīng)該來怎樣理解，他的教學建議應(yīng)該怎樣來實施。我們先看第一個，教育目標：我認為可以從五個角度來理解。1 熟練掌握二階矩陣與二階矩陣的乘法；2 理解二個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個二階矩陣，從幾何變換的角度來看，它表示的是原來兩個矩陣對應(yīng)的連續(xù)二次變換；3 通過幾何變換使學生理解一般情況下矩陣乘法不滿足交換律；4 會驗證矩陣的乘法滿足結(jié)合律；5 從幾何變換的角度了解矩陣乘法不滿足消去律。關(guān)于編寫意圖與教學建議，我認為可以從這樣幾點來理解。1 要使學生理解矩陣乘法的代數(shù)運算規(guī)則

53、和幾何意義，使學生熟練掌握二階矩陣乘法運算的規(guī)則，對學有余力的同學，當然也可以指導他們閱讀高階矩陣的乘法。這部分內(nèi)容涉及運算可能顯得比較枯燥的，因此我們可以結(jié)合EXCEL中的矩陣運算功能來開展教學，以提高學生的興趣；2 矩陣乘法不滿足交換律，這可能是學生第一次遇到乘法不滿足交換律的情況，因此，教師應(yīng)該抓住這個認知沖突，積極引導學生開展自主探究活動，先不要急著讓他來知道這個結(jié)果，先讓學生來看一看，乘一乘，看看是不是滿足，這樣處理比較好一點。在適當?shù)臅r候應(yīng)該讓學生知道有些特殊的幾何變換是滿足交換律的。比如連續(xù)的兩次旋轉(zhuǎn)變換它完全可以變換程序的；3 對于矩陣乘法滿足結(jié)合律，學生完全可以自己證明，我們

54、教師不必要包辦代替；4 在本節(jié)中只需要學生從幾何的角度了解到矩陣乘法不滿足消去律就可以了；5 轉(zhuǎn)移矩陣每列的元素的和應(yīng)該是1，否則做乘法時容易出問題；6 在高等代數(shù)當中，矩陣的初等變換它是有三種：一行（或列）乘以k（kR）倍；兩行（或列）互換；一行（或列）乘以k倍以后加到另一行（或列）。但是對二階矩陣來說，上述初等變換它分別對應(yīng)著一些特殊的以行變換為例的一些特殊的矩陣。分別對應(yīng)著伸壓變換、反射變換、切變變換。又因為n階矩陣可逆的充分必要條件使它能充分表示成一些初等矩陣的乘積。所以一一對應(yīng)的平面幾何變換都可以看做是伸壓、反射、切變變換等等的一次或多次復合的變換。我們從這樣幾個角度來理解這個內(nèi)容就

55、可以了。主持人：何老師為我們做了精采的教學設(shè)計的片斷。在北京我們有很多學校都提前開設(shè)了矩陣和變換這樣的課程，對這些課程他們也有自己的思考。我們來看看北京的幾位老師對于他們這個矩陣中的重點和難點內(nèi)容所做的教學設(shè)計。劉雪蓮的說課見附件：42變換的合成與矩陣乘法劉雪蓮.ppt郗玲玲的說課見附件：42 逆變換與逆矩陣郗玲玲.ppt何志奇：關(guān)于特征值與特征向量，這一節(jié)內(nèi)容的教育目標和它們的教學建議，我想作這樣幾點說明。教學目標：1 掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義；2 會求二階矩陣的特征值與特征向量；3 利用矩陣A的特征值，特征向量給出 的簡單表示。教學建議：我認為可

56、以從三點來考慮。1 從幾何變換的角度討論矩陣的特征向量定義以及特征向量作為不變量的意義，不應(yīng)只從形式上來理解。這里教材引入了特征多項式的概念，只是作為求解特征值的一個工具使用。我們還是強調(diào)不需要展開討論對于一些基本的線性變換比如反射、伸壓、切變等變換，要能從直觀上說出其特征向量，可將直觀觀察特征值與特征向量和利用特征多項式求解特征值與特征向量，結(jié)合起來考慮，互相印證。這其實也是教學研究的一種常用思路和方法。那就是用形的直觀探索解題的道路，而用數(shù)的嚴謹求解問題的解決；2 利用矩陣A的特征值、特征向量給出 簡單那的表示，了解它的幾何意義，并知道它的簡單應(yīng)用。比如在它的應(yīng)用當中，一些有關(guān)種群問題的研

57、究，就會很好的體現(xiàn)和利用這個工具；3 特征值和特征向量的概念，對于學生來說比較難理解。我們教師教學的時候一定要結(jié)合具體再具體的幾何變換來進行處理，否則的話，它的難點比較難攻克。    劉雪蓮的可逆矩陣與線性方程組說課見附件：42可逆矩陣與線性方程組劉雪蓮.ppt主持人：這些設(shè)計里頭，我們已經(jīng)把特征值特、征向量、矩陣的復合逆矩陣、矩陣和方程組的關(guān)系，這幾個前面分析到的重點難點都做了一個說明，我想我們在座的老師也可以有自己的理解，也可以有自己的設(shè)計。我們給大家的不一定是最好的，或者是最成熟最成功的。但是我們希望通過這些案例，引起大家進一步的思考，用什么樣的方式把我們矩

58、陣和變換的內(nèi)容更好的展現(xiàn)給我們的學生。您看呢？我覺得這幾個課講的都是不錯的，但是我想如何突出重點，如何把難點加以分散，這的確是我們需要思考的一個問題。比如說何老師上的特征值、特征向量，我覺得何老師呢有這樣一個思考，先從具體的地方出發(fā)，我想還可以把這個地方再加強一點，比如說我們要壓縮矩陣，那么我們給學生展示一下，然后我們問這樣的問題，在這個矩陣變換下，哪一些向量變了？哪一些向量沒變？它們的變化有什么特點？那么我想學生會比較容易的發(fā)現(xiàn)，就是以原點為起點，以（0，1），（1，0）為終點的這個X軸上的這個單位向量，它在這個向X軸壓縮的這個矩陣變換下沒有變，原來是多少、原來是什么樣子，現(xiàn)在還是什么樣子。

59、而對角線這個問題，就發(fā)生了變化，長度也變了，角度也變了。但是這個Y軸上的這個單位向量發(fā)生了壓縮這么一個特殊的變化，那么在這個基礎(chǔ)上，我們就可以用一般的形式，把這樣的一些所謂特殊的向量給予特殊的描述，比如說不變的向量，就是矩陣A作用在 上還是 ，那么它就是不變的向量。壓縮的向量，就是A作用在 上面，得到了一個和 共線的向量，如果我們用這樣一個具體的矩陣，多花一點時間把它分析清楚，就會給學生一個直觀的感覺。我們在這個基礎(chǔ)上就可以更好的處理我們第二階段的任務(wù)，就是如何來求特征根、特征向量。我想怎么分散難點，特別是在我們這個選課中，是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。希望我們的老師呢能夠認真的思考。張怡慈：另外，比方象特征根、特征向量這個問題雖然我們把這個概念讓他知道了，但是他很難體會到它有什么用處，有什么好處。也可以有一種處理，給了特征我先來講它有什么好處，我甚至可以講一些應(yīng)用