小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法（課堂PPT）

1、1 小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法 人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室王永春2對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）總體目標(biāo)通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能： 獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。基本思想作為第三基，不再是附屬品，而是實(shí)實(shí)在在的教學(xué)目標(biāo)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分，需要在課堂教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的年齡特征和思想方法的難易程度進(jìn)行不同程度的體現(xiàn)。3數(shù)學(xué)思想方法對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義數(shù)學(xué)思想方法對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義（一）有利于建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀、落實(shí)新課程理念 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)的價值要更新（二）有利于提高教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)水平 學(xué)本

2、課堂，教師要提高專業(yè)素養(yǎng)，否則無法授人以漁（三）有利于提高學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)“四能” 不能讓學(xué)生單純地認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是考試拿分的工具4學(xué)（生）本課堂的重要體現(xiàn)是培養(yǎng)獨(dú)立思考能力、自學(xué)能力、問題解決能力、創(chuàng)造性： 是什么？ 為什么？ 如何運(yùn)用、應(yīng)用？ 概念等 判斷推理等 運(yùn)算、問題解決中國數(shù)學(xué)教育的一些優(yōu)勢是明顯的，上海參加PISA測試名列前茅。2014年5月召開的首屆華人數(shù)學(xué)教育會議，評價認(rèn)為我國數(shù)學(xué)教育主要有三個弱項： 獨(dú)立思考、問題解決、創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法5標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)（2011）在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生感悟數(shù)）在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想。教科書中的很多內(nèi)容都滲透了各種數(shù)學(xué)

3、思想，學(xué)思想。教科書中的很多內(nèi)容都滲透了各種數(shù)學(xué)思想，有些是明顯的，有些是隱藏的。如二上第一單元長度單有些是明顯的，有些是隱藏的。如二上第一單元長度單位體現(xiàn)了符號思想，用字母符號位體現(xiàn)了符號思想，用字母符號“cm”“”“m”來表示來表示長度單位厘米和米，是非常明顯的；而在第長度單位厘米和米，是非常明顯的；而在第4和和6單元單元表內(nèi)乘法中體現(xiàn)了函數(shù)思想，就是隱藏的。表內(nèi)乘法中體現(xiàn)了函數(shù)思想，就是隱藏的。把教材中哪些內(nèi)容體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行具體描述，把教材中哪些內(nèi)容體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行具體描述，便于老師們把握。為了讓廣大教師更好地理解有關(guān)數(shù)學(xué)便于老師們把握。為了讓廣大教師更好地理解有關(guān)數(shù)學(xué)思想

4、的理念、落實(shí)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)，思想的理念、落實(shí)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)，建議建議采用標(biāo)采用標(biāo)準(zhǔn)（準(zhǔn)（2011）中的行為動詞來描述數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目）中的行為動詞來描述數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)。標(biāo)。6 教學(xué)目標(biāo)要具體、全面、用詞準(zhǔn)確、便于落實(shí)和檢測。 了解：從具體實(shí)例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象。 理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。 掌握：在理解的基礎(chǔ)上，把對象用于新的情境。 運(yùn)用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。 經(jīng)歷：在特定的數(shù)學(xué)活動中，獲得一些感性認(rèn)識。 體驗：參與特定的數(shù)學(xué)活動，主動認(rèn)識或驗證對象

5、的特征，獲得一些經(jīng)驗。 探索：獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識。 7一、抽象的思想1. 對抽象思想的認(rèn)識。對抽象思想的認(rèn)識。 數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用的真實(shí)材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程。數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)語言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程。數(shù)學(xué)抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。8 (1) 數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)的過

6、程中無處不在。數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中無處不在。 任何一個數(shù)學(xué)概念、法則、公式、規(guī)律等的學(xué)習(xí)，任何一個數(shù)學(xué)概念、法則、公式、規(guī)律等的學(xué)習(xí)，都要用到抽象概括。都要用到抽象概括。 (2) 數(shù)學(xué)抽象是有層次的。數(shù)學(xué)抽象是有層次的。 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出了逐步抽象的過程。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出了逐步抽象的過程。 例如，數(shù)的發(fā)展，從結(jié)繩記數(shù)得到例如，數(shù)的發(fā)展，從結(jié)繩記數(shù)得到1，2，3，等有等有限的自然數(shù)，再通過加法的運(yùn)算，得到后繼數(shù)，形成限的自然數(shù)，再通過加法的運(yùn)算，得到后繼數(shù)，形成了無限的正整數(shù)序列：了無限的正整數(shù)序列： 1，2，3，n, n, 在此基在此基礎(chǔ)上形成了正整數(shù)集合礎(chǔ)上形成了正整數(shù)集合N

7、N。 再如，整數(shù)再如，整數(shù) 小數(shù)小數(shù) 分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù) 有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 算術(shù)中的數(shù)（算術(shù)中的數(shù)（1等）等）代數(shù)中的常量（代數(shù)中的常量（a）變量變量()92. 抽象思想的應(yīng)用。抽象思想的應(yīng)用。抽象思想在數(shù)學(xué)中無處不在。一年級上冊，10的認(rèn)識，11-20的認(rèn)識。10 在教學(xué)10的認(rèn)識時，多數(shù)教師會結(jié)合計數(shù)器、點(diǎn)子圖、小棒等直觀教具認(rèn)識到9添上1是10，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)10的組成及加減法；沒有引導(dǎo)學(xué)生思考：10與前面學(xué)習(xí)的09這些數(shù)有什么不同？這里實(shí)際上隱含一個非常重要的思想方法數(shù)學(xué)抽象，它比8和9的抽象水平更高，因為10不僅是對任何數(shù)量是10的物體的抽象，進(jìn)一步地它已經(jīng)不再用新的數(shù)字計數(shù)了而是采用了

8、偉大的十進(jìn)位值制計數(shù)原理。 在11-20的認(rèn)識時，就要引導(dǎo)學(xué)生思考：10與9的不同？11中的兩個1有什么不同？113. 數(shù)學(xué)抽象思想的教學(xué)。數(shù)學(xué)抽象思想的教學(xué)。 具體具體 抽象抽象 具體具體 情境情境 模型模型 應(yīng)用應(yīng)用 注：這里的模型是廣義的，數(shù)學(xué)概念、法則、公式、注：這里的模型是廣義的，數(shù)學(xué)概念、法則、公式、數(shù)量關(guān)系、規(guī)律等都可以理解為模型。數(shù)量關(guān)系、規(guī)律等都可以理解為模型。 在到處是情境的數(shù)學(xué)教育時代，往往容易忽略抽象。在到處是情境的數(shù)學(xué)教育時代，往往容易忽略抽象。12二、模型思想 1. 對模型思想的認(rèn)識。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種

9、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。 13如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么

10、模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。2011版課程標(biāo)準(zhǔn)與原課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”。 142. 模型思想的應(yīng)用。數(shù)的表示，自然數(shù)列：0,1,2,用

11、數(shù)軸表示數(shù)用數(shù)字和圖形表示排列規(guī)律數(shù)的運(yùn)算a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)，ca=b, cba用字母表示運(yùn)算定律，方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系：時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系用字母表示周長、面積和體積公式用圖表示空間和平面結(jié)構(gòu)用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小。 15一下，找規(guī)律16六下，找規(guī)律， 建模17 下面討論以數(shù)學(xué)模型為核心的問題解決的教學(xué)。下面討論以數(shù)學(xué)模型為核心的問題解決的教學(xué)。傳統(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)是與四則運(yùn)算、混合運(yùn)算相匹傳統(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)是

12、與四則運(yùn)算、混合運(yùn)算相匹配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是知識現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這種結(jié)構(gòu)是線性的。以基本模型和問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這種結(jié)構(gòu)是線性的。以基本模型和問題為核心，構(gòu)建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限為核心，構(gòu)建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。度地整合豐富多彩的問題。18以以svt為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，a是常數(shù)。請老師是常數(shù)。請老師自己編題。自己編題。19案例案例1：甲地到乙地原來運(yùn)行的是動車，上午：甲

13、地到乙地原來運(yùn)行的是動車，上午8時出發(fā)時出發(fā)中午中午12時到達(dá)，運(yùn)行路程是時到達(dá)，運(yùn)行路程是700千米?，F(xiàn)在運(yùn)行的是千米。現(xiàn)在運(yùn)行的是高鐵，每小時比動車快高鐵，每小時比動車快105千米，上午千米，上午8時出發(fā)，幾時時出發(fā)，幾時到達(dá)？到達(dá)？分析：分析：(1)此題是生活中的實(shí)際問題，屬于時間、速度、路程此題是生活中的實(shí)際問題，屬于時間、速度、路程的問題，要解決的問題是求高鐵的運(yùn)行時間的問題，要解決的問題是求高鐵的運(yùn)行時間, t=sv。(2)S不變，不變，v比原來大，可用比原來大，可用t1=s(v+a)的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。(3)根據(jù)題中的信息根據(jù)題中的信息, v=700 4=175，a=105。

14、 所以所以v+a=175+105=280。則。則t1=7002802.5。(4)高鐵高鐵8時出發(fā)，時出發(fā)，10:30 到達(dá)。到達(dá)。20三、化歸思想1. 對化歸思想的認(rèn)識。人們在面對數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過程中，卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識，從而逐步學(xué)會解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)

15、思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。212解決問題中的化歸策略。（1）化抽象問題為直觀問題。從數(shù)的認(rèn)識到計算，直觀操作幫助理解算理算法；解決問題中畫線段圖表等幫助理解數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行推理；用圖表進(jìn)行推理；函數(shù)圖像直觀地表示變量間的關(guān)系；統(tǒng)計圖表直觀地表示數(shù)據(jù)。22（2）化繁為簡的策略。 有些數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。 案例：快速口算8585，9595，105

16、105 分析：仔細(xì)觀察可以看出，此類題有些特點(diǎn)，每個算式中的兩個因數(shù)相等，并且個位數(shù)都是5。不妨從簡單的數(shù)開始探索，如1515225, 2525625, 35351225。通過這幾個算式的因數(shù)與相應(yīng)的積的特點(diǎn)，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個位數(shù)是5的相等的兩個數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85857225，95959025，10510511025，實(shí)際驗證也是如此。232425（3）化未知問題為已知問題。對于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)的過程是一個不斷面對新知識的過程，有些新知識通過某些載體直接呈現(xiàn)，如面積和面積單位，通過一些物體或圖形直接引入概念；而

17、有些新知識可以利用已有知識通過探索，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識進(jìn)行學(xué)習(xí)。如平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)，通過割補(bǔ)平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見。 百分?jǐn)?shù)問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題舉例。26案例3:2006年廣州市中考題。 目前廣州市小學(xué)和初中在校生共有約萬人，其中小學(xué)生在校人數(shù)比初中生在校人數(shù)的倍多萬人。（）求目前廣州市在校小學(xué)生人數(shù)和初中生人數(shù)。（）假設(shè)今年小學(xué)生每人需交雜費(fèi)元，初中生每人需交雜費(fèi)元，而這些費(fèi)用全部由廣州市政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少？27分析：上題與人教版分析：上題與人教版小學(xué)五上小學(xué)五上8例例4相相比，稍復(fù)雜。比，稍復(fù)雜。28四、

18、推理思想 1. 對推理思想的認(rèn)識。推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。29(1) 演繹推理。三段論，有兩個前提和一個結(jié)論的演繹推理，叫做三段論。三段論

19、是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：一切奇數(shù)都不能被整除，()是奇數(shù)，所以()不能被整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結(jié)論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支，結(jié)論則肯定剩下的那個選言支。例如：一個三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要么是鈍角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個鈍角三角形。30假言推理， 假言推理的分類較為復(fù)雜，這里簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有一

20、個充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個數(shù)的末位是，那么這個數(shù)能被整除；這個數(shù)的末位是，所以這個數(shù)能被整除。這里的大前提是一個假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關(guān)系推理，是前提中至少有一個是關(guān)系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關(guān)系推理：(1)對稱性關(guān)系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反對稱性關(guān)系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)傳遞性關(guān)系推理，ab，bc，所以ac。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，如在一年級學(xué)習(xí)數(shù)的大小比較時，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實(shí)際上都用到了關(guān)系推理。31 (2) 合情推理

21、。歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質(zhì)，而推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)

22、的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。32傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)大綱比較強(qiáng)調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)又矯枉過正，過于強(qiáng)調(diào)合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。就學(xué)好數(shù)學(xué)或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據(jù)了解，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性”。人們在利用數(shù)學(xué)解決

23、各種實(shí)際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機(jī)來完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。332推理思想的教學(xué)。 就演繹推理和合情推理的關(guān)系及教學(xué)建議，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進(jìn)的過程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過分強(qiáng)調(diào)推理的形式。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)

24、生的年齡特征提出不同程度的要求”。 根據(jù)以上課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于推理思想的理念和要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意把握以下幾點(diǎn)。34第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，除了運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本方法外，推理也是常用的數(shù)學(xué)方法。無論是低年級的找規(guī)律、總結(jié)計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導(dǎo)，無不用到推理的思想方法。因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應(yīng)用，是一個長期的培養(yǎng)過程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實(shí)去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。二者在數(shù)學(xué)中的

25、作用都是很重要的。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機(jī)地結(jié)合。推理能力的發(fā)展與各領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)是一個有機(jī)的結(jié)合過程，因而在教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗、猜想、驗證等活動，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識的學(xué)習(xí)，同時要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。 35棋子個數(shù)1 1 102 2 11 203 3 12 21 304 4 13 22 31 405 5 14 23 32 41 506 6 15 24 33 42 51 607 7 16 25 34 43 52 61 708 8 17 26 35

26、 44 55 62 71 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 901010顆棋子可以擺出多少個數(shù)？案例1：36棋子個數(shù)1 1 102 2 11 203 3 12 21 304 4 13 22 31 405 5 14 23 32 41 506 6 15 24 33 42 51 607 7 16 25 34 43 52 61 708 8 17 26 35 44 55 62 71 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9010 19 28 37 46 55 64 73 82 9111、1219顆棋子可以擺出多少個數(shù)？20顆呢？合情推理的或然性37整數(shù)乘法

27、運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)思想方法：思想方法：類比類比可不必再探究，直可不必再探究，直接引導(dǎo)學(xué)生類比，接引導(dǎo)學(xué)生類比，下面的題目可作為下面的題目可作為驗證。驗證。知識基礎(chǔ)：分?jǐn)?shù)知識基礎(chǔ)：分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序、整的運(yùn)算順序、整小數(shù)運(yùn)算律小數(shù)運(yùn)算律小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)長期重視歸納法，現(xiàn)在應(yīng)加強(qiáng)類比法、演繹推理38計算中的推理在加強(qiáng)。案例2：如下圖，已知圓的面積為5 cm，求正方形的面積。設(shè)圓的半徑為r，則有5 = r，所以r=5。正方形的邊長等于圓的直徑，所以正方形的面積=（2r）=4r=45=20（cm） 39（2013北京）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)若A

28、B=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為（）。40案例3：如下左圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明2=4嗎？分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”來證明對頂角相等。那么，在小學(xué)階段，如何根據(jù)已有知識進(jìn)行簡單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：因為1和2、1和4分別組成平角，所以1+2=180、1+4=180，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得 2=180-1、4=180-1，根據(jù)等量代換，可得2=4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，在小學(xué)階段同樣可以類似地得到證明。41人教版新教材六下，加強(qiáng)代數(shù)

29、思維、歸納模型人教版新教材六下，加強(qiáng)代數(shù)思維、歸納模型Y=3+2(n-1)=2n+142（2012杭州）有一組互不全等的三角形，它們的邊長均為整數(shù)，每個三角形有兩條邊的長分別為5和7（1）請寫出其中一個三角形的第三邊的長；（2）設(shè)組中最多有n個三角形，求n的值；（3）當(dāng)這組三角形個數(shù)最多時，從中任取一個，求該三角形周長為偶數(shù)的概率分析：利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行關(guān)系推理?？闪信e出第三邊的長：11，10，9，8，7，6，5，4，3。 兩邊的和： 5+7=12， 第三邊為偶數(shù)：10，8，6，4. 概率為：4/9.43五、數(shù)形結(jié)合思想 1. 對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識。對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識。數(shù)

30、學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)和形是客觀事物不可分離的兩個數(shù)學(xué)表象，兩者既是對立的又是統(tǒng)一的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”數(shù)與形的對立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。尤其是直角坐標(biāo)系與幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)階段主要是利用各種直觀手段理解和掌握知識、解決問題。442. 2. 數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。（1 1）數(shù)的表示和運(yùn)算。）數(shù)的表示和運(yùn)算。 數(shù)和運(yùn)算的實(shí)物化、圖形化和操作化，便于人們直數(shù)和運(yùn)算的實(shí)物化、圖形化和操作化，便于人們直 觀理解數(shù)和計算。觀理解數(shù)和計算。 擺小棒、畫圖形等。擺小棒、畫圖形等。

31、45（）解決問題中的形。（）解決問題中的形。畫線段圖表示畫線段圖表示 數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系。46解決問題的直觀策略。解決問題的直觀策略。47(1)有有2件不同的上衣、件不同的上衣、3條不同的褲子，一共有多少條不同的褲子，一共有多少種穿法？種穿法？ (2)有有2件不同的上衣、件不同的上衣、3條不同的褲子、條不同的褲子、2雙不同的鞋，雙不同的鞋，一共有多少種穿法？一共有多少種穿法？482013年遼寧鞍山中考數(shù)學(xué)試題年遼寧鞍山中考數(shù)學(xué)試題19小明和小亮玩一種游戲：三張大小，質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一

32、張，計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)，則小明勝，若和為偶數(shù)則小亮勝（1）用列表或畫樹狀圖等方法，列出小明和小亮抽得的數(shù)字之和所有可能出現(xiàn)的情況（2）請判斷該游戲?qū)﹄p方是否公平？并說明理由奇數(shù)：4次偶數(shù)：5次492013年廣州中考數(shù)學(xué)試題年廣州中考數(shù)學(xué)試題21.（本小題滿分12分）在某項針對1835歲的青年人每天發(fā)微博數(shù)量的調(diào)查中，設(shè)一個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”為m，規(guī)定：當(dāng)m10時為A級，當(dāng)5m10時為B級，當(dāng)0m5時為C級.現(xiàn)隨機(jī)抽取30個符合年齡條件的青年人開展每人“日均發(fā)微博條數(shù)”的調(diào)查，所抽青年人的“日均發(fā)微博條數(shù)”的數(shù)據(jù)如下： 11 10 6 15 9 16 13 12

33、0 8 2 8 10 17 6 13 7 5 7 3 12 10 7 11 3 6 8 14 15 12 （1）求樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率；（2）試估計1000個1835歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)；（3）從樣本數(shù)據(jù)為C級的人中隨機(jī)抽取2人，用列舉法求抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率. 50C級的有：0，2，3，3四人，畫樹狀圖得：共有12種等可能的結(jié)果，抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的有2種情況。抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率為：2/12=1/6.51利用坐標(biāo)系中的圖像直觀理解正比例關(guān)系。52（3）統(tǒng)計中的圖形。）統(tǒng)計中的圖形。各種統(tǒng)計圖表。各種統(tǒng)計圖

34、表。53（4）空間與圖形中的數(shù)。）空間與圖形中的數(shù)。圖形的周長、面積圖形的周長、面積 和體積公式，用量和體積公式，用量 來刻畫圖形。來刻畫圖形。54下面是一個開放題。 案例：圖中每個小正方形方格的面積是1cm。以給定的這條線段為邊，你能分別畫出幾個符合下列要求的多邊形？面積是3cm的三角形，面積是6cm的平行四邊形，面積是7cm的梯形。請畫出來。55六、數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用56小數(shù)乘整數(shù)小數(shù)乘整數(shù)v 結(jié)合具體量計算結(jié)合具體量計算 溝通小數(shù)乘法與溝通小數(shù)乘法與 整數(shù)乘法的聯(lián)系整數(shù)乘法的聯(lián)系 理解算理提供理解算理提供 感性支撐感性支撐 思想方法：轉(zhuǎn)化思想方法：轉(zhuǎn)化 57v 基本算理和算法基本算理和算法 思想方法：思想方法：比較差異、轉(zhuǎn)化比較差異、轉(zhuǎn)化類比：整數(shù)乘法積的類比：整數(shù)乘法積的變化規(guī)律同樣適用變化規(guī)律同樣適用于小數(shù)于小數(shù)積的小數(shù)點(diǎn)處理依據(jù)積的小數(shù)點(diǎn)處理依據(jù)：小數(shù)積的變化規(guī)：小數(shù)積的變化規(guī)律律 積的小數(shù)末尾積的小數(shù)末尾 有有0 0可去掉可去掉小數(shù)乘整數(shù)小數(shù)乘整數(shù)知識基礎(chǔ)：整數(shù)乘法、整數(shù)乘法積的變化規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)知識基礎(chǔ)：整數(shù)乘法、整數(shù)乘法積的變化規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)58v 基本算理和算法基本算理和算法 思想方法：思想方法：轉(zhuǎn)化、類比、歸納轉(zhuǎn)化、類比、歸納 積的小數(shù)點(diǎn)積的小數(shù)點(diǎn) 不完全歸納不完全歸納小數(shù)