數(shù)學(xué)物理方程分離變量法 ppt課件

1、數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法第二章第二章 分離變量法分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法基本思想：基本思想：（1求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解; 特點：偏微分方程化為常微分方程特點：偏微分方程化為常微分方程（2由疊加原理作出這些解的線性組合；由疊加原理作出這些解的線性組合； 特點：疊加原理特點：疊

2、加原理（3由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法, 02qrprxrxreCeCy212121rr 實根實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步驟為：求方程的通解的步驟為： (1)

3、寫出微分方程的特征方程寫出微分方程的特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ， (3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。的通解。 0 qyypy21, rr二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,r 1212r xr xyC eC e 120,0rr 12()yCC x 12(cossin)yCxCx 特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步驟為：求方程的通解的步驟為： (1)寫出微分方程的特征方程寫出微分方程的特征方程 (2)求出特征根求出特征根

4、， (3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。的通解。 0yy 21, rr二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程120,rr 實實根根120,rri 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法解：步驟解：步驟1，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。 令令( , )( ) ( )u x tX x T t帶入方程：帶入方程：2( ) ( )( ) ( )X x Tta Xx T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 令令2( )( )0(

5、 )( )0XxX xTta T t帶入邊界條件帶入邊界條件(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律一一 有界弦的自由振動有界弦的自由振動數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l分情況討論：01）( )xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）( )

6、X xAxB00ABX( )cossinX xAxBx0sin0ABl03） 令 ， 為非零實數(shù) 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)( )sin(1,2,3,)nnnnnlnXxBxnl222nl特征值問題特征值與特征函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法2222 ( )( )0nna nTtT tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnn

7、u x tux tn an anCtDtxnlll2( )( )0( )( )0XxX xTta T t22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl步驟步驟2，疊加原理做出解的線性組合。，疊加原理做出解的線性組合。 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法01( , )( ,0)sin( )ntnnu x tu xCxxl10( , )sin( )nntu x tn anDxxtll

8、1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2步驟步驟3，其余的定解條件求出系數(shù)。，其余的定解條件求出系數(shù)。 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanC

9、Tnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法2 解的性質(zhì) x=x0時：( , )(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxll

10、l其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(, )sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin駐波法 2nlnlt=t0時：00( , )cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法駐波法： 研究的弦是有限長的，它有兩個端點，波就在兩個端點之間往復(fù)反射。駐波：兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形形成駐波。波腹：振幅最大的點; 節(jié)點：振幅最小的點( )( ):tT tXxXxX x 駐波沒有波形傳播現(xiàn)象，即各點振動周期并不依次滯后，它們按同一方式隨時間

11、 震動，可以統(tǒng)一表示為，但是各點的振幅 卻隨點 而異，即振幅是 的函數(shù)，這樣，駐波的一般表示式為( , )( ) ( )u x tX x T t 0,( / ),2( / ),., ( / ),/0, ,2 ,.,( )sin0/ ,2 /xl nl nn l nln x lnn xX xl nll n在即 這些點相應(yīng)的從而振幅，這些點正是節(jié)點。兩相鄰節(jié)點間隔應(yīng)為半個波長，由此可見駐波的波長。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 102/ 212 /1/ ,/ 2nxxllalnnnl nnnaln的駐波除兩端和外沒有其他節(jié)點，它的波長在所有本征振動中

12、是最長的；相應(yīng)地，它的頻率在所有本征振動中是最低的。這個駐波叫做基波。的各個駐波分別叫做 次諧波。次諧波的波長是基波的頻率則是基波的 倍。傅里葉級數(shù)法數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100, 0)0 ,(,10

13、00)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu解：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變

14、量法章分離變量法, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法

15、110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0 ,(1xxxnCxunn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn為奇數(shù)，為偶數(shù)，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離

16、變量法章分離變量法弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍(lán)色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解問題數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊

17、函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cos

18、sin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin

19、22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始條件數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnan

20、utxnll 若l=1,a=10時的震動。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法上述方程實際是個單簧管振動模型直徑均勻的細(xì)管，一端封閉，一端開放0202(0, )( ,2 )|0,|0, |0|0|0sin,2|0sin)|cos222(21)cossin22xxx lxlxxlxx lx lllluuuuun xnln xnnunllnkn xnl把函數(shù)從區(qū)間偶延拓到區(qū)間上。延拓后，條件是和決定了本征函數(shù)為：是整數(shù)限制了整數(shù) 只能是奇數(shù)，因為(若 是偶數(shù)，則并不等于零。所以本征函數(shù)為數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分

21、離變量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解問題解：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)

22、(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDt

23、nCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutuxtusincos數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxuttlututlx

24、xuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX令令帶入方程：帶入方程：令令例例4 求下列定解問題求下列定解問題解：解：二二 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X00 XBAxX0X 0202 XXxBxAXsincoslnnxl

25、nBXnnsin0)0(BAX0)( llBeAelX0 BA0)0( AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22202TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222222sina ntlnnnuC exlxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn1sin)()0 ,(nnx

26、lnCxxuxxlnxlClndsin)(20數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法三三 拉普拉斯方程的定解問拉普拉斯方程的定解問題題axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX1 1 直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題解：解：矩形區(qū)域數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分

27、離變量法章分離變量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAX0)( aaBeAeaX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanAXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0

28、, 02222xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0 ,(xaneDeCxbxunabnnabn

29、n1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022( )( ) sind1n baann banx exx xaaCe022( )( ) sind1n baann banx exx xaaDe數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法22222222220,( , )xyauuxyaxyuf x y222110,0,02( , )( )( , )( ,2 )(0, )uuau afuuu 有限值cossinxy解：令，解：令，2 2 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題圓域內(nèi)的拉普拉斯問題圓形區(qū)域數(shù)學(xué)物理

30、方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點約束條件的變量分離形式的解原點約束條件的變量分離形式的解(,)()( )uR 把上式代入微分方程可得：把上式代入微分方程可得：2110RRR 即即2RRR 從而，我們可得到常微分方程：從而，我們可得到常微分方程：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法0( )(2 ) 20(0)RRRR有限值 與：與：周期本征值問題周期本征值問題歐拉方程歐拉方程20RRR0 再利用定解條件可得：再利用定解條件可得：數(shù)學(xué)物理方

31、程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnnnanbnn20(0)RRRR有限值( ),0,1,2,nnnR rcn數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法第三步：利用疊加原理和邊界條件求得原定第三步：利用疊加原理和邊界條件求得原定解問題的解解問題的解01(,)cossinnnnnuaanbn 20020201( )21( )cos1( )sinnnnnafdafn dabfn da 再利用邊界條件，有再

32、利用邊界條件，有:數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,cos),(20 , 01100222uuu)2 ,()0 ,(uu),(u( , )( ) ( )u 0112 0112 21120 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例例5 求下列定解問題求下列定解問題解：解：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,cos),(20 , 01100222uuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAn

33、nnsincos02 歐拉方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,cos),(20 , 01100222uuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos000000lnCD tCD 0C02 nntntnnnnnnnC eD eCD nnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincoscos),(nnnnnFnEEu01

34、Ecos0u其它為零0 02 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyusincosuu22211uu附附錄錄：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法四四 非齊次方程的解法非齊次方程

35、的解法求下列定解問題求下列定解問題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt非齊次方程的求解思路非齊次方程的求解思路用分解原理得出對應(yīng)的齊次問題用分解原理得出對應(yīng)的齊次問題解出齊次問題解出齊次問題求出任意非齊次特解求出任意非齊次特解疊加成非齊次解疊加成非齊次解考慮考慮數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法2222222222( , ),0,0,(0, )( , )0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)( ,0)( ),( )( ,0)0,0,WWVVaaf x txl ttxtxWtW l tVtV l ttW xV xW xxxV xxltt22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt( , )( , )( , )u x tV x tW x t令：令：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法1( )sinnnnVv txl),(sin)(sin)