歷年上海高考試題圓錐曲線

1、歷年上海高考試題（圓錐曲線）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1.（01上海）若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,焦距為10,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為-xt21一m3al一口2. （02上海）曲線（t為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是y2t13. （02上海）拋物線（y-1）2=4（x+1）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是24. （03上海春）直線yx1被拋物線y4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是.5. （03上海理）在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（1,），點(diǎn)B在直線cossin0上運(yùn)動(dòng)，2當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是.6. （04上海春）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則以F為圓心、AB為直徑的圓方程是7. （04上海）設(shè)拋物線白頂點(diǎn)

2、坐標(biāo)為（2,0），準(zhǔn)線方程為x=1，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為8. （04上海理）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（4,鼻）到直線l:p（2cos0+sin掰g=4d=.229. （03上海）給出問題：Fi、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦1620點(diǎn)Fi的距離等于9,求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,由|PFi|PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi).10. （04上海）教材中坐標(biāo)平面上的直線”與圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是.11. （05上

3、海文）若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2,它的一個(gè)焦點(diǎn)是（215,0），則橢圓的標(biāo)22準(zhǔn)方程是匚1802012. （05上海理）若雙曲線的漸近線方程為y3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)是（而,0）,則雙曲2線的方程是x2匕1。913. （06上海文）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0），且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為5:4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.14. （06上海理）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2«3,0）,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.15. （06上海理）在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A（4,）,B（5,一旦），則4OAB36的面積是.16. （07上海春）在平面直角坐標(biāo)系xO

4、y中，若拋物線y24x上的點(diǎn)P到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為6,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x.2217. （07上海文）以雙曲線匕1的中心為頂點(diǎn)，且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的45拋物線方程是18. （06上海春）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（0,1）B.（1,0）C.（0,2）D.（2,0）219. （05上海）過拋物線y4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線（B）A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.有無窮多條D.不存在2.一.一x20.（01上海）設(shè)Fi、F2為橢圓一92丫一1的兩個(gè)焦點(diǎn),4P為橢圓上的一點(diǎn).已知P、Fi、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|

5、PF1|>|PF2|,求PFiPF2的值.22xy21. （02上海春）已知Fi、F2為雙曲線看1（a>0,b>0）的焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸ab的直線交雙曲線點(diǎn)P且/PFiF2=30°,求雙曲線的漸近線方向22. (02上海)已知點(diǎn)A(J3,0)和B(J3,0),動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2,點(diǎn)C的軌跡與直線yx2交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)。22xy23. (03上海春)設(shè)Fi,F2分別為橢圓C:221(ab0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).ab(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,3)到Fi,F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程；2(2)設(shè)K是(1)中所得橢圓上

6、的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為Kpm,Kpn時(shí)，那么KpmKpn是22與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線三多1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.ab24. (03上海文)如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.(1)若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？(2)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？(半個(gè)橢圓的面積公式為S-

7、lh,柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米)25.(04上海春)已知傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B,B在第一象限,AB=32.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(4分)2(2)若直線l與雙曲線C:xyy2=1(a>0)相交于E、F兩點(diǎn),且線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為a(4,(1) a的值;(6分)(3)對(duì)于平面上任一點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱PQ的最小值為P與線段AB的距離.已知點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，寫出點(diǎn)p(t,0)到線段ab的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(8分)26. (04上海文)如圖，直線y=lx與拋物線y=1x24交28于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y

8、=5交于Q點(diǎn).(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求AOPC®積的最大值.27. (05上海春)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(2,J2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；22(2)已知橢圓C的方程是41(ab0).設(shè)斜率為k的直線l,交橢圓C于abA、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M.證明：當(dāng)直線l平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上;(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的史心，簡(jiǎn)要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心證明(2)解(3)解(1)28. (05上海文)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線

9、上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線方程；(2)過M作MNXFA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo)；4(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M.當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，丫討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.22xV29. (05上海理)如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的3620右焦點(diǎn).點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸的上方,PA±PF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于MB，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.30. (06上海春)學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天

10、器變軌返回試驗(yàn)，設(shè)計(jì)方案如圖：航22天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為2=1,10025變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以V軸為對(duì)稱軸、M(0,64)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分降落點(diǎn)為D(8,0).觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)、B(6,0)同時(shí)跟蹤航天器.(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；(2)試問：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？31. (06上海文)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(J3,0)，右頂，,一,1點(diǎn)為D(2,0)，設(shè)點(diǎn)A1,1.2(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若

11、P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；(3)過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B,C,求ABC面積的最大值。(06上海理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn).(1)求證：如果直線l過點(diǎn)T(3,0),那么OAOB=3”是真命題；(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.2x32.(07上海春)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓C:a2。1(ab0)的左右b2兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2.過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線l圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為M22(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,b),直線y橢BF2交橢圓x于另一點(diǎn)N,

12、求F1BN的面積.2x33.(07上海又)我們把由半橢圓a2yb2(x>0)與半橢圓2yb22x2c(x<0)合成的曲線稱作果圓”，其中a2b2_2c,0,b如圖，設(shè)點(diǎn)F0,F1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A,軸的交點(diǎn)，M是線段A1A2的中點(diǎn).(1)若45052是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求該果圓”的方程;22(2)設(shè)P是果圓”的半橢圓斗、51bc(x<0)上任意一點(diǎn).求證：當(dāng)PM取得最小值時(shí),P在點(diǎn)B1,B2或A1處;(3)若P是果圓”上任意一點(diǎn)，求PM取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo).參考答案解(1)設(shè)F2(c,0)(c>0),P(c,y0),則在直角三角形PF2F1中，/PFiF

13、2=30解法一：1F1F2=61PF,"n-21二口二號(hào)h1嗎,將c2=a2+b2代入，解得b2=2a2.解法二：|PF=2P2F,由雙曲線定義可知IPF-PF=2a得1PF=2a.：口.置第1位職工的獎(jiǎng)金2尸*第2位職工的獎(jiǎng)金%=匕1-1地第3位職工的箕金(JinJn?ibk位職工的獎(jiǎng)金為二:-3卜%解設(shè)點(diǎn)C(x,y),則|CA|CB|2根據(jù)雙曲線的定義，可知點(diǎn)C的軌跡是雙曲線22L匕1a2b2由2a2,2c|AB|2m'3,得a21,b22即A(4,2),B(8,4),從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).由kAB=一,直線AB的垂直平分線方程y1=(x2).22令y=-5,得x

14、=5,.Q(5,5)(2)直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,1x2-4).8點(diǎn)P到直線OQ的距離d=x1x2488x32一_U1一.52OQ5<2,Saopq=OQd=x2168x32.'P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn)，且P不在直線OQ上,一4Wx<43-4或4"/3一4<x&8.函數(shù)y=x2+8x32在區(qū)間4,8上單調(diào)遞增當(dāng)x=8時(shí)，AOPQ勺面積取到最大值30.22解（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為今，1,ab0,ab22a2b24,即橢圓的方程為一彳1,b24b242點(diǎn)（2,m2）在橢圓上，萬一二1,b24b2.2.2解得b4或b2（舍），22由

15、此得a28,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二匕1.84（2）設(shè)直線l的方程為ykxm,與橢圓C的交點(diǎn)A（x1，必）、B（x2,丫2）,ykxm則有x2y2,r1ab222222222解得（bak）x2akmxamab0,0,m2b2a2k2,即b2a2k2,2m.b2.2ak2akm為x222,y1bakykxmkx2m2b2m22272'，bakAB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為a2km222,bak2一bm22-2bak11分線段AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線0上.13分(3)如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于AB、CD的中點(diǎn)M、N,連接直線MN;又作兩條平行直線(與色前兩條直線不平行)分別交橢圓于A1、B/口C1

16、、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點(diǎn)Mi、Ni,么直線MN和M1N1的交點(diǎn)O即為橢圓中A、B和C、D,并分別取”8連接直線MiNi,那心.18分解(1)由已知可得點(diǎn)A(-6,0),F(0,4)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則AP=x+6,y,FP=x4,y,由已知可得22x匕13620(x+6)(x4)+y2=093貝U2x2+9x18=0,x=或2x=-6.由于y>0,只能x=°，于25.3y=-2-.點(diǎn)p的坐標(biāo)是(3,5上3)22(2)直線AP的方程是x-<3y+6=0.m6設(shè)點(diǎn)M(m,0),則M到直線AP的距離是m6-=m6,又6wm<解得m=2.橢圓上的點(diǎn)(x,y)

17、到點(diǎn)M的距離d有d2=(x2)2+y2=x4x2+4+20x2=(x)2+15,992，一9一，由于-6Wm<6,，當(dāng)x=時(shí),d取得取小值052解(1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-R,于是4+=5,.p=2.22.拋物線方程為y2=4x.(2)二點(diǎn)A是坐標(biāo)是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2),又F(1,0),kFA=4;MN±FA,kMN=-3,34則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-°x,解方程組得x=,y=,3455N的坐標(biāo)(,).55(1)由題意得一圓M.的圓心是點(diǎn)(0,2),半徑為2,當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)，直

18、線AK與圓M相離.當(dāng)mM時(shí)，直線AK的方程為y=-(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,4m、2m8圓心M(0,2)到直線AK的距離d=，令d>2,解得m>1,16(m4)232. 當(dāng)m>1時(shí)，AK與圓M相離；當(dāng)m=1時(shí)，AK與圓M相切；當(dāng)m<1時(shí)，AK與圓M相交.解(1)設(shè)曲線方程為y=ax2+,由題意可知，0=a?64+學(xué)，'a=-；曲線方程為y=-1x2+64.77(2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x,y),根據(jù)題意可知10y=-1x2+6477(2)得4y2-7y-36=0,y=4或y=-2(不合題意，舍去)y=49分4得x=6或x=-6(不合題意，舍去).C

19、點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4),11分AC2<5,BC4,答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)彳導(dǎo)AC、BC距離分別為2J5、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指14分1)設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(xi,yi)、B(x2,y2).當(dāng)直線l的鐘率不存在時(shí)，直線l的方程為x=3,此日，直線l與拋物線相交于點(diǎn)A(3,而卜B(3,-V6).OAOB=3;當(dāng)直線l的鐘率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x3),其中k0,y22x由得ky22y6k0y1y26yk(x3)p1212又x11y1,x22y2,1 2OA-OBxX2丫也©42)丫區(qū)3,綜上所述，命題如果直線l過點(diǎn)T(3,0),那么OAOB=

20、3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn)，如果OAOB=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(；1),此時(shí)OA-OB=3,2直線AB的方程為：y2(x1),而T(3,0)不在直線AB上；3說明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)滿足OAOB=3,可得y1y2=6,或y1y2=2,如果y1y2=6,可證得直線AB過點(diǎn)(3,0);如果y1y2=2,可證11得直線b=1.y21AB過點(diǎn)(一1,0),而不過點(diǎn)(3,0).解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=v'3，則半短軸2x又橢圓的焦

21、點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一4(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為x=M(x,y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(xo,yo),Xo12x-1、y=1v。22一y0=12y一22由，點(diǎn)P在橢圓上，得(2x"4(2y2)21,.線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(X2)24(y4)21.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積Smbc=1.y212當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí)，說該直線方程為y=kx,代入上4解得B(2k則BC4k214k221),C(一74F2k.4k21)，4里工，又點(diǎn),14k2A到直線BC的距離d=.12k22k114k2._1.ABC的面積SaABC=-ABd224k24k14k2112m4k由4k21>i,得S"bcwJ2淇中，當(dāng)k=-1時(shí)，等號(hào)成立.2Saabc的最大值是J2.解法一lx軸，F(xiàn)2的坐標(biāo)為42,0.由題意可知2a2a1b2,得b22,a24,b22.22所求橢圓方程為工1.6分42解法二由橢圓定義可知MFi|MF2I2a.由題意|MF2|1,MFi2a