二次函數(shù)與一元二次方程

1、二次二次函數(shù)函數(shù)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸對(duì)稱軸開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a 0-4ac 0有一個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根數(shù)根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)沒有實(shí)數(shù)根根b b2 2-4ac 0-4ac 0該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)(2)解:拋物線與

2、x軸相交時(shí) x2-2x-8=0解方程得:x1=4, x2=-2AB=4-(-2)=6而P點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-9)SABC=27xyABP例例: :已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=xy=x2 2mxmx4 4設(shè)該函數(shù)的圖象與設(shè)該函數(shù)的圖象與x x軸軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x(x1 1，O)O)、(x(x2 2，O)O)，且，且, 求求m的值，并求出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)的值，并求出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)11121xx解解: :因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖像與因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖像與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x(x1 1，0)0)、 (x(x2 2，O)O)，所以，所以x x1 1、x x2 2是方

3、程是方程x x2 2mxmx4=04=0的的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x x1 1+x+x2 2=m=m，x x1 1x x2 2= =4 4所以二次函數(shù)的解析式為所以二次函數(shù)的解析式為y=xy=x2 24x4x4=(x4=(x2)2)2 28 8，因，因此坐標(biāo)頂點(diǎn)為此坐標(biāo)頂點(diǎn)為(2(2，8)8)二次函數(shù)與一元二次方程綜合題二次函數(shù)與一元二次方程綜合題已知已知y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)：的函數(shù)：y=(k-2)xy=(k-2)x2 2-2(k-1)x+k+1-2(k-1)x+k+1中滿足中滿足k3.k3.(1)(1)求證：此函數(shù)圖象與求證：此函數(shù)圖象與x x軸總有交點(diǎn)軸總有交點(diǎn). .（2

4、2）當(dāng)關(guān)于）當(dāng)關(guān)于z z的方程的方程 有增根時(shí)，有增根時(shí)，求上述函數(shù)圖象與求上述函數(shù)圖象與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo). .【解析【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)k=2k=2時(shí)，函數(shù)為時(shí)，函數(shù)為y=-2x+3y=-2x+3，圖象與，圖象與x x軸有軸有交點(diǎn)交點(diǎn). .當(dāng)當(dāng)k2k2時(shí)，時(shí)，=4(k-1)=4(k-1)2 2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,-4(k-2)(k+1)=-4k+12,當(dāng)當(dāng)k3k3時(shí)，時(shí)，00，此時(shí)拋物線與，此時(shí)拋物線與x x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn). .因此因此,k3,k3時(shí)，時(shí)，y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)的函數(shù)y=(k-2)xy=(k-2)x2 2-2(k-1)x+k+1-2

5、(k-1)x+k+1的圖象與的圖象與x x軸總有交點(diǎn)軸總有交點(diǎn). .(2)(2)關(guān)于關(guān)于z z的方程去分母得：的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.z-2=k+2z-6,k=4-z.由于原分式方程有增根，其增根必為由于原分式方程有增根，其增根必為z=3.z=3.這時(shí)這時(shí)k=1,k=1,這時(shí)函數(shù)這時(shí)函數(shù)y=-xy=-x2 2+2,+2,它與它與x x軸的交點(diǎn)是軸的交點(diǎn)是已知函數(shù)已知函數(shù)2157212xyx(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0 xy寫出函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以寫出函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖像與及圖像與y

6、軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然后畫出函數(shù)圖像的草圖；后畫出函數(shù)圖像的草圖；(2)自變量自變量x在什么范圍內(nèi)時(shí)，在什么范圍內(nèi)時(shí)， y隨著隨著x的增大而增的增大而增大？何時(shí)大？何時(shí)y隨著隨著x的增大而減少；并求出函數(shù)的最的增大而減少；并求出函數(shù)的最大值或最小值。大值或最小值。2、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：論：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A 1個(gè)個(gè) B 2個(gè)個(gè) C 3個(gè)個(gè) D 4個(gè)個(gè)Dx-110y1,已知拋物線已知拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

7、-2,2).(1)求這條拋物線的解析式求這條拋物線的解析式.(2)求出這個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值求出這個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值.(3)在此拋物線上有兩點(diǎn)在此拋物線上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且且x1x20,試比較試比較y1與與y2的大小的大小.2,若函數(shù)若函數(shù)y=4x2,的圖像與平行的圖像與平行x軸的直線軸的直線y=1.5交于兩點(diǎn)交于兩點(diǎn),求這兩點(diǎn)間的距離求這兩點(diǎn)間的距離.3,如圖直線如圖直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)和和B(0,4)兩點(diǎn)兩點(diǎn),它與二次它與二次函數(shù)函數(shù)y=ax2的圖像在第一的圖像在第一象限內(nèi)相交于象限內(nèi)相交于P點(diǎn)點(diǎn),若若AOP的面積為的面積為4.5,求求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式.ABPOxy4,將拋物線將拋物線y=x2向下平移后向下平移后,使使它的頂點(diǎn)它的頂點(diǎn)C與它在與它在x軸上的兩個(gè)軸上的兩個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn)A,B組成等邊三角形組成等邊三角形ABC,求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式.5,已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=2x2+8mx+2m+3,如果它的如果它的圖像的頂點(diǎn)在圖像的頂點(diǎn)在x軸上軸上,求求m的值和頂點(diǎn)坐標(biāo)的值和頂點(diǎn)坐標(biāo).6,已知拋物線已知拋物線y=0.25x2,把它的頂點(diǎn)移到把它的頂點(diǎn)移到x軸軸上的點(diǎn)上的點(diǎn)A,