截長補(bǔ)短專題

1、截長補(bǔ)短法圖1-1人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進(jìn)行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+BCD=180°.分析：因?yàn)槠浇堑扔?80°，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn).證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，作DFBC于點(diǎn)F，如圖1

2、-2圖1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE與RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.圖2-1又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如圖2-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖2-2分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,

3、2=1.又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.圖3-1證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，如圖3-21=2，且PDB

4、C，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°圖4-1例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補(bǔ)短法）圖4-2延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截長法）圖4-3在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述兩種方法在