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文檔簡介
1、截長補短法圖1-1人教八年級上冊課本中,在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質,這一性質在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法,在無法進行直接證明的情形下,利用此種方法??墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例1. 已知,如圖1-1,在四邊形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.求證:BAD+BCD=180°.分析:因為平角等于180°,因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉化成為平角,圖中缺少全等的三角形,因而解題的關鍵在于構造直角三角形,可通過“截長補短法”來實現.證明:過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DFBC于點F,如圖1
2、-2圖1-2BD平分ABC,DE=DF,在RtADE與RtCDF中,RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.圖2-1又BAD+DAE=180°,BAD+DCF=180°,即BAD+BCD=180°例2. 如圖2-1,ADBC,點E在線段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.求證:CD=AD+BC.圖2-2分析:結論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”,即在CD上截取CF=CB,只要再證DF=DA即可,這就轉化為證明兩線段相等的問題,從而達到簡化問題的目的.證明:在CD上截取CF=BC,如圖2-2在FCE與BCE中,FCEBCE(SAS),
3、2=1.又ADBC,ADC+BCD=180°,DCE+CDE=90°,2+3=90°,1+4=90°,3=4.在FDE與ADE中,FDEADE(ASA),DF=DA,CD=DF+CF,CD=AD+BC.例3. 已知,如圖3-1,1=2,P為BN上一點,且PDBC于點D,AB+BC=2BD.求證:BAP+BCP=180°.分析:與例1相類似,證兩個角的和是180°,可把它們移到一起,讓它們是鄰補角,即證明BCP=EAP,因而此題適用“補短”進行全等三角形的構造.圖3-1證明:過點P作PE垂直BA的延長線于點E,如圖3-21=2,且PDB
4、C,PE=PD,在RtBPE與RtBPD中,圖3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD,AB+BD+DC=BD+BE,AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°圖4-1例4. 已知:如圖4-1,在ABC中,C2B,12.求證:AB=AC+CD.分析:從結論分析,“截長”或“補短”都可實現問題的轉化,即延長AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.證明:方法一(補短法)圖4-2延長AC到E,使DC=CE,則CDECED,如圖4-2ACB2E,ACB2B,BE,在ABD與AED中,ABDAED(AAS),AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC.方法二(截長法)圖4-3在AB上截取AF=AC,如圖4-3在AFD與ACD中,AFDACD(SAS),DF=DC,AFDACD.又ACB2B,FDBB,FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD,AB=AC+CD. 上述兩種方法在
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