利用平面向量判斷三角形形狀練習習題專題

1、利用平面向量判斷三角形形狀1三角形中，分別為三角形的重心和外心，且，則三角形的形狀是（ ）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D上述均不是【答案】B【解析】【分析】取中點，利用代入計算，再利用向量的線性運算求解【詳解】如圖，取中點，連接，則在上，由余弦定理得，即為鈍角，三角形為鈍角三角形故選：B2若為所在平面內任一點，且滿足，則的形狀為（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法和減法的三角形法則以及向量數(shù)量積的性質即可進行判斷.【詳解】由，即，所以，即，故為直角三角形.故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量加法和減法的三角形法則以及向

2、量數(shù)量積的性質的簡單應用，屬于基礎題.3已知非零向量，滿足，且，則的形狀是A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰（非等邊）三角形D等邊三角形【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)，判斷出的角平分線與垂直，進而推斷三角形為等腰三角形進而根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得，判斷出三角形的形狀【詳解】解：，分別為單位向量，的角平分線與垂直，三角形為等邊三角形故選：D【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運算，三角形形狀的判斷考查了學生綜合分析能力，屬于中檔題4在中，若，且，則的形狀為（ ）A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形D以上都不對【答案】A【解析】【分析】由題中，結合三角形圖像找準向量夾角，得出基本關系式

3、，再根據(jù)幾何關系進行求解【詳解】如圖所示.，.，.作于，則，為的中點，.同理可證，為等邊三角形.答案選A【點睛】個別設及三角形形狀題型，可先進行預判，再想法設法去進行證明比如此題，可先預判為等邊三角形，再進行證明，對于復雜的幾何問題，需要借助圖形來輔助求解5若O為平面內任意一點，且，則ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形【答案】C【解析】由0得·0，220，即|，ABAC，即ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形選C.6設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知，則的形狀是（ ）A直角三角形B等腰三角形

4、C等腰直角三角形D等邊三角形【答案】B【解析】試題分析：，即|AB|=|AC|ABC的形狀是等腰三角形7ABC中，·<0，·<0，則該三角形為( )A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定【答案】C【解析】為銳角，為鈍角故選C8已知在中，向量與滿足 ，且，則為（ ）A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形【答案】D【解析】【分析】分別在上取點，使得，由條件可得在中有，可得，從而得到答案.【詳解】分別在上取點，使得 ，則.以為一組鄰邊作平行四邊形.如圖.則平行四邊形為菱形,即對角線為角的角平分線.由，即,也即所以,即角的角平分線滿足.

5、所以在中有.又，即，所以所以.所以 為等邊三角形，故選：D.9若為所在平面內一點,且滿足,則的形狀為( )A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】,點M在底邊BC的中垂線上，又,所以點M在底邊BC的中線上，因而底邊BC的中線與垂直平分線重合，所以ABC的形狀為等腰三角形.10點是所在平面上的兩點，滿足和，則的形狀是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等邊三角形【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法與減法運算，將表達式化簡.即可由向量數(shù)量積定義求得的關系，進而判斷的形狀.【詳解】點是所在平面上的兩點，滿足所以即因為所以即，所以又因為則所以即兩邊同時平方

6、并展開化簡可得即所以 綜上可知，的形狀是等腰直角三角形故選：A【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量數(shù)量積的運算律與定義，向量垂直與數(shù)量積關系，三角形形狀的判斷，屬于中檔題.11在中,則為( )A直角三角形B三邊均不相等的三角形C等邊三角形D等腰非等邊三角形【答案】C【解析】【分析】直接代入數(shù)量積的計算公式第一個條件求出，第二個條件得到即可求出結論.【詳解】解：因為在中，為等邊三角形.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)量積運算性質以及特殊角的三角函數(shù)值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.12若，則三角形ABC必定是（ ）三角形A銳角B直角C鈍角D等腰直角【答案】B【解析】【分析】由得到

7、，即可求解.【詳解】，即 所以三角形ABC必定是直角三角形故選：B【點睛】本題主要考查了平面向量的基本運算，屬于基礎題.13已知是非零向量，且滿足，則的形狀為（ ）A等腰（非等邊）三角形B直角（非等腰）三角形C等邊三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】先將題中進行轉化，再觀察轉化條件存在的基本關系，根據(jù)向量夾角的余弦公式和模長公式來進行判斷即可【詳解】，即.，即，即.，為等邊三角形.答案選C【點睛】三角形形狀的判斷向量法常采用模長公式、夾角的余弦公式、向量垂直公式進行求解，解題時可靈活選用14點是所在平面上一點，滿足，則的形狀是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等邊三角

8、形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.【詳解】點是所在平面上一點，滿足，則，可得，即，等式兩邊平方并化簡得，因此，是直角三角形.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，也考查了模長公式應用，是中等題15若為所在平面內一點，則形狀是（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D以上答案均錯【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的減法運算可化簡已知等式為，從而得到三角形的中線和底邊垂直，從而得到三角形形狀.【詳解】 三角形的中線和底邊垂直 是等腰三角形本題正確選項：【點睛】本題考查求解三角形形狀的問題，關鍵是能夠通過向量的線性運算得

9、到數(shù)量積關系，根據(jù)數(shù)量積為零求得垂直關系.16若，則為( )A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D等邊三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算法則推導得即可.【詳解】,為直角三角形.故選：A【點睛】本題主要考查了根據(jù)向量的數(shù)量積運算判斷三角形形狀的問題,屬于基礎題.17在中，若，則的形狀為（ ）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不確定【答案】B【解析】【分析】兩邊平方，化簡可得，從而可判斷三角形的形狀?！驹斀狻坑深}意可得，即，整理可得，則向量與的夾角為鈍角，即，據(jù)此可知的形狀為鈍角三角形.【點睛】本題考查向量的平方運算及向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題。18已知在中，是邊上的一個定點，滿足，且對于邊上任意一點，恒有，則（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】如圖所