不等式的實際應(yīng)用

1、不等式的實際應(yīng)用知識梳理：1、不等式應(yīng)用題，題源豐富，綜合性強(qiáng)，是高考應(yīng)用題命題的重點內(nèi)容之一；這類應(yīng)用題常常與函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等相綜合，難度可大可小，具有一定的彈性；2、利用不等式解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵是建立問題的數(shù)學(xué)模型或轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式(組)3、解決不等式應(yīng)用題的三個步驟；一、訓(xùn)練反饋：1 (2004上海卷理16)、某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下：行業(yè)名稱計算機(jī)機(jī)械營銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機(jī)營銷機(jī)械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一

2、行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是()(A)計算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè).(B)建筑行業(yè)好于物流行業(yè).(C)機(jī)械行業(yè)最緊張.(D)營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張2、假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各引擎是否有故障是相互獨立的，如果至少 50%的引擎能正常工作，飛機(jī)就可以成功飛行，若使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全，則 p的取值范圍是()A、( 1 , 1 ) B> (1 , 1 )C、(0 , £ )D、(0 ,一)33343、根據(jù)調(diào)查，某廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品,n地滿足 f(n) e2(13n 22 n2)品每年只要生產(chǎn)

3、()A、11個月 B、10個月4、(2004福建卷理科12)如圖,n個月贏利f(n)萬元(n=1、2、3、4、12)近似(e 2.718L )，為了獲取一年的最大利潤，那么該產(chǎn)C、9個月 D、8個月B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30o方向2 km處，河流的沒岸 PQ (曲線)上任意一點到 A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2 kmo現(xiàn)要在 曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物。經(jīng)測算，從 M到B、M兩地修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費用最低是(A) (2 V17 -2)a 萬元(B) 5a萬元(C) (2 J7 +1)a 萬元(D

4、) (2 J3+3)a 萬元5、（2004年福建理科，16）如圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器。當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為 時，其容積最大。6、（2004上海卷數(shù)學(xué)18）、某單位用木料制作如圖所示的框架 ，框架的下部是邊長分另1J為x、y（單位：m）的矩形.上部是等腰直角三角形.要 求框架圍成的總面積 8cm2.問x、y分別為多少（精確到 0.001m）時用料最?。?、（2004年江蘇卷，19）、制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能 出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能

5、的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為 30%和10%.投資人計劃投資金額不超過 10萬元，要求 確保可能的資金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 二、典型例題：1、（2004年理科北京卷，19） 某段城鐵線路上依次有 A, B, C三站，AB=5km , BC=3km. 在列車運動時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達(dá)B站并彳車1分鐘，8時12分到達(dá)C站。在實際運行時，假設(shè)列車從A站正點發(fā)車，在 B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度 v km/h勻速行駛，歹U車從 A站到達(dá)某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差 的絕對

6、值稱為列車在該站的運行誤差。（I）分別寫出列車在 B, C兩站的運行誤差；（II）若要求列車在 B, C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求v的取值范圍。2、（2003年上海卷20）如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計的拱 寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè) 計拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個橢圓形隧 道的土方工程量最?。浚ò雮€橢圓的面積公式為 S lh,柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.14米）3、(2003年北京卷理工農(nóng)醫(yī)類，19)有三個新興城鎮(zhèn)

7、，分別位于 A, B, C三點處，且AB=AC= a, BC=2b.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點處，(建立坐標(biāo)系如圖)(I )若希望點 P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小, 點P應(yīng)位于何處？(n)若希望點 P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小， 點P應(yīng)位于何處？三、鞏固練習(xí):1、現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，使剩余的鋼管數(shù)盡可能的少。那么 剩余的鋼管有()A、9 根 B、10 根C、19 根 D、20 根2、光線每通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要失掉10%,把n塊同樣的玻璃疊起來，通過它們的光線“，一，一1強(qiáng)度減弱到原來的 以下，那么至少重疊塊玻璃。(lg3B0

8、.477)33、現(xiàn)有兩個定值電阻串聯(lián)后等效電阻為R,并聯(lián)后等效電阻為 r,若R=kr,則實數(shù)k的取值范圍是4 (2003年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷，19)、某市2003年共有1萬輛燃油型公交車。有關(guān)部門計劃于2004年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問：(1)該市在2010年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？1(2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的一?35 (2001春季上海卷19)、用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器的高為h米，蓋子邊長為a米.(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)設(shè)容器的容

9、積為 V立方米，則當(dāng)h為何值時，V最大？求出V的最大值.(求解本題時，不計容器的厚度)6 （2001年全國，21）、從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)1并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)。根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入比上年減少,。本年5度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為 400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)1收入每年會比上年增加 一。4（I）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為 an萬元，旅游業(yè)的總收入為 bn萬元。寫出an、bn的表達(dá)式；（II ）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？7、（2003年全國卷 21）在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺

10、風(fēng)中心位于城市O （如圖）的東偏南/2、4乂 Ie 士、4g自 tr、L（cos）萬向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北 45萬向移動，10臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為 60km,并以10km/h的速度不斷增大問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？答案提示：一、訓(xùn)練反饋：1、 B2、 C3、 D4、 B5、2/35、 【解】由題意得2x(0<x<4 . 2 ).41 28 24 8xy+ x2=8, y=-=4x x于定，框架用料長度為l=2x+2y+2( x )=( - + J2 )x+ 6 4 J2 .22x當(dāng)(3 + J2 )x=短，即 x=8 4 7

11、2 時等號成立.此時，x = 2.343,y=22 = 2.828.2x故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時，用料最省.x y 100.3x 0.1y 1.8 一7、設(shè)投資人分別用 x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意：，目x 06萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前答：投資人用4萬元投資甲項目、 提下，使可能的盈利最大。、典型例題:1、本小題主要考查解不等式基本知識，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。 解：（I）列車在B, C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是（II）由于列車在B, C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以30011 <2(*)2、30010

12、<v<時,7(*)式變形為 300-7+480-11<2,v>480時，（*）式變形為7-11v v300+ 480<2綜上所述，v的取值范圍是39,v 195 T.解（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點 P(114.5)7描曰480 解得v1119542 x 橢圓方程為a112 y b2將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程，得 a44.788 - 7竺，此時l 2a匹上7 33.3.因此 77隧道的拱寬約為33.3米.(2)由橢圓方程22x y 2 rr a b1,/日 1 124.52.得亞 /1.4.522b2所以s 4lhab211ab9945即ab 99,且l

13、2a, h b,當(dāng)S取最小值時，有可a24.52丁19.2一，得 a 11J2,b 22此時 l 2a 22、. 2故當(dāng)拱高約為6.4米、31.1, h拱寬約為31.16.4米時，土方工程量最小2 X 解二由橢圓方程-2 a2 y b2112a24.521.于是b28142aa2 121即ab81 / 27 (a1211212a2 121242)99,當(dāng)如最小值時，有a2 12181(2 12121212a2 121,242) 81 121,9.2石11N2,b .以下同解一.23、本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能 力.(I)解：由題設(shè)可知，a b

14、0,記h Ja2 b2,設(shè)P的坐標(biāo)為(0, y),則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y) 2(b2 y2) (h y)2 3(y -)2 - h2 2b2.所以, 33h122、當(dāng)y 時，函數(shù)f(y)取得最小值.答:點p的坐標(biāo)是(0,vab ).33(n)解法一：p至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為g(x) vb2 y2,當(dāng)Yb2 y2 |h y|,|h y|,當(dāng)ky7 |h y|.由 Jb2 y2 | h y| 解得 y，記y22h b2h22h b2hg(y)Vb2 y2,當(dāng) y| h y |,y y*.當(dāng)yn,2.20例b時, *鐘2y2在y ,)上是增函數(shù)，而| h y |在(-*,y 上是減函數(shù).由此可知

15、，當(dāng)yyn時，函數(shù)g(y)取得最,2. 2小值.當(dāng)v* h b 0即h b時，函數(shù)于丁在v 1K 0,y小值b,而|h y|在(-,y上為減函數(shù)，且|h y |)上，當(dāng)y 0時,取得最b.可見，當(dāng)y 0時，函數(shù)2g(y)取得最小值.答當(dāng)h b時，點P的坐標(biāo)為(0,-a=2 a2標(biāo)為(0,0)，其中h Ja2b2,最遠(yuǎn)距離為Jb2 y2 | h y| 解得22h b _，記2hyb22h*I 一y 0,即 hb時,z g(y)的圖象如圖b時,z g(y)的圖象如圖答:2b_);當(dāng)h b時，點P的坐b2，g(y) " T|h y|,當(dāng)而|h y|，由|h y|.g(y)<,b2 y

16、2,當(dāng)y I h y l,y(a),因此，當(dāng)y(b),因此，當(dāng)y值.(0,2ba2 a2b，2)；或、P胸坐標(biāo)為當(dāng)h b.時b2.*y ,*y.* .y時,函數(shù)g(y)取得最0時，函數(shù)g(y)取得最小h1，b,點P的坐標(biāo)為(0, 0),其中解法三：為(。，a2 2b2,2, 22 . a b因為在且 AM=BM=CM.P 為 P2,若 h .a2b2這時P到A、B、ABC 中，AB=AC=當(dāng)P在射線MA上,b (如圖1),則點C三點的最遠(yuǎn)距離為用a,所以 ABC記P為Pi;當(dāng)?shù)耐庑腗在射線AO上，其坐標(biāo)M在線段AO上,PiC和P2A,且PiOMC , P2A>MA ,所以點 P與外心 重

17、合時，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.若h Ja2 b2 b(如圖2),則點M在線段AO外，這時P到A、B、C三點的最遠(yuǎn)距離為 PiC或P2A ,且PiOOC, P2A>OC,所以點P與BC邊中點。重合時,MP在射線MA的反向延長線上， 記P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小為b.答：當(dāng)h Ja2 b2 b時，點P的位置在 ABC的外心a2 2b2）；當(dāng)h qa2 b2 b時，點P的位置在原點O.,2, a2 b2三、鞏固練習(xí)：1、B2、113、4, 十4、（1）該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列an,其中ai 128, q 1.5,則在2010年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7 a1 q6 128 1

18、.56 1458 （輛）。（2）記Sn a1 a2an，依據(jù)題意，得同一 皆。于是與 粵22 5000 （輛），即0000 Sn 3.an 6571.512，則有n 7.5，因此n 8。所以，到2011年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車 總量的。5、解（1）設(shè)h'為正四棱錐的斜高解得a：(h 0),h2 1、，1易得V 13(h -) ha 4 1h'a 2, 2由已知22122h -a h' , 412 h(2) V -haz(h 0),33(h2 1)'11因為h h 4M 2,所以V一，一，1 r，- r等式當(dāng)且僅當(dāng)h ，即h 1時取得h故當(dāng)h 1米時，V有最大值，V的最大值為1立方米.66、本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.滿分12分.解：（I ）第1年投入為800萬元，第2年投入為800 X （ 1 1 ）萬元，第 n年5投入為800 x （ 1 1）口1萬元.5所以，n年內(nèi)的總投入為an = 800+ 800X ( 11) + 800x ( 1 )n 155nI、k 1800 (1)k 15=4000X1-(-)n；