概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試卷附答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試卷課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試時(shí)間3分，共18分)專業(yè) 班學(xué)號(hào) 姓名題號(hào)一一三四五總得分得分評(píng)卷人復(fù)核人,A, A2, A3相互獨(dú)立，則(1) A，A2，A3至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為 ； (2) A1, A2, A3恰好出現(xiàn)一個(gè)的概率為2.設(shè) XN(1,22), YP(1), xy 0.6 ,則 E(2X Y 1)23 .設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為Fx(x) , FY(y)則Z max X , Y的分布函數(shù)是 。2 .4 .若隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布N( , ), Xi,X2,X20是來自X的一個(gè)樣本，令1020Y 3 Xi 4 Xi,則Y服從

2、分布。 i 1i 11_xe xy, y 05 .若對(duì)任意給定的 x 0,隨機(jī)變量y的條件概率密度 fyz(yx)則y0，其它y關(guān)于x的回歸函數(shù) y|x (x) .得分 二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共10分)1 .設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上等于sinx ,而在此區(qū)間外等于0,若f (x)可以做為某連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)，則區(qū)間 口，3為()。(A)0,；2(C) , 0；2(B)(D)0,；0,。與方差 2都存在，樣2 .假設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x),即Xf (x),期望本Xi,X2, ,Xn(n 1)取自X, X是樣本均值，則有()(A) X f(x)；(B)minXi

3、 f(x);1 i nn(C) maxXi f(x) ;(D) (Xi，X2，,Xn) f(xj1 i ni 1223.總體XN(,), 已知，n ()時(shí)，才能使總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間長不大于 L。( (1.96) 0,975)(A) 15 2/L2；(B) 15.3664 2/L2；22(C) 16 2/L2;(D) 16。4.對(duì)回歸方程的顯著性的檢驗(yàn)，通常采用3種方法，即相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法，F(xiàn) 檢驗(yàn)法和t檢驗(yàn)法，下列說法正確的()。(A) F檢驗(yàn)法最有效；(B) t檢驗(yàn)法最有效；(C) 3種方法是相通的，檢驗(yàn)效果是相同的；(D) F檢驗(yàn)法和t檢驗(yàn)法，可以代替相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)法。22

4、X5.設(shè)X1,X2, ,Xn來自正態(tài)總體 N( , 2)的樣本(2已知),令u 尸，并且u/ . n 5滿足uv2/21?ex/2dx 1(0u 1 -1),則在檢驗(yàn)水平下，檢3金H。0時(shí)，第一類和第二類錯(cuò)誤的概率分別是()和().(A) P| u | u | 當(dāng) H 0 成立;1 .2(B) P| u | u|當(dāng) H 0 不成立;1 _2(C) P| u | u |當(dāng) Ho成立;1 -2(D) P| u | u|當(dāng) H 0不成立。1 .2三、計(jì)算題(每小題10分，共20分)1.設(shè)有甲、乙、丙三門炮，同時(shí)獨(dú)立地向某目標(biāo)射擊命中率分別處為0.2、0.3、0.5,目標(biāo)被命中一發(fā)而被擊毀的概率為0.

5、2,被命中兩發(fā)而被擊毀的概率為0.6,被命中三發(fā)而被擊毀的概率為 0.9,求：(1)三門火炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率；(2)在目標(biāo)被擊毀的條件下，只由甲火炮擊中的概率。解：設(shè)事件A, B,C分別表示甲、乙、丙三門炮擊中目標(biāo)， D表示目標(biāo)被擊毀， Hi表示有i門炮同時(shí)擊中目標(biāo)(i 1,2,3),由題設(shè)知事件 A, B,C相互獨(dú)立，故P(A) 0.2, P(B) 0.3, P(C) 0.5;P(D | Hi) 0.2, P(D|H2) 0.6, P(D | H 3) 0.9P(Hi) P(ABC ABC ABC)P(ABC) P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P

6、(C) P(A)P(B)P(C)0.47P(H2) 0.22, P(H3) 0.03(1)由全概率公式，得 3P(D) P(Hi)P(D|Hi) i 10.47 0.2 0.22 0.6 0.03 0.9 0.253（2）由貝葉斯公式，得P(ABCD)P(ABC|D) ()P(D)P(ABC)P(D | ABC )P(D)0.2 0.7 0.5 0.20.2530.05542.隨機(jī)變量U在區(qū)間2,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量1 若 U 1 vX，YX 1 若 U -10試求：（1） X和丫的聯(lián)合概率分布; E(X Y) ； (3) Z22 .X Y的概率分布。解：（1）因隨機(jī)變量U在區(qū)間2,2上

7、服從均勻分布，故P(X 1,Y1) P(U1,U 1) P(U 1)11-dx24P(X 1,Y0) P(UP(X 1,Y1) P(UP(X 1,Y0) P(U1,U11) P( ) 0;1 111,U1) P( 1 U 1) dx 1422111,U1) P(U 1) dx 1 44故X和Y的聯(lián)合概率分布如下:31E(Y) ( 1) 4 0 413 1故 E(X) ( 1) - 1 -44 2_13E(X Y) E(X) E(Y) 2 4(3) Z X2 Y2的概率分布為一22Z X Y12p1/43/4四、計(jì)算題(每小題10分，共20分)1.設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)f(x)當(dāng)0 x0

8、其他試求(1)常數(shù)A; (2) Y sinX的概率密度函數(shù)；(3) P(| sin X | 1/2)。解：(1)由 f(x)dx 1 得Ax 12 A-dx 2 Ax |0- 1,得 A 2 ;022 22(2)由于X在(0,)內(nèi)取值，Ysin X的取值區(qū)間為(0, 1),故Y的可能取值區(qū)間外，fY(y) 0,故Y y 0 X arcsin y arcsin y XarcsinyfX(x)dxarcsin yFY(y) PY y 0 fX (x)dx2x .arcsinyf在上式兩端對(duì)y求導(dǎo)，得,、 2arcsin y 2(p - arcsin y) 2 pY(y) =+= - .2 2 .

9、2 2 2 p 1- y p 1- y p 1- y1(3) P(| sin X < 1)= 21、22.2.二 1dy = 一 arcsin y =p2 1- y2p2.設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合分布密度為24(1 x)y p(x y) 00 x 1, 0 y x其它求隨機(jī)變量X與Y的邊際分布;(2)若X ,Y分別為一矩形木板的長與寬，求木板面積的數(shù)學(xué)期望;求條件分布密度Pyix （y I解：（1）Px(X)p(x, y)dy1x )。2x0 24(1x) ydy 12(1x)x2PY(y)0p(x, y)dx y24(1x)ydx212y2(y 2)(2)E(XY)xyp( x

10、, y)dxdyD (x,y)|01,0 y xD1dx04151時(shí),1當(dāng)x 一時(shí),2（ 每小題10分,x0 24xy(1 x) ydyPyix (y |x)P(x,y)Px(x)2y2 x1Pyix (y I x 2)8y共20分）1、設(shè)總體X的分布律為P(X x) p(1 p)x1,x 1,2,L ,其中p 0為未知參數(shù),Xi,X2, ,Xn是來自總體X的樣本，試求：(1) 參數(shù)p的矩估計(jì)量；(2)參數(shù)p的極大似然估計(jì)量(只需列出方程) 。2、假設(shè)隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布N( ,1), x1,x2, ,x10是來自X的10個(gè)觀察值，要在0.05的水平下檢驗(yàn)Ho：00, H1：0取拒絕域?yàn)镽

11、 | x | C。求C ?；(2)若已知x 1,是否可以據(jù)此樣本推斷0(0.05);0的拒絕域，試求檢驗(yàn)的顯著水平。(3.64) 0.99985 。(3)如果以其中(1.96)|x| 1.15作為該檢驗(yàn)Ho :0.975 ,(1.64) 0.950,解：(1) H0 :00； Hi:0選擇統(tǒng)計(jì)量當(dāng) 0時(shí)，Ux N(0,1)0 /、n0.05因此拒絕域 R | U | 1.96 .10x 1.96 | x | 0.62即 C 0.62(2)對(duì)于x 1 0.62,即x R,因此不能據(jù)此樣本推斷0;對(duì)于 0.05,查表知 P| U | 1.96(3) P| x | 1.15P| . 10x | 1.15.101 P| J0x | 1.15,10 1 2 (3.64) 1 0.0003由于檢驗(yàn)的顯著水平就是在0時(shí)成立時(shí)拒絕H 0的概率PU R P| . 10x | 1.15.10 0.00031.設(shè) P(A) 0,試證：P(B | A)1 Pjf)P(A)證明： 因?yàn)?P(A B) 1,即 P(A) P(B) P(AB) 1P(A) P(B) P(