第三章冪級數(shù)展開ppt課件

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開 3.1 3.1 復(fù)變項級數(shù)復(fù)變項級數(shù) 3.2 3.2 冪級數(shù)冪級數(shù) 3.3 Talyor3.3 Talyor級數(shù)展開級數(shù)展開 3.4 3.4 解析延拓解析延拓 3.5 3.5 洛朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開 3.6 3.6 孤立奇點的分類孤立奇點的分類 3.1 3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 1. 1.復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 研究解析函數(shù)研究解析函數(shù): :連續(xù)、極限連續(xù)、極限 微分微分, , 積分，級數(shù)積分，級數(shù) kkkwwww211（1）每一項均為復(fù)數(shù)的級數(shù)每一項均為復(fù)數(shù)的級數(shù) 為復(fù)數(shù)項級數(shù)為復(fù)數(shù)項級數(shù)nkknnkknnkknKkkviuwivu

2、w111limlimlim由于所以，級數(shù)所以，級數(shù)1 1的收斂歸結(jié)為兩個實數(shù)級數(shù)的收斂的收斂歸結(jié)為兩個實數(shù)級數(shù)的收斂 。2. 2. 柯西收斂判據(jù)柯西收斂判據(jù)（1 1收斂的充要條件是：對任意給定小正數(shù)收斂的充要條件是：對任意給定小正數(shù),存在存在N N使得使得nNnN時，時， pnnkkw1式中式中p p為任意正整數(shù)為任意正整數(shù) 3. 3. 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) 絕對收斂級數(shù)收斂稱 ) 1 (1kkw1）2) 2) 絕對收斂級數(shù)的和與求和次序無關(guān)絕對收斂級數(shù)的和與求和次序無關(guān). . 3) 3) 二絕對收斂級數(shù)二絕對收斂級數(shù) 1211kkkkqsps33231332221231211

3、1321321qpqpqpqpqpqpqpqpqppppqqq)(12211121qpqpqpss該級數(shù)也是絕對收斂的。該級數(shù)也是絕對收斂的。4. 4.一致收斂、判別法、性質(zhì)一致收斂、判別法、性質(zhì)1 1復(fù)變項級數(shù)：它的各項是復(fù)變項級數(shù)：它的各項是z z的函數(shù)的函數(shù) .)(.)()()()(3211zwzwzwzwzwkkk如果在某個區(qū)域如果在某個區(qū)域 B (B (或某根曲線或某根曲線l) l)上所有的點上所有的點, ,級數(shù)級數(shù)(2)(2)都收斂都收斂, ,就就叫做在叫做在B (B (或或l) l)上收斂上收斂 。 （2）2 2一致收斂的柯西判據(jù)：在一致收斂的柯西判據(jù)：在B (B (或或l) l

4、)收斂的充分必要條件是收斂的充分必要條件是, , 在在B(B(或或l) l)上各點上各點z z對于任意給定小的正數(shù)對于任意給定小的正數(shù),必有必有N(z)N(z)存在存在, ,使得使得n n N(z)N(z)時時, , 如果如果N N 跟跟z z無關(guān)無關(guān), ,就把復(fù)數(shù)項級數(shù)叫做在就把復(fù)數(shù)項級數(shù)叫做在B(B(或或l) l)上上一致收斂一致收斂 。,)(1pnnkkzw上絕對一致收斂。在則收斂若各項BzwmBzmzwkkkkkk)(),()(113) 3) 若一致收斂的外氏判別法若一致收斂的外氏判別法 .,)(上連續(xù)則其級數(shù)的和函數(shù)在上連續(xù)每一項在上一致收斂在若BBBzw4 4）)(1zwkk5)5

5、)一致收斂級數(shù)一致收斂級數(shù) ，可逐項積分和微分，可逐項積分和微分 1)()()()()()(knknlzwzwdzzfzw 3.2 3.2 冪級數(shù)冪級數(shù) 為中心的冪級數(shù)的級數(shù)稱為以形如000)(zzzaknk1. 1.2. 2. 比值判別法比值判別法 收斂時正項級數(shù)) 1 (1limlim) 1 ()(01010100zzaazzazzazzazzakkkkkkkkkkkk絕對收斂。時，即，絕對收斂。即有，0001100)(lim)(kkkkkkkkkzzwRzzaaRzzw.)(,1lim000101010發(fā)散時即有即后面的項越來越大則另一方面，若kkkkkkkkkkzzwRzzRaazza

6、zzaRzz3. 3. 收斂圓收斂圓, , 收斂半徑收斂半徑 在在CRCR的內(nèi)部級數(shù)的內(nèi)部級數(shù) 一致收斂，一致收斂， 在圓外發(fā)散，在圓外發(fā)散， R R 為收斂半徑，為收斂半徑， CRCR為收斂圓。為收斂圓。 00)(kkkzzwz0R4. 4. 根值判別法根值判別法 kkkaR1lim不變。積分，微分，和函數(shù)解析，可以逐項閉圓內(nèi)一致收斂，在其收斂圓內(nèi)任一圓心Rzzakk05. 5.閉圓內(nèi)一致收斂又收斂正項級數(shù)任一閉圓半徑1limlim,11111111101RRRaaRaRaRaRazzaRkkkkkkkkkkkkkk 3.3 Talor3.3 Talor級數(shù)展開級數(shù)展開 1. 1. 定理：定

7、理：f fz z在以在以z0z0為中心的圓為中心的圓CRCR內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任一點內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任一點z z 同心的圓且與內(nèi)包含為！RRRKKckkkkCzCCzfdzfiazzazfR110100)(21 0000011211zzzzfzzzfzfdzfizfRC）（）（）（）（）（證明：為避免級數(shù)在證明：為避免級數(shù)在CR上的斂散性上的斂散性 將將CR縮為縮為CR1CRCR1z0|z-z0|-z0|zkkkkCkkkkCzzazzdzfidzzzfizfRR000100100112121）（）（）（2. 2. 展開的唯一性展開的唯一性 kkkkkakzfazzazf！求導(dǎo)得設(shè)另有展開式00

8、 ?。╧zfdzfiakCkkR0101213. 3. 展開方法展開方法 1)1)求導(dǎo)法求導(dǎo)法 : : ! 21!12zzekaeeezkzkzz如 的主值給出單值分支為，展開在例：求zkiziziiziikiziifzzfizfzzfizfzzfkiiifzzfizzln0) 1(31211)22(ln! 21! 2111111)22(lnlnln3322323323220 !121sin120kzzknk其它如：2) 2) 代換法利用已有的級數(shù)展開積分、微分法代換法利用已有的級數(shù)展開積分、微分法 7520220271513111arctan1111zzzzdzzgzzzzzkkk已知例：

9、展開函數(shù)例：展開函數(shù)fz）=argtangz (取主值）取主值）3 3乘除法乘除法 32223131! 21sin0sinzzzzzzzzezzezfzz展開在033206030201cossintan222222zzzzzzzzzzzgz！. 3.4 3.4 解析延拓自己閱讀）解析延拓自己閱讀） 3.5 3.5 洛朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開 1. 1. 雙邊的級數(shù)展開及其收斂環(huán)雙邊的級數(shù)展開及其收斂環(huán) kkkzza01) 1) 形如形如 的級數(shù)為雙邊冪級數(shù)的級數(shù)為雙邊冪級數(shù)00kkkzza2正冪項部分正冪項部分 收斂圓為收斂圓為10Rzz負(fù)冪項部分負(fù)冪項部分 收斂圓為收斂圓為 即即20Rzz11

10、100mmmzzkkkazza21R若若R2R1, R2R1, 那么那么 在環(huán)形域在環(huán)形域 R2|z-z0|R1 R2|z-z0|R1 絕對一致收絕對一致收斂，和函數(shù)解析，級數(shù)可以逐項微分和積分。斂，和函數(shù)解析，級數(shù)可以逐項微分和積分。 R2|z-z0|R1 R2|z-z0|R1, R2R1, 則級數(shù)發(fā)散。則級數(shù)發(fā)散。kkkzza02. 2. 羅朗展開定理羅朗展開定理 設(shè)設(shè)f(z)f(z)在環(huán)形域在環(huán)形域R2|z-z0|R1R2|z-z0|R1內(nèi)單值解析，則對環(huán)內(nèi)任意一點內(nèi)單值解析，則對環(huán)內(nèi)任意一點z, z, 有有kkkzzazf0)(dzfiaCkk1021）（證明：為避免級數(shù)在圓上的斂散性

11、，證明：為避免級數(shù)在圓上的斂散性， 將外圓縮為將外圓縮為CR1，將內(nèi)圓擴為，將內(nèi)圓擴為CR2 dzfidzfizfRRCkCk順逆）（）（21112121應(yīng)用復(fù)連通域應(yīng)用復(fù)連通域Cauchy公式：公式：CR1CR1z0R1CR2CR2z0R2C 010000000)()()1 (11111kkkRzzzzzzzzzzzC積分中對 0100000000000)()()()(1111112llllllRzzzzzzzzzzzzzzzzzC 積分中對dzfizzdzfizzzfRRClllCkkk21)(21)(21)(00) 1(01000）（）（所以：所以：dzfidzfidzfiazzadzf

12、izzdzfizzzflkCkCkCkkkkCkkkCkkkRRRR逆逆逆逆逆）（）（）（其中）（）（第二項令1010100101010002121212121)() 1(2121注：注：1 1akak與與TalorTalor級數(shù)展開式性是相同，但不等于級數(shù)展開式性是相同，但不等于 2 2若若z0z0是是f(z)f(z)的奇點，內(nèi)圓可以任意小，稱的奇點，內(nèi)圓可以任意小，稱z0z0為為f(z)f(z)的的 孤立奇點，級數(shù)為在孤立奇點的鄰域內(nèi)展開，可以研究孤立奇點，級數(shù)為在孤立奇點的鄰域內(nèi)展開，可以研究 奇點的性質(zhì)。奇點的性質(zhì)。！kzfk0)(應(yīng)用柯西公式應(yīng)用柯西公式3. 3. 羅朗展開的唯一性羅

13、朗展開的唯一性 kkmkmkCkCmmiadzadzfzz21101010）（）（逐項積分）（兩邊乘以有界函數(shù)設(shè)另有展開：設(shè)另有展開：kkzzazf0）（mCmmadzfia1021）（3. 3. 羅朗展開方法羅朗展開方法 一般不用公式，用唯一性一般不用公式，用唯一性 534515210151!1! 2)(011!1! 21110)(nznzzznzzzezzfzzznzzezezzf解析即鄰域展開在例例1例例2 2：將：將上展開在2, 21, 1)2)(1()(2zzzzzzzf00111022022)2(21221221)2(2)2(221142)21 (14)2(1111122)2(11

14、)2)(1(,)(1kkkkkkkkkkkzzzzzkzkzzdzdzzdzdzzzzzzzzzzzzzzzzTaylorzfz級數(shù)可展為解析在1）0100121010)21 (21)()2(2222)2(11111111121kkkkkkkkkkkkkkkkzkzzfzzzzkzzzzzzzzzzz解析在在2）0011)21 (21) 122()(kkkkkkkzkzkkzf）（）（）（上在zdzdzzzzzzzzzzzzzkk2112121)2(2111112222211)1(010111121102222)21 (22221222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkzzzzzzzz

15、kkzzkzzzdzdz）（）（）（）（3）例例3展開和在在將10) 1(1)(00zzzzzf101111) 1(1)(kkkkzzzzzzzzf解：解：1）kkkkkkzzzzzzzzzzf) 1() 1() 1() 1(11) 1(1111111) 1(1)(1102）kkkzkzf1)21 (211)(.3101910311520310100001152310424253zzzzzzzzz531523111210,sincos)(zzztgzctgzkkzzzctgzzfk奇點zzzf311)(例例4 3.6 3.6 孤立奇點孤立奇點 1. 1.定義：若定義：若f(z)f(z)在在z0

16、z0不解析，在不解析，在z0z0的鄰域的鄰域0|z-z0|0|z-z0|解析，解析，稱稱z0z0為的孤立奇點。為的孤立奇點。zezfz1)(如：如： z=1為孤立奇點。為孤立奇點。的奇點多小的鄰域總有異于無論很大時當(dāng)奇點如為非孤立奇點外的奇點有除的無論多么小的鄰域總在若00,11sin1)(.)(00zznnzzzfzzzzf2. 分類分類1 1z0z0為孤立奇點，則在為孤立奇點，則在z0z0的鄰域的鄰域0|z-z0|0|z-z0|可展為洛朗級數(shù)：可展為洛朗級數(shù)：kkzzazf0）（00kkkzza10kkkzza， 為為f(z)在在z0的正則部分，的正則部分，為，為f(z)在在z0的主要部分

17、。的主要部分。2） 若若f(z)在在z0沒有主要部分，則稱沒有主要部分，則稱z0為為f(z)的可去奇點。的可去奇點。不可導(dǎo)在但是左端為一解析函數(shù)右端在0000000)(,)(lim0)()(0zzfRzzazfRzzzzaazfzz)()()()(0000可去奇點的來由點就是解析的在則得到的若令zzzgzzazzzfzg010sin)(! 31sin)(2zzzzzgzzzzf如3） 若若f(z)在在z0的主要部分只有有限項，的主要部分只有有限項， 則稱則稱z0為為f(z)的的m階極點。階極點。001)(zzazzammz0z0為為f(z)f(z)的的m m階極點的充要條件滿足下列條件之一等價

18、）：階極點的充要條件滿足下列條件之一等價）：.)()(0)()()()()()(1)()(0)()()()()()()0(1)()()(00000000000階零點的為解析，則稱在，若階零點的為則點，為可去奇點且當(dāng)作解析以點解析且在，的主要部分為mzfzzzzzzzzfmzgzzzzfzgiiizzzzzzzfiiazzazzazfimmmmm如何判別零點的階如何判別零點的階 ：階零點的為解析且在設(shè)階零點的為則階零點的為若1)(0)()()()()()()()()()()()()(0)()()()(1)(,)(001011100100100000mzfzzzzzzzzzzzmzzzzzzzzmzfzzzzzfmzfzmzfzmmmmmzzfsin1)(例例1 求求 奇點的類型，并指出其階。奇點的類型，并指出其階。.)(,)() 1(0cos)( )(1sin)()210(的一階極點是的一階零點是令是奇點zfzgnzzzgzfzzgnnznnz解：解：的性質(zhì)在階極點，求的階極點的為00)()()(,)(zzgzfnzgmzfz例例2可去奇點階零點階極點nmgfmnnmgfaznmnmgfazzgzfazzgzgazzfzfmnnmnm11111111)()(1)()()()()()()()(解：解：4 4本性