初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新性開放性（2）

1、創(chuàng)新型、開放型問題創(chuàng)新型、開放型問題第二講第二講 曾慶坤曾慶坤 第一類：找規(guī)律問題第一類：找規(guī)律問題 這類問題要求大家通過觀察這類問題要求大家通過觀察,分析分析,比較比較,概括概括,總結(jié)出題設(shè)反映的某總結(jié)出題設(shè)反映的某種規(guī)律種規(guī)律,進而利用這個規(guī)律解決相關(guān)進而利用這個規(guī)律解決相關(guān)問題問題例例1 1：觀察下列算式：觀察下列算式： 2 21 1=2 2=2 22 2=4 2=4 23 3=8 =8 2 24 4=16 2=16 25 5=32 2=32 26 6=64 =64 2 27 7=128 2=128 28 8=256=256通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出8

2、89 9的末位數(shù)的末位數(shù)字是字是。第一列第一列第二列第二列第三列第三列第四列第四列第一行第一行2 21 1=2=22 22 2=4=42 23 3=8=82 24 4=16=16第二行第二行2 25 5=32=322 26 6=64=642 27 7=128=1282 28 8=256=256第三行第三行8例例1 1：觀察下列算式：觀察下列算式： 2 21 1=2 2=2 22 2=4 2=4 23 3=8 =8 2 24 4=16 2=16 25 5=32 2=32 26 6=64 =64 2 27 7=128 2=128 28 8=256=256通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出通過觀察，用你

3、所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出8 89 9的末的末位數(shù)位數(shù)字是字是。 第二類第二類: :探求條件問題探求條件問題 這種問題是指所給問題結(jié)論明確這種問題是指所給問題結(jié)論明確, ,而而尋求使結(jié)論成立的條件尋求使結(jié)論成立的條件. .大致有三種類型大致有三種類型 (1)(1)條件未知需探求條件未知需探求 (2)(2)條件不足條件不足需補充條件需補充條件 (3)(3)條件多余或有錯條件多余或有錯, ,需排需排除條件或修正錯誤條件除條件或修正錯誤條件例例2:2:已知已知: :如圖如圖,AB,AB、 AC AC 分別是分別是OO 的直徑和弦，的直徑和弦，D D為劣弧為劣弧 ACAC上一點，上一點，DEABDEAB于點于點

4、H H，交，交OO于點于點E E，交，交ACAC于點于點F F，P P為為EDED的延長線上一點，的延長線上一點，（1 1）當(dāng)）當(dāng)PCFPCF滿足什滿足什么條件時，么條件時，PCPC與與OO相切，為什么？相切，為什么？2 2）當(dāng)點）當(dāng)點D D在劣弧在劣弧ACAC的的什么位置時，才能使什么位置時，才能使ADAD2 2=DE=DE DF. DF.為什么為什么? ? 分析：要知分析：要知PCPC與與00相切，需知相切，需知PCOCPCOC，即，即PCO=90PCO=90，CAB+AFHCAB+AFH=90=90，而，而CAB=OCACAB=OCA，AFH=PFCAFH=PFC，PFC+OCAPFC+

5、OCA=90=90，當(dāng)當(dāng)PFC=PCFPFC=PCF時，時，PCO=90PCO=90. .解解 :(1):(1)當(dāng)當(dāng)PC=PF(PC=PF(或或PCF=PFC,PCF=PFC,或或PCFPCF為等邊三角形為等邊三角形) )時時,PC,PC與與 OO相切相切. . 連結(jié)連結(jié)OC,OC,則則OCA=FAH.OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHPC=PF PCF=PFC=AFHDE AB DE AB OCA+PCF=FAH+AFH=90OCA+PCF=FAH+AFH=900 0即即OC PC, PCOC PC, PC與與OO相切相切. .（2 2）當(dāng)點）當(dāng)點D D在劣弧在劣弧ACAC的

6、什么位的什么位置時，才能使置時，才能使ADAD2 2=DE=DE DF. DF.為什么為什么? ?分析分析: :要使要使ADAD2 2=DE =DE DFDF需知需知ADFADFEDAEDA證以上兩三角形相證以上兩三角形相似似, ,除公共角外除公共角外, ,還還需證需證DAC=DEADAC=DEA故應(yīng)知故應(yīng)知AD=CDAD=CD 解：（解：（2 2）當(dāng)點）當(dāng)點D D是是ACAC的中點時，的中點時， ADAD2 2=DE=DE DF. DF. 連結(jié)連結(jié)AE.AE. AD=CD DAF=DEA AD=CD DAF=DEA 又又ADF=EDA ADF=EDA DAFDAFDEADEA即即ADAD2

7、2=DE=DE DF DFADDFDEAD 第三類第三類: :探求結(jié)論問題探求結(jié)論問題 這類問題是指題目中的結(jié)這類問題是指題目中的結(jié)論不確定論不確定, ,不惟一不惟一, ,或結(jié)論需要或結(jié)論需要通過類比通過類比, ,引申引申, ,推廣或由已知推廣或由已知特殊結(jié)論特殊結(jié)論, ,歸納出一般結(jié)論歸納出一般結(jié)論例3：已知，O1經(jīng)過O2的圓心O2，且與O2相交于A、B兩點，點C為AO2B上的一動點（不運動至A、B）連結(jié)AC，并延長交O2于點P，連結(jié)BP、BC .(1)先按題意將圖1補完整,然后操作,觀察.圖1供操作觀察用,操作時可使用量角器與刻度尺.當(dāng)點C在AO2B 上運動時,圖中有哪些角的大小沒有變化;

8、(2)請猜想BCP的形狀,并證明你的猜想(圖2供證明用)(3)如圖3,當(dāng)PA經(jīng)過點O2時,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的長是方程x2+kx+10=0的兩個根，求O1的半徑的半徑. 例3：已知，O1經(jīng)過O2的圓心O2，且與O2相交于A、B兩點，點C為AO2B上的一動點（不運動至A、B）連結(jié)AC，并延長交O2于點P，連結(jié)BP、BC .(1)先按題意將圖1補完整,然后操作,觀察.圖1供操作觀察用,操作時可使用量角器與刻度尺.當(dāng)點C在AO2B 上運動時,圖中有哪些角的大小沒有變化;(2)請猜想BCP的形狀,并證明你的猜想(圖2供證明用)（2 2）證明：連結(jié)）證明：連結(jié)O O2 2A A、O

9、O2 2B B，則則BOBO2 2A=ACB A=ACB BO BO2 2A=2PA=2PACB=2PACB=2PACB=P+PBCACB=P+PBCP=PBCP=PBCBCPBCP為等腰三角形為等腰三角形.(3)如圖3,當(dāng)PA經(jīng)過點O2時,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的長是方程x2+kx+10=0的兩個根，求O1的的半徑半徑. 連結(jié)連結(jié)O O2 2O O1 1并延長交并延長交ABAB于于E E，交，交O O1 1于于F F設(shè)設(shè)O O1 1、OO2 2的半徑的半徑分別為分別為r r、R R，OO2 2FABFAB，EB=1/2AB=2EB=1/2AB=2，PDBPDB、POPO2 2

10、A A是是O O1 1的割線，的割線，PDPDPB=POPB=PO2 2PA=2RPA=2R2 2，PBPB、BDBD是方程是方程x x2 2+kx+kx+10=0+10=0的兩根，的兩根，PBPBBD=10BD=10，13EFEFEOEO2 2=AE=AEBEBE，EF=4/3EF=4/3，r=1/2r=1/2（3+4/33+4/3）=13/6=13/6OO1 1的半徑為的半徑為13/613/6PDPDPB=PB=（PBPBBDBD）PB=PBPB=PB2 2PBPBBD=PBBD=PB2 210PB10PB2 210=2R10=2R2 2，APAP是是O O2 2的直徑，的直徑，PBA=9

11、0PBA=90，PBPB2 2=PA=PA2 2ABAB2 2，PBPB2 2=4R=4R2 21616得得R=R=在在RtRtO O2 2EBEB中，中，O O2 2E= E= 由相交弦定理得，由相交弦定理得，3413222 BEBO13第四類： 存在性問題存在性問題是指在一定件下某數(shù)學(xué)對象是否存在的問題例例4 4：拋物線：拋物線y=axy=ax2 2+ +bxbx+c+c（a a0 0）過過P P（1 1，- -2 2），），Q Q（- -1,21,2），），且與且與X X軸交于軸交于A,BA,B兩點兩點( (A A在在B B的左的左側(cè)側(cè)),),與與Y Y軸交于軸交于C C點，連結(jié)點，連結(jié)

12、ACAC，BCBC1.1. 求求a a與與c c的關(guān)系式的關(guān)系式2.2. 若若( (O O為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點),),求拋物線的解析式求拋物線的解析式3.3.是否存在滿足條件是否存在滿足條件tantanCABCAB穧穧 cotcotCBA=1CBA=1的的拋物拋物線線? ?若存在若存在, , 請求出拋物線的解析式。若不存請求出拋物線的解析式。若不存在，請說明理由在，請說明理由。OCOBOA411 + +分析（分析（1 1）因為）因為P P，Q Q在拋物線上，在拋物線上，所以有所以有解方程組得：解方程組得：a+c=0a+c=0，b=b=2 2+cbacba22解解（1 1）將）將P P（1 1，

13、-2-2），），Q Q（-1-1，2 2）代入解析式得代入解析式得 解方程組得解方程組得a+c=0a+c=0，b=b=2 2 aa，c c的關(guān)系式是的關(guān)系式是a+c=0a+c=0或或a=a=c c+cbacba22例例4 4：拋物線：拋物線y=axy=ax2 2+bx+bx+c+c（a a0 0）過）過P P（1 1，-2-2），），Q Q（-1,2-1,2），且與），且與X X軸交于軸交于A,BA,B兩點兩點(A(A在在B B的左側(cè)的左側(cè)),),與與Y Y軸交于軸交于C C點，連結(jié)點，連結(jié)ACAC，BCBC1.1.求求a a與與c c的關(guān)系式的關(guān)系式2.2.若若 (O(O為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點

14、),),求拋物線的解析式求拋物線的解析式3.3.是否存在滿足條件是否存在滿足條件tanCABtanCABcotCBA=1cotCBA=1的拋物線的拋物線? ?若存在若存在, , 請求出拋物線的解析請求出拋物線的解析式。若不存在，請說明理由式。若不存在，請說明理由。 OCOBOA411 + +（2 2）由（）由（1 1）知）知b=b=2 2，所以，所以y=axy=ax2 22x+c2x+c設(shè)設(shè)A A（x x1 1，0 0）B B（x x2 2，0 0）則）則x x1 1x x2 2=c/a=c/a，但，但a=a=c c，所以所以x x1 1x x2 20 0這說明這說明A A，B B在原點兩側(cè)（

15、在原點兩側(cè)（A A在在B B的的左側(cè)）所以左側(cè)）所以O(shè)A=OA=x x1 1，OB=xOB=x2 2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，已，已知知 故有故有即即 平方后得平方后得 而（而（x x2 2-x-x1 1）2 2= =（x x1 1+x+x2 2）2 24x4x1 1x x2 2把把x x1 1+x+x2 2=2/a=2/a，x x1 1x x2 2= =1 1代入上式中，得到關(guān)于代入上式中，得到關(guān)于a a的方程，解的方程，解方程求得方程求得a a，c c從而求出解析式從而求出解析式OCOBOA411 + +|42121axxxx 222121216)()(axxxx axx

16、41121 + + （2 2）設(shè)）設(shè)A A，B B的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（x x1 1，0 0）, ,（x x2 2，0 0）, ,則則x x1 1，x x2 2是方程是方程 axax2 22x+c=02x+c=0的兩個根的兩個根 x x1 1+x+x2 2=2/a=2/a，x x1 1x x2 2= =1 1因此因此A A，B B兩點分別在原點兩側(cè)，因為兩點分別在原點兩側(cè)，因為A A在在B B的左側(cè)，的左側(cè)，所以所以x x1 10 0，x x2 20 0，故，故OA=OA=x x1 1，OB=xOB=x2 2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，由，由 得得 即即 OCOBOA41

17、1 + +|42121axxxx axx41121 + + 平方后得平方后得 又又 于是得于是得4/4/a a2 2+4=16/a+4=16/a2 2, ,解之得解之得a= a= ，c= c= 所以解析式為所以解析式為222121216)()(axxxx （x x2 2-x-x1 1）2 2= =（x x1 1+x+x2 2）2 2 4x4x1 1x x2 232332322+ + xxyxxy33 例例4 4：拋物線：拋物線y=axy=ax2 2+bx+bx+c+c（a a0 0）過）過P P（1 1，-2-2），），Q Q（-1,2-1,2），且與），且與X X軸交于軸交于A,BA,B兩點兩點, ,與與Y Y軸交于軸交于C C點，連結(jié)點，連結(jié)ACAC，BCBC1.1.求求a a與與c c的關(guān)系式的關(guān)系式2.2.若若 (O(O為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點),),求拋物線的解析式求拋物線的解析式3.3.是否存在滿足條件是否存在滿足條件tanCABtanCABcotCBA=1cotCBA=1的拋物線的拋物線? ?若存在若存在, , 請求出拋物線的解析請求出拋物線的解析式。若不存在，請說明理由式。若不存在，請說明