同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識點與題型歸納匯總

1、第三鼎角奎礴的基本關(guān)系高考明方向1 .理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sn=tan民cosa2 .能利用單位圓中的三角函數(shù)線兀.、推導(dǎo)出2土a,冗方的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.備考知考情.一一一一一1T同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式中的冗丸2土a是圖考的熱點,題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中低檔題，主要是誘導(dǎo)公式在三角式求值、化簡的過程中與同角三角函數(shù)的關(guān)系式、和差角公式及倍角公式的綜合應(yīng)用，一般不單獨命題，在考查基本運算的同時，注重考查等價轉(zhuǎn)化的思想方法.一、知識梳理名師一號P47知識點一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：sin2cos21;商數(shù)關(guān)系：tansn-

2、cos注意：名師一號P50問題探究問題1在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中應(yīng)注意哪些技巧？利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求值時，涉及兩個同角基本關(guān)系sin2a+cos2a=1和tana=sn”,cosa它們揭示同一角a的各三角函數(shù)間的關(guān)系，需要在復(fù)習(xí)中通過解題、理解、掌握.尤其是利用sin2a+cos2a=1及變形形式sin2a=1cos2a或cos2a=1-sin2a進(jìn)行開方運算時，要注意符號判斷.知識點誘導(dǎo)公式組數(shù)*-四五角A-2ir+(1(freZ)一a(2*+1)it十a(chǎn)(teZ)TT+a一TT一a一正弦slntl-sina-51DQcosetrosa余弦CMflr-CO&Oi.-

3、sinafina正切l(wèi)anet-出口口tanaNJ口快函數(shù)名不變符號著象限函數(shù)名改變符號看象限記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限！注意：名師一號P50問題探究問題2誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”是否與a的大小有關(guān)？無關(guān)，只是把a從形式上看作銳角,從而2k兀+o(kCZ),冗+a,a,九a,?a,2+a分別是第一、三、四，二、一、二象限角.二、例題分析：(一)求值例1.(1)名師一號P50對點自測4(09全國卷I文)sin585°的值為(A)9(B)吃(C)(D)答案：A例1.(補充)(2)cos17的值為3答案：12例1.(補充)(3)tan1665的值為答案

4、：1注意：(補充)求任意角的三角函數(shù)值：負(fù)化正正化主0,2主化銳例1.(4)名師一號P51高頻考點例2(1)(2014安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)(xCR)滿足f(x+Ttf(x)+sinx.當(dāng)00x<九時，f(x)=0,貝Uf=()A.1B.坐C.0D.-2解:(1)由題意得£等，祟+而宏.Hjt1.111755,.5115=f$+sin$+sin$=f6+sin$+sin$17兀1111+sin-6-=0+2+/2練習(xí)：(補充)(2009重慶卷文)下列關(guān)系式中正確的是()A.sin110cos100sin1680B.sin1$80sin110cos100C.sin11°

5、sin1$8°cos10°D.sin1$8°cos10°sin11°【答案】Csin1$8sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80由于正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間0,90上為遞增函數(shù)，因此sin11sin12sin80,即sin11sin168cos10練習(xí)：如圖所示的程序框圖，運行后輸出結(jié)果為(A.1例2.(1)B.2680C,2010D,1340名師一號P51高頻考點例1(1)已知aCtt,3JT2,tana=2,貝Ucosa=sin民門,一、tana=TZZT=2,解:依題息得cosasin2a+cos2a=1,

6、1由此斛行8s2片5；L3冗EV5又正陽萬，因此8s片一看.法二:？利用直角三角形求解注意：（補充）三角函數(shù)求值中直角三角形的運用先根據(jù)所給三角函數(shù)值，把角看成銳角構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，求出該銳角的各三角函數(shù)值，再添上符號即可.變式1:已知a是第二象限角，tana=2,則cosa=變式2:已知tana=2,則cosa=注意：(補充)利用同角關(guān)系由正弦、余弦、正切三個中知一求二關(guān)注角終邊所在位置對三角函數(shù)值符號的影響，12練習(xí)：已知cos,求sin和tan。55【答案】當(dāng)是第一象限時，sin,tan131255當(dāng)是第四象限時，sin,tan1312例2.(2)名師一號P51高頻考點例3(1)(1

7、)記cos(80°)=k,那么tan100等于()解析因為cos(80°)=cos80°=k,所以sin80=°11cos280°=<1-k2,所以tan100=°tan800sin80cos80一k例3.(1)名師一號已知由6-=*»P51高頻考點例2(2)5例3.(2)(補充)已知cosA.冗a一二：43132則sin2a=(4、c31D.32答案：A與待求角是否滿足注意：(補充)關(guān)注已知角kZ或是倍半關(guān)系。k2與3sin26練習(xí)1:已知cos6貝Ucos562.33練習(xí)2：已知8s旗+4=3,且一<-2貝c

8、os（12a）=.22答案："3.兀1一.兀_練習(xí)3:已知sin6a=4,則sing+Za=答案8衛(wèi)一JtTT解析sin6+2a=cos26-2a=cosJtc3-2a=1-2sin26-oc=78.10練習(xí)4:對任意的a(一0°,0),總存在x0使彳Sacosx+a>0.、一.兀，.一成立，則sin(2xo6)的值為.例4.名師一號P52特色專題【典例】（1）已知sinocosa=1,且某妙會842貝Ucosasina的值為（）3333A.-B.C.-4D.4【規(guī)范解答】（1）丁52t<抬3;cosa<0,sina<0且|coso|<|sin

9、o|.、/138=4二cosasino>0.又（cosasino）2=12sin«cosa=123cosasina=2.11(2)已知sin(無a)cos(#®=貝Usinacosa=.0<九)【規(guī)范解答】2(2)由sin(無oi)cos(#o()=&.32G得sina+cosa=77,32將兩邊平萬得1+2sinocosa=G，9故2sin«cosa=-9.=1-9=又.2Vo<九,169.sino>0,coso<0.二sinacosa=43.(sinacoso)2=12sinacosa【名師點評】解決此類問題的關(guān)鍵是等式（

10、sinaicos42=1強sinocosa但要特別注意對sina+cosa,sinO-cosa,12sinocosa符號的關(guān)注.I數(shù)學(xué)思想系列之（三）sinaicosa及sinocosa間的方程思想對于sina+cosa,sinacosa,sinocosa這三個式子，已知其中的一個式子的值，可利用公式（sinaicosa）2=1及sinocosa,求其余兩式的值，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.6月19日15班講解至此例5.（補充）（2）已知sincos貝Utan-1-tan答案：82汪忠：（補充）（1）sincos12sin.cos（2）利用tan.，進(jìn)行切化弦cos涉及sincos,sincos,s

11、incos的問題常采用平方法求解例4.（3）名師一號P51高頻考點例3（2）13已知sina5=a（aw+，aw0）.求cosa+15tan11五5tana+9T十一方的值.26幾cos-a5解cos14幾a+廠5tan11a357t9-tana+5=costana-5+一一4tana5工cos5oc=sinjtsina75-=2cos-a-a-；1-a2練習(xí)：已知0,sina3-2a1a2求sinx求皿2cosx的值；空3的位cosx1tanx145175練習(xí)：已知sin,cos是方程4x24mx2m10的兩個一3.根，一2,求角.2答案：m或m11（舍去）2 253法二:2x12x2m10

12、1 1x-,xm一2 2例5.(1)名師一號P50對點自測2若tana=2,則的值為(sinacosasina+cosa15A.B.1C-3D-313-16sinacosatana121解析=sina+cosatana+12+1例5.(1)名師一號P51高頻考點例1(2)已知sn*3cos5貝jsin2asinocosa的值是()3cosasinaA.2B.-2C.-2D.255方,sina+3cosa/日tana+3門口,c解：由:;-=5,得丁二一=5,即tana=2.3cosasina3tanam2sin2asinocosa所以sin2asinocosa=.2.+c0s2&tan

13、2atana2一tan2a+15.注意：(補充)知tan的值，求關(guān)于sin、cos齊次式的值(1)利用sin2cos21;將關(guān)于sin>cos齊次整式化為關(guān)于sin、cos齊次分式，如我一也0J年csindcos(2)利用tan,進(jìn)行弦化切，cos即將關(guān)于sin、cos齊次分式的分子、分母同除以cos、cos2等轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表達(dá)式求解。周練15-16(2)16、(本小題滿分12分)已知tan2.sincoscos2-的值.11求tan2求sin一的值;4sin2i1cosaV1+cosa（二）化簡例1.（補充）化簡：1+sina4一sina1sina1+sina17分析：“脫”去根號是我們的目標(biāo)，這就希望根號下能成為完全平方式，注意到同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式，利用分式的性質(zhì)可以達(dá)到目標(biāo).1+sini1sin%=7r-;r|cosd|coso|2sin%2cos%=,；|cosd|sino|1+cos%1cos%II|sino|sina|國在第，三象限時），也在第一、四象限時I18注意：名師一號P48高頻考點例2規(guī)律方法注意：名師一號P51問題探究問