初等數(shù)論期末考試卷張

1、 . 初等數(shù)論試卷(B)一，選擇題（滿分15分，每題3分）1，下列不正確的是（ ）A 設，,若，則。B 設，,若,則.C 設，,若，則。D 設，,若，則。2，下列哪一個為模12互質(zhì)的剩余類（ ）A 2，B 5，C 6，D 3。3，下列哪一個有理數(shù)不可以化為有限小數(shù)（ ）A ，B ，C ，D 。4，同余方程的解為（ ）A ，B ，C ，D 此方程無解。5，下列哪一個同余方程組無解（ ） A ，B C ，D 。二，填空題（滿分10分，每題2分）1，當= 時，和同時成立。2，設，則 為模m的非負最小完全剩余系。3， 。4，寫出模8的一個簡化剩余系： 。5，余式等價于等式： 。三，判斷題（滿分10分，

2、每題2分 ）1，為歐拉函數(shù)，則。 （ ）2， 設，a，（a,m）=1，若整數(shù)集合為模的一個簡化剩余系，則也為模的一個簡化剩余系。 （ ）3，模的完全剩余系只有有限個。 （ ）4，循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長度為4。 （ ）5，兩整數(shù)相等，則必同余。 （ ）四，求解題（滿分30分 ）1，用“棄九法”驗算下面式子是否正確：。（）2，求所化成的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的長度。（）3，求同余方程的所有解。（）4，求同余方程組的解。（）五，證明題（滿分25分 ）1，證明：對一切正整數(shù)，都有 。（）2，設是兩個大于的質(zhì)數(shù)，證明：（）3，求證：當為奇數(shù)時，。（）初等數(shù)論考試試卷1一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、如果，

3、則( ).A B C D 2、如果，則15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定4、如果,是任意整數(shù),則A B C T D 5、如果( ),則不定方程有解.A B C D 6、整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或9二、填空題(每題3分，共18分)1、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要條件是( ).3、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).4、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( ).5、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( ).

4、6、如果是兩個正整數(shù),則存在( )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素數(shù). （8分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)1、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).2、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.3、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.試卷1答案一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空題(每題3分，共18分)1、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要條件是().3、如果是兩個正整數(shù),則不

5、大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).4、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( 與互素 ).5、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( 倍數(shù) ).6、如果是兩個正整數(shù),則存在( 唯一 )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391=1768,391 = =104391=40664.2、求解不定方程.（8分） 解：因為（9，21）=3，所以有解；化簡得；考慮，有， 所以原方程的特解為，因此，所求的解是。 3、解同余式. （8分）解 因為(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. 又同

6、余式等價于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3),即定理4.1中的. 因此同余式的3個解為, ,.4、求,其中563是素數(shù). （8分）解 把看成Jacobi符號,我們有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)1、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因為=, -（3分）而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以從和有,-（3分）即是整數(shù). -（1分）2、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.

7、 （11分） 證明 因為, -（3分）所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,±1,±2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和. （11分） 證明 設是正數(shù),并且, -（3分）如果, -（1分）則因為對于模4,只與0,1,2,-1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, -（4分）而這與的假設不符, -（2分）即定理的結(jié)論成立. -（1分）一、單項選擇題1、（

8、C ）.A B C D 02、如果，則(D ).A B C D 3、如果，則=（C ）.A B C D 4、小于30的素數(shù)的個數(shù)（A ）.A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素數(shù)有（ C ）.A 4個 B 5個 C 6個 D 7個6、如果，則15（A ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定7、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（C ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定二、計算題1、 求24871與3468的最大公因數(shù)?解： 24871=34687+595 3468=5955+493 595=4931+102 493=1024+85102=851+17 85=175,所

9、以,(24871,3468)=17.2、 求24871,3468=?解：因為（24871,3468）=17 所以 24871,3468= =5073684 所以24871與3468的最小公倍數(shù)是5073684。3、求136,221,391=?解： 136,221,391=136,221,391=1768,391= =104391=40664.三、證明題1、 如果是兩個整數(shù),則存在唯一的整數(shù)對,使得,其中.證明 ：首先證明唯一性.設,是滿足條件的另外整數(shù)對,即,.所以,即,.又由于,所以.如果,則等式不可能成立.因此,. 其次證明存在性.我們考慮整數(shù)的有序列,則整數(shù)應介于上面有序列的某兩數(shù)之間,

10、即存在一整數(shù)使.我們設,則有,. 2、 證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). 證明： 因為=, 而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), 并且(2,3)=1, 所以從和有,即是整數(shù). 3、 任意一個位數(shù)與其按逆字碼排列得到的數(shù)的差必是9的倍數(shù). 證明： 因為 , =, 所以,-= 而上面等式右邊的每一項均是9的倍數(shù), 于是所證明的結(jié)論成立. 4、 證明相鄰兩個偶數(shù)的乘積是8的倍數(shù).證明: 設相鄰兩個偶數(shù)分別為 所以= 而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù) 即是8的倍數(shù). 一、單項選擇題1、如果( A ),則不定方程有解.A B C D 2、不定方程（A ）.A 有解 B 無解 C

11、有正數(shù)解 D 有負數(shù)解 二、求解不定方程1、.解：因為（9，21）=3，所以有解； 化簡得； 考慮，有， 所以原方程的特解為， 因此，所求的解是。 2、.解：因為 ,所以有解; 考慮,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因為（107，37）=1，所以有解； 考慮，有， 所以，原方程特解為=225，=-650， 所以通解為 4.求不定方程的整數(shù)解.解 我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因為25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面兩個方程的解分別為 , .消去t就得到所求的解,這里是任意整數(shù).

12、5.求不定方程的整數(shù)解.解 我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因為4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面兩個方程的解分別為 , .消去t就得到所求的解,這里是任意整數(shù).一、選擇題1、整數(shù)5874192能被( B )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或92、整數(shù)637693能被(C )整除.A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非負完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整數(shù),則（A

13、）A B C T D 二、解同余式（組）（1）.解 因為(45,132)=3¦21,所以同余式有3個解. 將同余式化簡為等價的同余方程.我們再解不定方程, 得到一解(21,7).于是定理4.1中的.因此同余式的3個解為, , . （2）解 因為(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. 又同余式等價于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3個解為, ,.（3）.解 因為(111,321)=3¦75,所以同余式有3個解. 將同余式化簡為等價的同余方程. 我們再解不定方程,得到一解(-8,3)

14、. 于是定理4.1中的. 因此同余式的3個解為, , . （4）.解 因為(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我們先解同余式,得到.于是所求的解為（5）. (參考上題)三、證明題1、 如果整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).證明 設是一正整數(shù),并將寫成10進位數(shù)的形式:=,. 因為100(mod5), 所以我們得到 所以整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù). 2、證明當是奇數(shù)時，有.證明 因為,所以. 于是,當是奇數(shù)時,我們可以令.從而有, 即. 初等數(shù)論考試試卷1一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、如果，則( ).A B C D 2、如果，則15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等

15、于 D不一定3、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定4、如果,是任意整數(shù),則A B C T D 5、如果( ),則不定方程有解.A B C D 6、整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或9二、填空題(每題3分，共18分)1、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要條件是( ).3、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).4、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( ).5、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( ).6、如果是兩個正整數(shù),則存在( )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)

16、1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素數(shù). （8分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)1、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).2、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.3、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.試卷1答案一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空題(每題3分，共18分)1、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要條件是().3、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).4、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除

17、或者( 與互素 ).5、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( 倍數(shù) ).6、如果是兩個正整數(shù),則存在( 唯一 )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)2、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391=1768,391 = =104391=40664. 2、求解不定方程.（8分） 解：因為（9，21）=3，所以有解；化簡得；考慮，有，所以原方程的特解為，因此，所求的解是。3、解同余式. 解 因為(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. 又同余式等價于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3)即定理4.1中的.

18、 因此同余式的3個解為, , .4、求,其中563是素數(shù). （8分）解 把看成Jacobi符號,我們有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)1、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因為=, -（3分）而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以從和有,-（3分）即是整數(shù). -（1分）2、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除. （11分） 證明 因為, -（3分）所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由-2,

19、-1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,±1,±2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和. （11分） 證明 設是正數(shù),并且, 如果,則因為對于模4,只與0,1,2,-1等同余,所以只能與0,1同余,所以, 而這與的假設不符, 即定理的結(jié)論成立. 初等數(shù)論考試試卷二一、單項選擇題 1、（ ）.A B C D 02、如果，則=（ ）.A B C D 3、小于30的素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果,是任意整數(shù),則A B C T D 5、不定方程（ ）.A 有解 B 無解 C 有正數(shù)解 D 有負數(shù)解 6、整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或97、如果，則( ).A B C D 8、公因數(shù)是最大公因數(shù)的（ ）.A 因數(shù) B 倍數(shù) C 相等 D不確定9、大于20且小于40的素數(shù)有（ ）.A 4個 B 5個 C 2個 D 3個10、模7的最小非負完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,