五年級(jí)舉一反三-第33講-包含與排除(容斥原理)

1、第33周 包含與排除（容斥原理）專題簡(jiǎn)析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個(gè)集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個(gè)數(shù)字集合。組成集合的每個(gè)事物稱為這個(gè)集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個(gè)集合，每一個(gè)學(xué)生都是這個(gè)集合的元素，數(shù)字集合中有10個(gè)元素。兩個(gè)集合中可以做加法運(yùn)算，把兩個(gè)集合A、B合并在一起，就組成了一個(gè)新的集合C。計(jì)算集合C的元素的個(gè)數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)加在一起，再“排除”A、B兩集合的公共元素的個(gè)數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=ABAB。在解包含與排除問(wèn)題時(shí)，要善于使用

2、形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語(yǔ)言不易表達(dá)清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進(jìn)行計(jì)算。例1 五年級(jí)96名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有64人訂了少年報(bào)，有48人訂了小學(xué)生報(bào)。兩種報(bào)紙都訂的有多少人？ 分析 用左邊的圓表示訂少年報(bào)的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報(bào)的48人，中間重疊部分表示兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計(jì)了兩次：6448=112人，比總?cè)藬?shù)多11296=16人，這16人就是兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。練 習(xí) 一1，一個(gè)班的52人都在做語(yǔ)文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有32人做完了語(yǔ)文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2，五年級(jí)有1

3、22人參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語(yǔ)文得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？3，某班有50名學(xué)生，在一次測(cè)驗(yàn)中有26人滿分，在第二次測(cè)驗(yàn)中有21人滿分。如果兩次測(cè)驗(yàn)都沒(méi)得過(guò)滿分的學(xué)生有17人，那么，兩次測(cè)驗(yàn)都得滿分的有多少人？例2：某校教師至少懂得英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一種語(yǔ)言。已知有35人懂英語(yǔ)，34人懂日語(yǔ)，兩種語(yǔ)言都懂的有21人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？分析 把懂英語(yǔ)和懂日語(yǔ)的人數(shù)加起來(lái)得3534=69人，但是，兩種語(yǔ)言都懂的21人被統(tǒng)計(jì)過(guò)兩次，應(yīng)該從69里去掉一個(gè)21才能得出這個(gè)地區(qū)外語(yǔ)教師的總?cè)藬?shù)：6921=48人。練 習(xí) 二1，某校的每個(gè)學(xué)生至

4、少愛(ài)體育和文娛中的一種活動(dòng)。已知有900人愛(ài)好體育活動(dòng)，有850人愛(ài)好文娛活動(dòng)，其中260人兩種活動(dòng)都愛(ài)好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生多少人？2，某班在一次測(cè)驗(yàn)中有26人語(yǔ)文獲優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有12人，另外還有8人語(yǔ)文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個(gè)班共有多少人？3，第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有15人，做對(duì)第二題的有10人，兩題都做對(duì)的有7人，兩題都做錯(cuò)的有2人。第一小組共有多少人？例3：學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個(gè)小組都參加的有25人。問(wèn)這250名同學(xué)中，象棋組、

5、乒乓球組都不參加的有多少人？分析 兩個(gè)小組都參加的有25人，因此，至少參加這兩種小組的一個(gè)小組的人數(shù)是848625=144人，所以，這兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)是250144=106人。練 習(xí) 三1，五年級(jí)有250人，其中參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個(gè)小組都參加的有25人。兩個(gè)小組都不參加的有多少人？2，五（1）班有50人，在一次測(cè)試中，語(yǔ)文90分以上的有30人，數(shù)學(xué)90分以上的35人，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都在90分以上的有20人。兩科都在90分以下的有多少人？3，老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分以上的有25人，語(yǔ)文得90分以上的有21人，兩科中至少有一科在90分以上的有38人。兩科都

6、在90分以上的有多少人？例4 實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有12人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？分析 由“16人不是四年級(jí)的”可知：16人是五年級(jí)和其他年級(jí)的；由“12人不是五年級(jí)的”可知：12人是四年級(jí)和其它年級(jí)的。用1612可算出四年級(jí)加五年級(jí)以及兩個(gè)其它年級(jí)的人數(shù)和，再減去20就得兩個(gè)其他年級(jí)的人數(shù)，這樣其他年級(jí)的人數(shù)是：（161220）÷2=4人，該校參加書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是420=24人。練 習(xí) 四1，五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)

7、的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有32名，求五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有多少名？2，少年樂(lè)團(tuán)學(xué)生中有170人不是五年級(jí)的，有135人不是六年級(jí)的，已知五、六年級(jí)的共有205人，求少年樂(lè)團(tuán)中五、六年級(jí)以外的學(xué)生共有多少人？3，六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有24朵不是紅色的，有20朵不是黃色的，已知紅花和黃花一共有18朵，其他顏色的花一共做了多少朵？例5 在100個(gè)外語(yǔ)教師中，懂英語(yǔ)的有75人，懂日語(yǔ)的有45人，其中必然有既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的老師。問(wèn)：只懂英語(yǔ)的老師有多少人？分析 顯然，兩種語(yǔ)言都懂的人在懂英語(yǔ)的75人中統(tǒng)計(jì)過(guò)一次，在懂日語(yǔ)的45人中又統(tǒng)計(jì)過(guò)一次。因此，7545=120人，比100多出

8、的20人就是兩種語(yǔ)言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語(yǔ)的75人中減去兩種語(yǔ)言都懂的20人，就是只懂英語(yǔ)的人數(shù)了：7520=55人。練 習(xí) 五1，40人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題。已知做對(duì)第一題的有30人，做對(duì)第二題的有21人。只做對(duì)第一題的有多少人？2，五年級(jí)122名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語(yǔ)文65人得優(yōu)，數(shù)學(xué)78人得優(yōu)，求只有語(yǔ)文一門得優(yōu)的人數(shù)。3，全班46名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有28人，會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有10人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打羽毛球的有6人。僅會(huì)打羽毛球的有多少人？他為分公司培養(yǎng)出了魯付凱、孫垚、徐童晨、肖大鵬四名測(cè)量員，他們現(xiàn)在個(gè)個(gè)都能獨(dú)當(dāng)

9、一面。當(dāng)突然得知自己面臨死亜時(shí)，人們也許會(huì)想“為什么恰巧是我”，會(huì)愴恨命運(yùn)癿天平為何沒(méi)有偏向自己。猝丌及防癿“死亜判決書”桌上放著一本白色封面的特殊書籍，上面寫著中華人民共和國(guó)監(jiān)察法。金色的國(guó)徽熠熠閃光，鮮艷得足以讓人感受到一種責(zé)任就在心底深處緩緩暈開warmly, welcoming us to join forces, and saw my fill of . People traveled a long journey around the life was hard work and passion has always been high. Six months later, whe

10、n we moved to new, I suddenly suffering from malaria, joint pain, reduced mobility, which often eat salted vegetable soup with six months, poor nutrition, sleep shop, cold wet bone a lot. Comrades, according to report to their superiors, Special Branch Director Guo Zeming Wuzhen to appoint expatriat

11、es hired a boat ship to accompany me back to the village. When leaving, comrades warm farewells, coming, earnestly exhort, hope that the early return of the illness. 2, the second year of the war all fall into enemy hands, the main town in Wujiang, diwei groups have been set up, shameless traitor, t

12、hief as you recognize, while fiddling with the people suffered. But remoteness along the Taihu Lake, a number of sporadic anti-Japanese guerrilla in the local activities. After the fall of song Ling Zhen, Wujiang County Government moved in Tomb in Nan Xiang Zhang Aocun, a market stood in the vicinit

13、y of the temple. Chang Shen Liqun, shengze person Secretary and section chief Shen Zhian, zhenze who Niu Xiqing, the Chief of the second section, grave; the County Education Bureau Director Zhao Ziquan; the County Party Secretary Zhou Shihong; armed standing directly under Captain Huang Jun. Also appointed district head, flow working separately in each country. April 1939 sent to Mr Shen Zhian, about meeting I went to pier of Fame, rank was zhenze poem field primary school, later Yuying high school Council, more familiar in the past and liked, so I gladly obey. Rank wants me in there t