第二章-5 恒定電場

1、12-9 恒定電流場恒定電流場n1 電流和電流密度電流和電流密度n2 恒定電流場方程恒定電流場方程n3 恒定電流場邊界條件恒定電流場邊界條件n4恒定電流場和靜電場恒定電流場和靜電場n5恒定電流場的能量恒定電流場的能量靜電場中的導體：靜電場中的導體：0DEC導體中電荷分布不變，分布保持恒定的電荷產(chǎn)生的電場。導體中電荷分布不變，分布保持恒定的電荷產(chǎn)生的電場。bupt 201220limtqdqItdt 1. 電流強度電流強度：單位時間流過某：單位時間流過某橫截面的電荷量。安培（橫截面的電荷量。安培（A）2 電流密度電流密度：描述電流的空間分布。：描述電流的空間分布。單位時間內(nèi)垂直穿過的單位單位時間

2、內(nèi)垂直穿過的單位面積的電量。安面積的電量。安/米米2（A/m2）SIJ dS 電流強度是電流密度的通量：電流強度是電流密度的通量：(單位時間的電荷量單位時間的電荷量)00/limlimstqtJnS 電流電流：電荷的定向移動形成電流，方向為正電荷運動的方：電荷的定向移動形成電流，方向為正電荷運動的方向。向。 分分傳導電流傳導電流及及位移電流位移電流。一、一、 電流和電流密度電流和電流密度電流密度：體電流密度矢量電流密度：體電流密度矢量 （單位（單位 A/m2）、面電流密度）、面電流密度（單位（單位 A/m），線電流密度等情況。），線電流密度等情況。 J sJ bupt 20123n體電流密度矢

3、量體電流密度矢量J 為垂直穿過單位面積的電流。為垂直穿過單位面積的電流。 數(shù)值為數(shù)值為 A/m2，方向為電流的方向。，方向為電流的方向。通過任意曲面的電流為：通過任意曲面的電流為： ddIJSJdSdSIJS體電流密度體電流密度bupt 20124n面電流密度矢量面電流密度矢量Js（單位（單位 A/m）為為垂直穿過垂直穿過單位單位線段的電流。線段的電流。 面電流密度面電流密度ddsIJl數(shù)值為數(shù)值為 A/m，方向為電流的方向。，方向為電流的方向。 SJdl通過任意曲線通過任意曲線l 的電流的電流的電流為的電流為 dSSIJl線電流密度線電流密度: : 即是線電流本身。即是線電流本身。 53 歐

4、姆定律歐姆定律EJ)(1mESJSlSIElUIRU EJ 歐姆定理的推導：歐姆定理的推導：SlIIRSdJIS歐姆定理微分式：歐姆定理微分式：導體任一點上電流密度與電場強度成正比。導體任一點上電流密度與電場強度成正比。 )/1(m 是媒質(zhì)的是媒質(zhì)的電導率電導率，單位，單位 1/歐歐.米米 描述媒質(zhì)的導電特性，理想導體描述媒質(zhì)的導電特性，理想導體為趨于無窮大。為趨于無窮大。lSJE6n電流密度與電荷平均速度的關(guān)系：電流密度與電荷平均速度的關(guān)系：vJdt時間內(nèi)流過時間內(nèi)流過S面的電量及電流分別為：面的電量及電流分別為：dtvSdqvSI dtvSvJ7二、二、 恒定電流場方程恒定電流場方程1 電

5、流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程2 基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律81 電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程： tqSdJSdVJSdJVS0)(VdVtJ0tJ0t0 JdVtV恒定電流場，駐立電荷的空間分布不隨時間變化。恒定電流場，駐立電荷的空間分布不隨時間變化。0SSdJ 電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程：電荷守恒定理電荷守恒定理：在單位時間從任意閉和曲面流出的電：在單位時間從任意閉和曲面流出的電量等于此閉和曲面包圍體積中電荷的減少率。量等于此閉和曲面包圍體積中電荷的減少率。電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程：恒定電場沒有散度源，電流無頭無尾，自行閉合。恒定電場沒有散度源，電流無頭無尾，自行閉合。9 2

6、 基爾霍夫電流定律：基爾霍夫電流定律：設(shè)電路中一節(jié)點為設(shè)電路中一節(jié)點為a，在它，在它周圍作一個小的閉和曲面：周圍作一個小的閉和曲面：0SdJSa1J2J3J0332211321SdJSdJSdJSSS0321III103. 導電媒質(zhì)中的恒定電場導電媒質(zhì)中的恒定電場恒定電流連續(xù)性方程的微分形式恒定電流連續(xù)性方程的微分形式 0 J0EEE 0 均勻媒質(zhì)：0 E在均勻?qū)w內(nèi)部雖然有恒定電流在均勻?qū)w內(nèi)部雖然有恒定電流, 但沒有靜電荷但沒有靜電荷, 恒定電荷（恒定電荷（靜電靜電荷荷）只能分布在導體的表面上。）只能分布在導體的表面上。（1） 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中恒定電場的無散性均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中恒定電場的無散性1

7、1J導體中的恒定電場分析導體中的恒定電場分析在靜電場中的在靜電場中的導體導體：若內(nèi)部無恒定電流，若內(nèi)部無恒定電流，導體導體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)電場抵消原電場，內(nèi)部總電場為零。荷激發(fā)的感應(yīng)電場抵消原電場，內(nèi)部總電場為零。若內(nèi)部有恒定電流，若內(nèi)部有恒定電流，導體導體表面的感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)表面的感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)電場無法抵消原電場，內(nèi)部電場不為零，這種由恒定電場無法抵消原電場，內(nèi)部電場不為零，這種由恒定電流引發(fā)的電場稱為恒定電場。電流引發(fā)的電場稱為恒定電場。EE12靜電場和恒定電場：靜電場和恒定電場：q靜電場一般指靜電場一般指絕緣介質(zhì)絕緣介質(zhì)中的靜電場；恒定

8、電場是中的靜電場；恒定電場是導導體體中的靜電場。二者本質(zhì)相同。中的靜電場。二者本質(zhì)相同。q媒質(zhì)對靜電場的影響主要通過媒質(zhì)對靜電場的影響主要通過介質(zhì)介質(zhì)的極化；媒質(zhì)對的極化；媒質(zhì)對恒定電場的影響主要通過電流。恒定電場的影響主要通過電流。q維持靜電場不需要外部能量；要維持恒定電場，必維持靜電場不需要外部能量；要維持恒定電場，必須維持恒定電流，有焦耳損耗。須維持恒定電流，有焦耳損耗。13（2） 恒定電場的無旋性恒定電場的無旋性在導體內(nèi)部電荷分布保持恒定（類似于靜電荷）在導體內(nèi)部電荷分布保持恒定（類似于靜電荷）, 電場分布也為電場分布也為恒定恒定。 不變電荷產(chǎn)生的穩(wěn)恒場不變電荷產(chǎn)生的穩(wěn)恒場，所以恒定電

9、場與靜電場相同。，所以恒定電場與靜電場相同。0E恒定電場也是位場。恒定電場也是位場。這個特性只在電源外的導體中滿足。這個特性只在電源外的導體中滿足。在電源內(nèi)部在電源內(nèi)部, 不僅有電荷產(chǎn)生的電場（不僅有電荷產(chǎn)生的電場（庫侖場）庫侖場）, 還有其它局外還有其它局外電場（非靜電力，電場（非靜電力，非庫侖場非庫侖場) ) 。 lldE014(3) 均勻介質(zhì)中恒定電場的電位均勻介質(zhì)中恒定電場的電位在電源外的導體內(nèi)：在電源外的導體內(nèi)：0, 0EJEJ0)(2E電源外的導體內(nèi)電源外的導體內(nèi), 電位函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。電位函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。 電源內(nèi)部：電源內(nèi)部：EEJEEJdlEdlEdlJllld

10、lEdlEdlEdlSIllll基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律電動勢電動勢15(4) 導電媒質(zhì)中的能量損耗（課本導電媒質(zhì)中的能量損耗（課本2.11.5節(jié)）節(jié)）自由電子的碰撞產(chǎn)生能量損失，由外電場做功補充能量。自由電子的碰撞產(chǎn)生能量損失，由外電場做功補充能量。ddddddddWqElPI ElJ E l SttJ E V EJp單位體積功率損耗：22/PpSlSJ lEIUI RUR焦耳定律16 例例 4.1 直徑為直徑為2mm的導線的導線, 每每100 m長的電阻為長的電阻為1 , 當導線中通過當導線中通過電流電流20 A時時, 試求導線中的電場強度。如果導線中除有上述電流通試求導線中的電場

11、強度。如果導線中除有上述電流通過外過外, 導線表面還均勻分布著面電荷密度為導線表面還均勻分布著面電荷密度為s=510-12(C/m2)的的電荷電荷, 導線周圍的介質(zhì)為空氣導線周圍的介質(zhì)為空氣, 試求導線表面上的場強大小和方向試求導線表面上的場強大小和方向。 解解 (1) 在導體內(nèi)部只存在在導體內(nèi)部只存在Et。 20 10.2/100tttE dlE lIRIREV ml,SlRSIJE2 . 0lIRE或者： 17(2) 因為在導體表面存在恒定電荷因為在導體表面存在恒定電荷, 所以產(chǎn)生的場強是所以產(chǎn)生的場強是 565. 01085. 8105121200snnDE導體表面上總的場強為導體表面上

12、總的場強為 565. 022ntEEE電場強度與導體表面法向的夾角為電場強度與導體表面法向的夾角為 5 .19ntEEarctga18 例例 4.2 設(shè)有一同心金屬球設(shè)有一同心金屬球, 內(nèi)外球體之間均勻充滿兩層電導率分內(nèi)外球體之間均勻充滿兩層電導率分別為別為1和和2的導電媒質(zhì)的導電媒質(zhì), 1、2遠小于金屬球的電導率。遠小于金屬球的電導率。 12, 為為常數(shù)。導體球及導電媒質(zhì)的半徑如圖所示。常數(shù)。導體球及導電媒質(zhì)的半徑如圖所示。內(nèi)外球間加有直流電壓內(nèi)外球間加有直流電壓U0, 極性極性如圖。試求兩區(qū)域中恒定電場的如圖。試求兩區(qū)域中恒定電場的電流、電流、 電流密度、電場強度及電流密度、電場強度及電位

13、的分布。電位的分布。 19 解解: 設(shè)流過兩區(qū)域的任一同心球面的電流為設(shè)流過兩區(qū)域的任一同心球面的電流為I。 則兩區(qū)域中任一則兩區(qū)域中任一點的電流密度為點的電流密度為 rrIJ42導電媒質(zhì)和導電媒質(zhì)中的電場強度分別為 rrIJErrIJE4, 422222111bcIcaIdrEdrEUbcca114114212102014111111UIacab20將將I分別代入分別代入J、E1和和E2的表示式的表示式, 即得到兩個區(qū)域中的電流密度即得到兩個區(qū)域中的電流密度和電場強度。和電場強度。取外金屬球為電位參考點取外金屬球為電位參考點, 則區(qū)域則區(qū)域(arc)中任一點的電位是中任一點的電位是 1121

14、2111144cbrcIIE drE drrccb區(qū)域(crb)中任一點的電位是 221114brIE drrb21 例例 4.3 一同軸電纜內(nèi)導體半徑為一同軸電纜內(nèi)導體半徑為a, 外導體內(nèi)半徑為外導體內(nèi)半徑為b, 內(nèi)外導體間內(nèi)外導體間填充一種介電常數(shù)為填充一種介電常數(shù)為、電導率為、電導率為的電介質(zhì)材料的電介質(zhì)材料, 如圖。試計算同如圖。試計算同軸電纜軸電纜單位長度單位長度的絕緣電阻的絕緣電阻R1。 式中式中dl為沿電流方向的長度元為沿電流方向的長度元, S是垂直是垂直于電流方向的面積于電流方向的面積, 它可能是坐標變量它可能是坐標變量的函數(shù)的函數(shù), 所以所以 )/(12121mabndRba

15、lSdlR解1：22解解2：假設(shè)同軸電纜內(nèi)外導體間加一直流電壓假設(shè)同軸電纜內(nèi)外導體間加一直流電壓U, 并考慮軸對稱并考慮軸對稱, 故沿徑向流過同一圓柱面的漏電流密度相等故沿徑向流過同一圓柱面的漏電流密度相等: 12IJ2IJEabnIIdEUbaba122則單位長度絕緣電阻是 abnIUR1211 (/m) 23三、恒定電場的邊界條件三、恒定電場的邊界條件 021sJsJsdJnSn所以所以 nnJJ21又由又由Jn=En 和和 E = -,12112212,nnEEnn電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程：lldE0ttEE21ttJJ21122211ttJJ參考靜電場相關(guān)邊界條件的分析方法參考靜

16、電場相關(guān)邊界條件的分析方法 242211222111sinsincoscosEEEE上兩式相除得上兩式相除得 2121tgtg此式表明分界面上電流線和電場線發(fā)生曲折。此式表明分界面上電流線和電場線發(fā)生曲折。 12J1J21225四、四、 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬J：D， ： ， I ：Q，G：C26例如兩導體電極間的電容為例如兩導體電極間的電容為 111222111SSSSdVEdVE dsQCUE dlE dlE dl兩導體電極間的電導為兩導體電極間的電導為 211211dlEdsEdlEdsJUIGSS1211SdsEdlEGRGC且 27例例 4.4 試計算如圖所示的

17、深埋在地下的銅球的接地電阻試計算如圖所示的深埋在地下的銅球的接地電阻, 設(shè)銅球設(shè)銅球的半徑為的半徑為a。 解解:rrIJ42大地中任一點的電流密度為大地中任一點的電流密度為 電場強度為 rrIJE42aIrdrIdrEUaa4421( )4URIa式中是土壤的電導率。 28聯(lián)合接地聯(lián)合接地-形成均壓體形成均壓體聯(lián)合接地后，接地電阻很小，聯(lián)合接地后，接地電阻很小，P點電位低。點電位低。VA、VB降低，降低，防止電位反擊防止電位反擊VAIR1R2RRGVBP29接地器接地電阻 21 2RRa 例例4.5 4.5 淺埋半球形接地器淺埋半球形接地器aGaCGC44,解：考慮地面的影響用鏡像法解：考慮地

18、面的影響用鏡像法處理。此時由處理。此時由靜電比擬靜電比擬圖2.5.6 淺埋半球形接地器adrrqqUqCa441230為保護人畜安全起見OUU （危險電壓取40V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，在電力系統(tǒng)的接地體附近，要注意危險區(qū)要注意危險區(qū)。002UIbX相應(yīng)為危險區(qū)半徑例例 4.6 4.6 跨步電壓跨步電壓半球形接地器的危險區(qū)半球形接地器的危險區(qū)bxxbxxbIrIdrrIU)(2)1(222bxx以以淺埋半球接地器淺埋半球接地器為例為例222,2rIJErIJ31n例例4.7 雙線傳輸線的導線半徑為雙線傳輸線的導線半徑為a，兩軸線的距離為，兩軸線的距離為d，傳輸線周圍的介質(zhì)電導率為，傳輸線周圍的介質(zhì)電導率為 。求雙線單位長度。求雙線單位長度的漏電導。的漏電導。解：設(shè)解：設(shè)da，導線電荷密度為，導線電荷密度為22()Erdr22()d ad ad aaaaUEdrdrdrrdrlnlnln22daadadaalnqCdUUalnGdad32 例例4.8 一同軸電纜內(nèi)導體半徑為一同軸電纜內(nèi)導體半徑為a, 外導體內(nèi)半徑為外導體內(nèi)半徑為b, 內(nèi)外導體間內(nèi)外導體間填充兩種填充兩種1、1，2、2的電介質(zhì)材料的電介質(zhì)材料, 介質(zhì)分界面半徑為介質(zhì)分界面半徑為 c ，內(nèi)，內(nèi)外導體的電壓為外導體的電壓為U0。試計算。試計算（1）介質(zhì)中的電場強度；）