三角形中的中點(diǎn)問題

1、三角形中有關(guān)“中點(diǎn)問題”是幾何中最常見的重要問題之一，而有關(guān)中點(diǎn)的定理散見于各章節(jié)。三角形中的中點(diǎn)問題例1：如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，求證：AB=AC.分析：在ABC中，AD是BAD=CAD,AD=AD,BD=CD三個(gè)條件，但不能直接推出ABD和ACD全等，注意到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即AD是ABC的中線，可嘗試常用的輔助線添設(shè)“中線倍長(zhǎng)”。講評(píng)：一見到三角形一邊（即AB邊）上的中線，就應(yīng)該想到，可以試試將該中線延長(zhǎng)一倍，這樣就把原先成叉狀的三條線段（有共同端點(diǎn)的兩條邊（即BC邊），（即CA邊）和中線（即CD邊）整合到一個(gè)三角形中（在該三角形中，原中線以兩倍的

2、形式出現(xiàn)），由此可得出一些結(jié)論：例2：如圖，在ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E，則DE等于（）A、B、C、D、講評(píng)：由于等腰三角形具有頂角平分線、底邊上的中線及底邊上的高線三線合一的性質(zhì)，因此若是題目給了等腰三角形底邊中點(diǎn)的條件，通常情況下應(yīng)該作出底邊上的中線，那么它不僅是底邊上的中線，而且是底邊上的高，頂角平分線，這樣就能把等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形。例3.如圖，在ABC中，BD、CE為高，M是DE的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證:MNDE.分析：可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察：有幾個(gè)直角三角形？然后容易看出N是某兩個(gè)直角三角形公共斜邊的中點(diǎn)。講評(píng)：如果題目中

3、有直角三角形斜邊中點(diǎn)的條件，那么最好的最好的輔助線是作出斜邊上的中線。例4：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、BC與MN的延長(zhǎng)線分別交于E、F。求證：AEC=BFM.分析：待證的兩個(gè)角ANE、BFM的位置“參差不齊”，勢(shì)必要換成等角進(jìn)行過濾，本題中雖有中點(diǎn)條件，但明顯沒有等腰三角形、直角三角形，因此考慮利用三角形中位線定理來解決問題。講評(píng)：已知兩個(gè)中點(diǎn)，常常另找第三個(gè)中點(diǎn)，由此可得到兩條中位線，而這個(gè)“第三者”的尋找有一定的難度，一般說，要有利于已知條件的集中，本題雖有AD=BC，但它們是“散”的；要有利于待證對(duì)象的集中，本題兩個(gè)角的位置“參差不齊”

4、的。例5：如圖，在ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF，求證：BE+CF>EF.分析：待證的線段BE、CF、EF太分散，要設(shè)法集中，簡(jiǎn)單的平移，顯然不行，那么可以不可以將它們折半后集中呢？可試試中位線。例6：如圖，在等腰三角形ABCD中，CDAB,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,ACD=60°，點(diǎn)S、P、Q分別是DO、AO、BC的中點(diǎn)，求證：SPQ是等邊三角形。小結(jié)：初中數(shù)學(xué)中涉及三角形中有關(guān)中點(diǎn)的定理主要有三條：（1）等腰三角形的三線合一；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）三角形的中位線定理。2.涉及三角形中有關(guān)中點(diǎn)問題，常規(guī)的思路有：（1）先看和中點(diǎn)相關(guān)的三角形是不

5、是特殊三角形？一見等腰三角形的底邊的中點(diǎn)，可以考慮利用定理等腰三角形的三線合一解決問題；一見直角三角形的斜邊上的中點(diǎn)，可以考慮利用定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解決問題；（2）如果和中點(diǎn)相關(guān)的三角形不是特殊三角形，那么通常的手法有：將中線延長(zhǎng)一倍“中線倍長(zhǎng)”；取另一邊的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理解決問題，另一邊的中點(diǎn)的選取有兩個(gè)原則；有利于已知條件的集中，有利于待證對(duì)象的集中。3.在不能用平移等方法直接將線段集中打一個(gè)三角形中時(shí)，可以考慮將線段“折半”后集中，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，都有“折半”的功能。練習(xí)：1.如圖，在ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰三角形。2.如圖，在ABC中，AD是三角形BC邊上的中線，求證：.3.如圖，在ABC中，AD是三角形的高，B=2C,E為BC的中點(diǎn)，求證：DE=AB.4.如圖，以ABC的ABAC為斜邊向形外作RtABE和RtACF，且使ABE=ACF,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：DE=