一階隱式微分方程及其參數(shù)表示ppt課件

1、2.4 2.4 一階隱式微分方程及其參數(shù)表示一階隱式微分方程及其參數(shù)表示/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/0),(yyxF),(yxfy 變量分別、線(xiàn)性、恰當(dāng)方程等能解出y轉(zhuǎn)化),(yxfy),(yyfx0),(yxF0),(yyF0),(yyxF不能解出 或解出方式復(fù)雜y轉(zhuǎn)化引進(jìn)參數(shù)變量變換熟練掌握2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation一、 能解出 y (或 x )的方程 (2.1 4.1)( ,) dyyf xdx這里假設(shè)函數(shù) 有延續(xù)的偏導(dǎo)

2、數(shù)。),(dxdyxf解法：引進(jìn)參數(shù)解法：引進(jìn)參數(shù) ，那么，那么(2.4.1)(2.4.1)變?yōu)樽優(yōu)?Pdxdy( ,) (2.4.2)yf x p兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，并把 代入，得dxdyp ) 3 . 4 . 2( dxdppfxfp pfxfpdxdp關(guān)于 x 和 p 顯式方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 假設(shè)已得出(2.4.3)的通解方式為, 代入(2.4.2)得),(cxp),(,(cxxfy就是(2.4.1)的通解。(ii) 假設(shè)得出(2.4.3)通解方式為 ，那么原方程(2.4.1),(cpx有

3、參數(shù)方式的通解),(),(pcpfycpx其中 p 是參數(shù)，c為恣意常數(shù)。(iii) 假設(shè)求得(2.4.3)通解方式 ，那么原方程(2.4.1)0),(cpx),(0),(pxfycpx其中p是參數(shù),c為恣意常數(shù)。有參數(shù)方式通解 ),(pxfy 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 2 ( (2.4 4),.)dyxf ydx解法解法pdxdy)5 . 4 . 2( ),(pyfx 兩邊對(duì) y 求導(dǎo) dydppfyfp1(2.4.6) pfyfpdydp1假設(shè)求得為0),(cpy那么(2.4.4)的通解為0),(),

4、(cpypyfx),(,(cyyfx假設(shè)求得為),(cyp那么(2.4.4)的通解為2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation02)(3ydxdyxdxdy解法解法1 1： 解出 y pdxdy令得xppy23兩邊對(duì) x 求導(dǎo)pdxdpxdxdppp2232例例1 1求解方程0232pdxxdpdpp當(dāng)0p時(shí)，上式乘以 p，得02323dxpxpdpdpp積分，得cxpp24432.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2443ppcx將它代入xppy

5、23ppcpy)43(243因此，方程參數(shù)方式通解)0(21243322pppcyppcx當(dāng) p=0 時(shí), 由xppy23可知，y=0也是方程的解。解出 x，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解法解法2 2：解出 x，并把 ，得pdxdy)0(23pppyx兩邊對(duì) y 求導(dǎo)2322)()31 (1pdydppydydpppp023dppydppdycpyp42ppcy2424344322ppcppppcx所以，方程的通解為:022434322pppcyppcx此外，還有解 y = 0 2.4 Implicit F

6、irst-Order ODE and Parameter Representation2)(22xdxdyxdxdyy解解令pdxdy得222xxppy兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得 xpdxdpxdxdppp 2例例2 2求解方程0)2)(1(xpdxdp01dxdpcxp將它代入222xxppy得方程的通解222ccxxy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation方程的通解222ccxxy再由02 xp得2xp 將它代入222xxppy，又得方程的一個(gè)解 42xy 此解與通解222ccxxy中的每一條積分曲線(xiàn)均 相切(如圖)(P

7、54)這樣的解我們稱(chēng)之為奇解,下一章將給出奇解確實(shí)切含義。留意留意: :2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representationxyo42xy 222ccxxy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation二二 、 不顯含不顯含 y ( y ( 或或 x x 的方程的方程 ) ) 3 ( , )0 (2.4.7) F x y )(tx解法：解法：引入變換)(tdxdyy從(2.4.7)得到dxtdy)(dttt)()(dtttdy)()(cdttty)()(那么，方程的

8、參數(shù)方式通解為關(guān)鍵cdtttytx)( )()()(ty(or 引入變換從(2.4.7)得到 )(tx2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 3 ( ,)0 (2.4.7 )F x y pdxdyypdxdy 令)(pxdppp)(cdpppy)(cdpppypx)()(通解為特殊情形2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 4 ( (2.4.8,)0 )F y y)(ty解法：解法：引入變換)(tdxdyy從(2.4.7)得到dxtdy)(dt

9、ttdytdx)()(1)(1那么，方程的參數(shù)方式通解為cdtttx)()( )()()( tycdtttx)(ty(or 引入變換從(2.4.7)得到 )(ty假設(shè)00 ),(yF有實(shí)根ky 那么ky 也是方程的解。 關(guān)鍵2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 4 ( , ( .)02 4.8F y y pdxdyydypdx1令)(pydppp)(1cdpppx)(1通解為特殊情形)()(pycdpppx假設(shè)00 ),(yF有實(shí)根ky 那么ky 也是方程的解。 2.4 Implicit First-Order OD

10、E and Parameter Representationdxdyyyxyx這里0333解解令txpy那么 由方程，得313ttx從而3213ttp于是dtttt3323)1 ()21 (9求解方程例例4 4dxttdy3213cttdtttty2333323)1 (4123)1 ()21 (9cttyttx2333)1 (2)41 (313通解為2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation例例5 52221)()(yyy求解方程解解yty 2把yty2代入原微分方程令得222) 1(tyyty由此得tty1且21 tyy

11、dydx)(ttdt1112dtt21ctx1方程的參數(shù)方式的通解為ttyctx11此外, 2y也是方程的解。 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation練習(xí)練習(xí)) (yxyy求解方程pdxdyy留意察看方程的解的特點(diǎn)解解pppxpp)(0)(ppx0 p)(pxcp )(ccxy)()()(pppypx通解奇解克萊洛方程Clairant Equation作業(yè)作業(yè): P.59 第第 1, 3, 4題題2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation三 利用變

12、量代換的微分方程積分法有時(shí)方程0) ,(yyxF就,yyx都不易解出, 或者雖能解出,但積分計(jì)算比較復(fù)雜，這時(shí)，除了援用適當(dāng)?shù)膮?shù)外，還可以先進(jìn)展適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后再 求解，這種方法稱(chēng)為利用變量代換的微分方程積分法。 但是，如何選擇適當(dāng)?shù)淖兞縼?lái)代換，沒(méi)有一定的規(guī)律, 需求在做大量的練習(xí)中積累閱歷.2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解解vxuysinsin令那么xdxdvydyducos,cosdvduyxycoscos代入原方程，得0)(2udvduvdvdu即2)(dvdudvduvu克萊洛方程vccu222vu通解奇解例例6 60222xyyxxyyycossincoscossincos) (求解方程xccysinsin22sinsin2xy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解解v